文档内容
23.1 图形的旋转
考点一．旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做
_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_．
旋转有三要素：（1）_旋转中心__；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_．
考点二．旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
考点三．旋转作图的基本步骤
（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
题型一：生活中的旋转现象
1．（2022·全国·九年级）在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
2．（2022·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降
3．（2021·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的有（ ）个
①地下水位逐年下降 ②传送带的移动 ③方向盘的转动 ④水龙头开关的转动 ⑤钟摆的运动 ⑥荡秋千运动
A．5 B．4 C．3 D．2
题型二：旋转的三要素
4．（2022·广东广州·模拟预测）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针
方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A．30° B．45° C．90° D．135°
5．（2022·全国·九年级）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到 ，则旋转中心是点
（ ）
A．O B．P C．Q D．M
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说
法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
题型三：旋转的性质
7．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）如图，∠AOB=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转20°得
到△COD，则∠COB的度数是（ ）A．20° B．70° C．90° D．110°
8．（2022·全国·九年级单元测试）如图 中， ， 是斜边 的中点，将 绕点A按顺时
针方向旋转，点 落在 的延长线上的 处，点B落在 处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.5
9．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝
1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则
线段EF的长为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
题型四：旋转对称图形
10．（2019·浙江湖州·九年级期中）如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（ ）A． B． C． D．
11．（2019·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的
正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·四川德阳·九年级期末）下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型五：旋转中的坐标问题
13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC
＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）
14．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，将点 绕点 顺时针旋转90°得到点 ．
若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·九年级单元测试）如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕
点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）A．（7，3 ） B．（7，5） C．（5 ，5） D．（5 ，3 ）
题型六：旋转中的规律问题
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正
方形OABC ，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA B C ，如果点A的坐标为（1，0），那么
1 1 1 2020 2020 2020
点B 的坐标为（ ）
2020
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
17．（2022·四川内江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点
B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到
△OAB，第二次旋转得到△OAB，…，以此类推，则点A 的坐标是（ ）
1 1 2 2 2022
A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)
18．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转
后得到正方形 ，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形 ，那么点 的坐标是
（ ）A． B． C． D．
题型七：旋转综合题
19．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，
垂足为D．
(1)S ABD = ．（直接写出结果）
△
(2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由；
探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形．
20．（2021·湖南·宁远县仁和镇中学九年级）已知 中， ， ，点P为射线AD上任意一点
（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于
点E．(1)如图1，当 时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当 ， 时，点E恰好与点A重合，若 ，求BQ的长．
21．（2022·全国·九年级期中）（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点， ，求证：
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现 ，请你利用图1证明上述结
论．
(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上， ，那么线段EF、DF、BE之间
有怎样的数量关系？请证明你的结论．
一、单选题
22．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）小华将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相
同角度 ，设计出一个如图所示的雪花图案，则 可以为（ ）A． B． C． D．
23．（2022·全国·九年级单元测试）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到 ，若点 恰好在
的延长线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形 的边长为 ，将正方形 绕原点O顺时针旋转45°，则
点B的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将△ABC旋转得到△ADE，DE经过点C，若AD⊥BC， ，则
∠ACB的度数为（ ）A． B． C． D．
26．（2022·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我
们把以格点间连续为边的三角形称为“格点三角形”，图中的 ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，
点B的坐标为（-1，-1） △
(1)把 ABC向左平移6个格后，画出平移后的 并写出点 的坐标？
△ △
(2)把 ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到 ，画出 的图形，并写出点 的坐标？
