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第 26 课 圆章末复习
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课程标准
(1)理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关
系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
(2)了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切
线，会过圆上一点画圆的切线；
(3)了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
(4)了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥
的侧面积及全面积；
(5)结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能
力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
知识精讲
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中
心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对
应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个
条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能
是直径)
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为r，OP=d，则有
点 P 在⊙ O 外 ；
点 P 在⊙ O 上 ；
点 P 在⊙ O 内 ；
【注意】
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道
数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线l和⊙O没有公共点 直线和圆相离 .
(2)直线l和⊙O有唯一公共点 直线和圆相切 .(3)直线l和⊙O有2个公共点 直线和圆相交 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
5．圆和圆的位置关系
设 的半径为 ，圆心距 .
(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离 ；
(2) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内含 ；
(3) 和 有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外切
；
(4) 和 有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内切
；
(5) 和 有2个公共点 相交 ；
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形
三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，
直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，
通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍 ，通
常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
【注意】(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，
即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
(1)到三角形三边距离相等；
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (2)OA、OB、OC分别平分
切圆的圆心) 的交点 ∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点04 圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为l的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面积为
.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以
求出第三个量.
(3)扇形面积公式S ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，
扇形
可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形 .
能力拓展
考法01 圆的基础知识
【典例1】如下图，菱形 的三个顶点 、 、 在 上，则 ( )．
A．100° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【详解】：连结OC，
∵点 、 、 在 上，
∴OA=OB=OC，
又∵四边形OACB为菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均为等边三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故选：C．
【即学即练】如图，已知 、 是 的弦， ，点C在弦 上，连接CO并延长CO交于于点D， ，则 的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：连接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【典例2】如图 ，以C为圆心的圆过 的中点 D，则 ( )．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图示，连接 ，
在 中，点D是 的中点，则 ，
∴
∴依据勾股定理可得： ．
故选：D．【即学即练】如图， 为 半径，点 为 中点， 为 上一点，且 ，若 ，则
的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作OE⊥PQ于点E，连接OQ，
由题意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，
∵点P是OA的中点，
∴OP=1，
∵ ，
∴∠EPO=∠EOP=45°，
∴PE=OE= ，
在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：
，
∴ ；
故选择：D.
【典例3】如图， 中， ，O是 的中点，以O为圆心， 长为半径画弧，分别交
于点D，E，连接 ，测量 的度数是_____．【答案】 ##80度
【详解】解：如图，连接OE、OD，
根据题意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案为： ．
【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G
在同一个圆上，则此圆的半径为______．
【答案】 a
【详解】解：∵点E，F在⊙O上，
∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE，
∵4个正方形的边长均为2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
设PO=x，则OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x= a，即PO= a，∴OG2=(3a)2+( a)2= a2，
∴OG= a，
故答案为 a．
【典例4】如图，在 中， ，以点C为圆心， 为半径的圆交 于点D，交 于点E，
若 ，求 的度数；
【答案】40°
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【即学即练】如图，线段 过圆心 交 于 ， 两点， 交 于点 ，且 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)75°；(2) ．
【详解】(1)连接 ．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
(2)∵ ，∴ (由(1)证明可知)∴ ，
设 ，∴ ，解得 ，
∴ ．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径 与点D，
∴ ，
∵ ，
∴根据勾股定理， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径 与点D，∴ ，
∵ ，
∴根据勾股定理， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径 与点D，
∴ ，
∵ ，
∴根据勾股定理， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且 ．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，
若 ，则CE的长为( )A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴ (负值舍去)
∴
故选：C
【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，
⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．
【答案】7
【详解】解：连接OA、OD、OE、OF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE AB＝4，OF⊥CD，DF CD＝3，
由勾股定理得，OE 3，OF 4，
当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，
故答案为：7．
【即学即练】如图，已知半圆直径 ，点C、D三等分半圆弧，那么 的面积为________．【答案】
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴ 是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴ ，
∵OE⊥CD，
∴∠COE= ∠COD=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙ 的弦，BC是⊙ 的切线，切点为点B．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求⊙ 的半径．【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明：连接 ，交 于点 ．
是 的切线，切点为 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
；
(2)解： ， 过圆心
，
在 中， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
连接 ，
在 中， ，
即 ，
，的半径为 ．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧
上，连接CE．
(1)求证：CE平分∠AEB；
(2)连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】(1)证明： ， 是直径，
．
，
平分 ；
(2)解：如图，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
．
考法03 圆中有关的计算
【典例9】已知：如图 ， 是 的两条半径，且 ，点 在 上，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，，
．
故选：A．
【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为 ，则它的弧长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由弧长公式可知，
，
故选：B．
【典例10】如图， ， 是 的弦， ， ，则 的直径等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直径等于4．
故答案为：4．
【即学即练】如图，矩形ABCD中， ， ，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转 得到矩形
EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转 得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长
是( )A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，
第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，
BD= =6，
此时，点D运动的路径为： 3π，
第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3 ，到达点J处，
点F运动的路径为： ，
故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为： ，
故选：D．
【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C， ，则∠B等于 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．
∴ ，
∵ ，∴ ．
∵OA＝OC，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E．
若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF= BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF=BC，
∴OF= DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，
∴ ．
故答案为： ．
【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，
OC，
(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】(1)解：连接OB，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝ ＝ ＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，
交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】(1)证明：连接OE，如图所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴ ，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
(3)证明：连接DE，如图所示：∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE(AAS)，
∴CD＝HF，
考法04 圆与其他知识的综合运用
【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶
角外还有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE(SSS)，
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴ ，
∴∠ABD=∠DBE，∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个
故选C．
【即学即练】如图，正方形 的边长为 ，点 在 上，以 为圆心的扇形与边 相切于点 ，与
两边交于点 ， ，则弧 长度的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当点 与 或 点重合时，圆心角为 ，此时弧 最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点 在 中点时，此时弧 的长度最短，且 ，
∵正方形 的边长为 ，以 为圆心的扇形与边 相切，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴弧 的长度为 ．
故选：C．
【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心， AB的长为半径画
弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为( )A．96﹣ π B．96﹣25π C．48﹣ π D．48﹣ π
【答案】D
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝ ＝8，
∴ ＝ ×12×8﹣ π× ＝48﹣ ．
故选：D．
【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=( )
A．325° B．145° C．215° D．395°
【答案】C
【详解】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故选：C．
【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分
别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．(结果保留π)
【答案】
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴ ，
故答案为： ．
【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(－3 ，0)，B(0，3 )，⊙O的半径为
1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
____．
【答案】
【详解】解：连接 、 ．
是 的切线，
；根据勾股定理知 ，
当 时，线段 最短；
又 ， ， ， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为
D．若BE=6，AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵ ，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
(2)解：连接OC，如图所示：∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝ ∠AOC，
∵ ，
∴ ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴ ，
∴AO＝CO＝5，
∴ ．
【即学即练】接BD和CD．
(1)求证： ．
(2) ， ， ，求AD．
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】(1)证明：如图，连接 ，∵I为三角形ABC的内心，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
；
(2)如图，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
， ， ，则 ，
， ，则 ，
，
，
，
， ，
，
，
过点 ，作 的垂线，垂足分别为 ，如图，I为三角形ABC的内心，
，
设 ，
，
即 ，
解得 ，
中， ，
，
，
(3)如图，设 为三角形ABC的外接圆的圆心，连接 ，
，
，
，
，且 ，
，
是等边三角形，
，
圆的半径为 ，．
考法05 与圆的切线相关的证明与计算
【典例17】下列命题中的真命题是( )
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【即学即练】下列命题中，
①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
平分弦(非直径)的直径必垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
等弧所对的弦相等．所以④正确；
经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线．所以⑤错误．
故选B．
【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是( )A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝ AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点
E、点F，给出下列判断：(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心；(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心；
(3)AE=DF；(4)BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B
【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根据勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；AE=DF；
∴(1)错误，(2)(3)(4)正确．
故选：B．
【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形
的边长为2，求阴影面积______．
【答案】1.5
【详解】∵四边形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴AD，BC是⊙O的切线，
∵DE切圆O于点F，交BC于点E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
设CE＝x，则BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴ ，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴阴影面积＝ ，
故答案为：1.5
【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE
交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；
②∠ECA＝∠BEG；③EH＝ BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．(填写所有正确结论的
序号)
【答案】②③④
【详解】解：∵BC为⊙O直径，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①错误；
连接OE．
∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴ ，
∴OE⊥BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC又∵EM⊥AC，
∴ ，
∴EM⊥OE，
∴EM是切线．
故④正确；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴ ，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正确；
∵∠EBD＝∠ECD(同弧所对的圆周角相等)，∠BEG＝∠ECA(已证)，
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝ BF，即EH＝ BF．
故③正确．
故答案为：②③④．
【典例20】如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，
AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)求直径AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【详解】(1)证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
(2)设BC与DO交于点F，
由(1)可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB= =20．
【即学即练】如图，直线 经过 上的点C，并且 ， ， 交直线 于E、D，连
， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)试猜想 ， ， 三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若 ， 的直径为5，求 的长．【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)6.5
【详解】(1)证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