△ △ △
27．（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线
AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F， ，连接FE．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
一：选择题
28．（2022·全国·九年级单元测试）如图，边长为1的正方形 绕点A逆时针旋转 得到正方形 ，连
接 ，则 的长是（ ）A．1 B． C． D．
29．（2022·全国·九年级期中）如图，在 中， ．将 绕点O逆时针方向旋转 ，
得到 ，连接 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
30．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在 中， ，以点A为旋转中心，将 绕点A逆时针
旋转得到 ，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若 ，则 的值是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
31．（2022·全国·九年级单元测试）如图，已知 ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将 ABC绕A点逆时针旋
转50°得到 AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②△AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC△′，正确的有（ ）
△A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
32．（2022·天津河西·二模）如图，将 绕点B逆时针旋转60°得到 ，点A的对应点为D， 交 于
点P，连结 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是等边三角形
33．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知 是等边三角形，边长为 ，将 绕点 逆时针旋转
后点 的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， 、 是斜边 上两点，且 ，
将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分
；④ ，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④35．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点
D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF． 点P在CD上，且CP＝3PD． 给出以下几个结论①
，② ， ③线段PF的最小值是 ，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是
（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
36．（2022·全国·九年级课时练习）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF
绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( )
A． B． C．4 D．
二、填空题
37．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学九年级阶段练习）如图，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD－∠AED
＝60°，DC＝3，则DE的长为_______．
38．（2022·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校九年级期中）在平面直角坐标系中，以点 、 、 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△ （点 分别为点 的对应点），然后以点 为中心
将△ 顺时针旋转 ，得到△ （点 分别是点 的对应点），则点 的坐标是_______．
39．（2022·北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习）如图， 为正方形 内的一点， 绕点 按顺
时针旋转 后得到 ，连接 ，若 三点在同一直线上，则 的度数为___________．
40．（2022·湖北孝感·九年级期末）如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC与DE交于F，连接
CE，若∠BFD＝20°，则∠ACE＝_____度．
41．（2022·江西吉安·九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且
∠EDF=45°，将 DAE绕点D逆时针旋转90°，得到 DCM．若AE=1，则FM的长为__．
42．（2022·全国·九年级期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，若 ， ， 则
______．三、解答题
43．（2022·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中
∠EDC＝120°，AB＝CE＝2 ，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD
(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图
2，请直接写出AD与PD的数量关系；
(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．
44．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．(1)如图1，当点D在边BC上时，BD＝ ，且AD＝2，则AB＝______；
(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADB＝45°，请你证明线段CD与AD的数量关系；
(3)）如图3，若AB＝4 ，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜
α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAB面积的最大值______．
45．（2022·广东汕头·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=AC= ，点D，E分别在边AB，
AC上，且 ，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 ，如图2，连接CE，BD，
CD．
(1)当 时，求证： ；
(2)如图3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ．
46．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证
BM+DN=MN．
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加
以证明；
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．1．A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据
旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变
方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
2．B
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．
【详解】A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；
C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；
D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．
3．B
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头开关的转动，是旋转现象；
⑤钟摆的运动，是旋转现象；
⑥荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤⑥共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的平移与旋转，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
4．D
【分析】利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB＝45°得到∠AOC的度数即可．
【详解】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝45°+90°=135°，即旋转角为135°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
5．B
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，连接 ， ，可得其垂直平分线相交于点P，
旋转中心是点P．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法
是解题的关键．
6．C
【分析】由 按顺时针旋转到 的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对
应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：∵如图， 按顺时针旋转到 的位置，
∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．
故A，B，D三项错误，C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①
旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．7．B
【分析】根据旋转的性质得 ，再由 即可求解．
【详解】根据旋转的性质得 ，
∵∠AOB=90°，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，利用旋转角得到∠AOC=20°是解题的关键．
8．C
【分析】过点A作 于点 ，根据勾股定理可得 的长，根据直角三角形的性质可得 的长，根据
，可得 的长，根据勾股定理可得 的长，根据旋转的性质进一步可得 的长．
【详解】解：过点A作 于点 ，如图所示：
∵ ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
根据勾股定理，可得 ，
根据旋转的性质，可得 ，
∴点 是 的中点，∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求 的长是解决本题的关键．
9．C
【分析】连接 ．先判定 ，即可得到 ．再根据 ， ，利用勾股定
理即可得到， 中， ，进而得出 的长．
【详解】解：如图，连接 ．
与 关于 所在的直线对称，
， ．
按照顺时针方向绕点 旋转 得到 ，
， ．
，
．
．
（SAS）．
．
四边形 是正方形，
．
，
．
在 中， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的
距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
10．C
【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够
重合，这时判断旋转的关键．
【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意；B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意；
C．由旋转变换得到，故本选项符合题意；
D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方
向进行旋转都可设计出美丽的图案．
11．C
【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可．
【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角，
再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角．
故选C．
【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键．
12．B
【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．即：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，
那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心．
【详解】A.绕中心旋转60°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
B.是轴对称图形，不是旋转对称图形，故本选项正确；
C.绕中心旋转72°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
D.绕中心旋转120°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误．
故选B．
13．C
【分析】利用矩形的特点和旋转的性质解答即可．
【详解】解：矩形的对边相等，B′C′＝OA＝4，A′B′＝OC＝2，
∴点B′的坐标为（4，2）
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和坐标在象限内的符合，熟练掌握坐标在象限内的特点为解题的关键．
14．A
【分析】设点 的坐标为 ，由旋转的性质可得， ，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴由旋转的性质可得， ，即 ，
整理得 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意，
故选：A
【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
15．A
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB=6，
由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=OA=4，∠ACO=60°，
∴∠DCE=60°，
∴CE= CD=3，DE= =3 ，
∴OE=OC+CE=4+3=7，
∴D（7，3 ），
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是掌握旋转变换的性质．
16．C【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得： ，
由旋转性质得：OB=OB=OB=OB=…= ，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB =∠BOB=…=45°，
1 1 2
∴B（0， ），B（－1，1），B3(－ ，0)，B（－1，－1），B（0，－ ），B（1，－1），B（ ，
1 2 4 5 6 7
0）， B（1，1），……，
8
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵ ，
∴点B 与点B 重合，
2020 4
∴点B 的坐标为（－1，－1），
2020
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质
和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．
17．D
【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得
，同理 ，依次类推可求得， ， ，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规
律即可求出A 的坐标．
2022
【详解】∵ 是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），
∴ ，∴A点坐标为(1，1)．
将 绕原点 逆时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，
再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，
依此规律，
∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，
即 ， ， ， ．
∵ ，
∴点 与 同在一个象限内．
∵ ， ， ，
∴点 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能
够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．
18．D
【分析】分析正方形OABC的运动规律，找到循环周期，画出绕点 旋转 次后，正方形的位置，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴依此方式绕点 旋转，每旋转 次，正方形就会回到开始的位置，
∵ ，
∴绕点 旋转 次后，正方形的位置如图所示：
根据旋转的方式可知， ，且 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，设 ，则 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∵点 在第四象限，
∴点 的坐标为 ，故D正确．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平面直角坐标系内找点的规律、勾股定理等，找到循环周期，画出正方形
OABC绕点 旋转 次后，正方形的位置，是解题的关键．
19．(1)4
(2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当 时，四边形APDQ是正方形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由 得 ，则 ；
（2）①在 中，根据等腰直角三角形的性质得 ，易得 ， ，再利
用等角的余角相等得到 ，于是可判断 ，所以 ，
即可判断四边形 的面积不会随旋转而变化；
②由于 ，则当 时，四边形 为矩形，加上 ，于是可判断四边形 是正方形，
此时 ，即 ．
（1）
解： ， ， ，
，
；
故答案为4；
（2）
解：①四边形 的面积不会随旋转而变化．理由如下：
在 中， ， ，
，
，
，， ，
又 ， ，
，
在 和 中，
，
（ASA），
；
② 时，四边形 是正方形．理由如下：
，
当 时，
而 ，
四边形 为矩形，
，
，
四边形 是正方形，此时 ，即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．
20．(1) ，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得 ， ，再根据旋转的性质得 ， ，
则 ，根据“SAS”可证明 ，即可得出∠CBQ=∠CAP= 90°；
（2）根据（1）可证明 得到 ，由∠DAC= 120°，∠ACP= 15°, 得到△PCH为等腰直角三
角形，在Rt△ACH中可求出AH、CH，继而可求出PH的长，可得出结论．（1）
解：结论： ；
理由如下：如图1，设QE与CP的交点记为M，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
则在△CQB和△CPA中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：作CH⊥AD于H，如图2，∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴△PCH为等腰直角三角形，
在Rt△ACH中， ， ，
∴ ，
，
在Rt△PHC中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰
直角三角形的性质和判定，判断出 是解本题的关键．21．（1）见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，结合（1）中证明方法进行证明即可．
【详解】证明：（1）∵ ，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵ ，
∴ ，即点F、D、G共线，
∴ ， ，
，
即 ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ，
即
（2） ．
理由：如图2所示．
∵ ，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∵
∴点C、D、G在一条直线上．
∴ ， ， ．
∵
∴ ．
∵
∴
∴ ．
∴
∴∵
∴ ．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角
形的判定和性质是解题关键．
22．B
【分析】根据旋转对称性质，利用 即可求解．
【详解】解：∵雪花图案由6个图案组成，由旋转的性质，可得，
将图中的图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，每次旋转 ，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转对称性，求得旋转角是解题的关键．
23．B
【分析】由旋转的性质可知 ， ，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得
，从而可求得 ．
【详解】解：由旋转的性质可知： ， ， ．
， ，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质得到 为等腰三角形
是解题的关键．
24．D
【分析】连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出 ，得到△ 为等腰直角三角形，
点 在y轴上，利用勾股定理求出O 即可．
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴ ， ，
∴ ，
∴△ 为等腰直角三角形，点 在y轴上，
∵ ，∴ =2，
∴ （0，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B 在y轴上．
1
25．A
【分析】先根据旋转的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，
从而可得 ，再根据直角三角形的两个锐角互余可得 ，然后根据平角的定义即可得．
【详解】解：∵将 旋转得到 ， ，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
又 ，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
26．(1)图见解析，点 的坐标为（-7，-1）；
(2)图见解析，点 的坐标为（5，5）．
【分析】（1） ABC的各点向左平移6格后得到新点，顺次连接得 ，根据图形即可写出点 的坐标；
△ △
（2） ABC的另两点绕点C按顺时针方向旋转90°后得到新的两点，顺次连接得 ，根据图形即可写出点
△ △的坐标．
（1）
解：画出的 如图所示，点 的坐标为（-7，-1）；
△
；
（2）
解：画出的△ 的图形如图所示，点 的坐标为（5，5）．
【点睛】本题主要考查对作图-旋转变换，作图-平移变换，坐标与图形，能根据平移和旋转的性质正确画图是解此
题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD= ，求得∠ABF= ，根据全等三角形的性
质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到
AE=2DE=4，于是得到结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD= ，
∴∠ABF= ，
在△ABF与△ADE中， ，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
（2）
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE= ，
∴∠FAE= ，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D= ，∠DAE= ，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积= ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证
得△ABF≌△ADE是解题的关键．
28．B
【分析】连接 、 ，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为 ，可得 是等边三角形，根据勾股定理，
求出正方形 的对角边长度即可．
【详解】如图所示，连接 、
∵四边形 是四边形 逆时针旋转
∴ ，
∴ 是等边三角形
∴
在 中，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三
角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键．
29．B
【分析】由旋转性质可判定 AOA'为等腰直角三角形， BOB'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'和
BB'的长，最后作差即可． △ △
【详解】解：由旋转性质可知，OA=OA'=1，OB=OB'= ,∠AOA'=∠BOB'=90°，
则 AOA'为等腰直角三角形， BOB'为等腰直角三角形，
△ △∴ ， ，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
30．B
【分析】由旋转的性质可得 ，再根据平行线的性质，得 ，利用三角形内角和定理求
出 ，即可解决问题．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出 是解题的
关键．
31．B
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数
为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到 AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确； △
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在 BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
△∴∠AB′B＝∠ABB′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在 ACC′中，
AC＝△AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰
三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
32．D
【分析】由题意可知，将△ABC旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D正确，其他三项逐项进
行排除即可；
【详解】解：A、由题意可知，DE=AC不一定等于CB，故A选项错误；
B、由于D、B、C不一定在同一个直线上，故∠EBA不一定等于60°，故B选项错误；
C、由题意可知，AD≠PD，故∠CAD≠∠APD，故 ，C选项错误；
D、由旋转的性质可知，△ABD为等边三角形，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键．
33．B
【分析】过点 作 于点 过点 作 轴于点 求出点 的坐标，再利用全等三角形的性质求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ．
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题．
34．D
【分析】根据等腰直角三角形求出 ，根据旋转得出BF=DC， ， ，
，即可判断①，证 ，即可判断③，求出BF=DC， ，根据勾股定理即可判断④，
根据已知判断②即可．
【详解】解：正确的有①③④，
理由是：∵在 中，AB=AC，
∴ ，
∵将 绕点A顺时针旋转 后，得到 ，
∴ ，
∴BF=DC， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即
∴①正确；
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
即EA平分 ，
∴③正确；
∴EF=DE，
∵将 绕点A顺时针旋转90°后，得到 ，
∴ ，BF=DC，
∵ ，
∴
在 中，由勾股定理得：
∵BF=DC，EF=DE，
∴
∴④正确；
根据条件，不能推出 ，故不能推出BE=DC，
∴②错误；
∴正确的有①③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的应用、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及勾股定理，能综合运
用定理进行推理是解此题的关键．
35．A
【分析】①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“SAS”证明 ，得出 ，
，证明 ，根据勾股定理即可证明结论；
②证明△DEF为等腰直角三角形，即可得出结论；
③根据 ，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点F，此时PF最
小，求出此时PF的长即可；
④根据 ，得出 ，表示出 ，
即可求出最大值．
【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，AC平分 和 ， ，
∴ ，根据旋转可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵ ， ，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴ ，故②正确，符合题意；
③∵ ，
∴点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点F，此时PF最小，如图所示：
∵CP＝3PD，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴△PCF为等腰直角三角形，
i∴ ，
即PF的最小值为 ，故③错误，不符合题意；
④∵ ，
∴ ，，
∴当 时， 的面积最大，且最大值为16，符合题意；
综上分析可知，其中正确的是①②④，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定
和性质，根据“SAS”证明 ，是解题的关键．
36．B
【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，
再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG，
在 AEF和 AGP中，
△ △
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，
∴BE=1，
在Rt ABE中，由勾股定理得：
△，
∵AG=AE，∠GAE=90°，
∴ ，
在 GPE中，PE＞GE-PG，
△
∴PE的最小值为GE-PG= ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全
等三角形是解题的关键．
37．6
【分析】由旋转的性质可得AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，求出∠DHC＝30°，且∠CDH＝
90°，根据含30°直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，
如图3，将 AED绕点A顺时针旋转90°得到 ACH，连接DH，
△ △
∴△AED≌△ACH，
∴AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，
∴∠ADH＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠HDC＝90°，
∵∠ACD−∠AED＝60°，
∴∠ACD−∠ACH＝60°＝∠DCH，
∴∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，
∴CH＝2CD＝6，
∴DE＝CH＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及含30°直角三角形的性质，利用旋转的性质构
造直角三角形是解题的关键．38．
【分析】作 ，根据已知条件可以得到 而 ，则由此可确
定 的横坐标，接着确定 的横坐标，根据 的横坐标和 的长度可以确定 的坐标．
【详解】
如图，以点 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到 （ 分别是 C的
对应点），
的坐标分别为 ，
过A作AD 于D，过 ，
,
而 ,
的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，
的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移、旋转的性质，解决本题的关键是正确确定出 的坐标，进而确定出 的坐标．
39．
【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角
∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和，即可求得．【详解】解：由旋转可知，
BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°，
∵A、E、F三点在同一直线上
∴∠AEB＝180°−45°＝135°，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推
理是解本题的关键．
40．80
【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠AED，AC＝AE，由外角的性质可得∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，由等腰
三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，设AC与DE交点为O，
∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，AC＝AE，
∵∠COE＝∠CAE+∠AED＝∠ACB+∠EFC，
∴∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
41．2.5
【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，
可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边
相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的
长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求
出方程的解得到x的值，即为FM的长．
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得 ，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注
意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
42．135°##135度
【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，根据旋转的性质，得出△EBP为等腰直角三角形，
得出 ，根据直角三角形的逆定理得出△PAE是直角三角形，∠AEP=90°，即可
求出∠AEB=90°+45°=135°，最后根据 ，得出 ．
【详解】解：将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，如图所示：
根据旋转可知， ， ， ， ，∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴△PAE是直角三角形，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEB=90°+45°=135°，
∵ ，
∴ ．
故答案为：135°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理和逆定理，作出辅助线，得出等腰直角△EBP
和直角△PAE是解题的关键．
43．(1)AD＝2PD
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（2）结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF＝
2PD，再证明AD＝BF即可解决问题．
（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，首先证明∠ADP＝60°，解直角三角形求出
即可解决问题．
（1）
解：如图2中，
∵DC＝DA，∠CDA＝120°，
∴∠PCA＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAP＝60°，∴∠CPA＝90°，
由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，
∴AD＝2PD．
（2）
结论成立．
理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．
∵BP＝EP，DE＝DF，
∴BF＝2PD，BF PD，
∵∠EDC＝120°，
∴∠FDC＝60°，
∵DF＝DE＝DC，
∴△DFC是等边三角形，
∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，
∴∠BCF＝∠ACD，
∵CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF＝AD，
∴AD＝2PD．
（3）
如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，
∵DP BG，
∴∠ADP＝∠AGB＝60°，如图3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．设DN＝a，则PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝ a，可得PN＝
AD，
在等腰△CDE中，∵CE＝2 ，∠CDE＝120°，
过点 作 ，则 ，
∴
∴CD＝DE＝2 ，
∵∠ACD＝45°，
∴CM＝DM＝2．AM＝ ，
在Rt△ADM中， ．
在Rt△PAD中， ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
44．(1) ；
(2)CD＝ AD，证明见解析；
(3) ．【分析】（1）将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE交AB于F，由折叠的性质可知△ABD≌△ABE，AB垂直
平分DE，进一步可证明△BDE是等腰直角三角形，求出BF＝ DE＝1，证明△ADE是等边三角形，进一步求出
AF＝ ，即可求出AB＝AF+BF＝ +1；
（2）过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE、CE，CE交BD于O，AC与BD交于点H，证明△BAD≌△CAE
（SAS），得到∠ABD＝∠ACE，再证明△ADE是等腰直角三角形，得到ED＝ AD，证明△DOC≌△DOE
（ASA），得到CD＝DE，即可证明CD＝ AD；
（3）过点P作PG⊥AB于点G，当直线CE与该圆相切于点E时，△PAB的面积最大，求出PG的最大值即可求出
答案．
（1）
解：如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE交AB于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，
∴△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，
∴AE＝AD＝2，BE＝BD，∠ABE＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE，
∴∠DBE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝ BD＝2，BF＝ DE＝1，
∴AE＝DE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，DF＝EF＝ DE＝1，
∴AF＝ ＝ ＝ ，∴AB＝AF+BF＝ +1，
故答案为： +1；
（2）
解：CD＝ AD，理由如下：
如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE、CE，CE交BD于O，AC与BD交于点H，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在 和 中
，
∴ ，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，∠CHO＝∠AHB，
∴∠ACE+∠CHO＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，ED＝ AD，
∵∠BDC﹣∠ADB＝45°，
∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDB，
在 和 中，
∴ ，
∴CD＝DE，
∴CD＝ AD；
（3）
解：过点P作PG⊥AB于点G，如图3，
∵△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴D、E两点在以点A为圆心，AD为半径的圆上，
当直线CE与该圆相切于点E时，△PAB的面积最大，
∵CP是圆A的切线，
∴AE⊥CP，
∵∠AED＝45°，
∴∠DEP＝45°，
∴∠DEP＝∠ADE＝45°，
∴ ，
∴DP⊥CP，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴四边形AEPD为正方形，
∴∠ADB＝90°，PD＝AD＝ AB＝2 ，
∵BD＝ ＝ ＝2 ，
∴BP＝BD﹣PD＝2 ﹣2 ，
∵AD⊥BD，AD＝ AB，∴∠ABD＝30°，
∵PG⊥AB，
∴ ，
∴△PAB面积的最大值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，旋转的性质，折叠的
性质，作出辅助线是解本题的关键．
45．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用“ ”证得 即可得到结论；
（2）利用“ ”证得 ，由性质推出 ，计算得出 ，再利用等腰三角
形“三线合一”的性质即可得到结论；
（1）
证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）
根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90 ，
∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线
的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用性质求解．
46．(1) ，理由见解析；
(2) ，理由见解析
【分析】（1）把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，然后证明得到 ，从而证得 ，
可得结论；
（2）首先证明 ，得 ，再证明 ，得 ，可得结论；
（1）
解： ．
理由如下：如图2，把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
， ， ，
，
点 ，点 ，点 三点共线，
，
又 ，
在 与 中，，
（SAS），
，
，
；
（2）
解： ．
理由如下：在线段 上截取 ，
在 与 中，
，
（SAS），
，
．
在 和 中，
，
（SAS），
，
．
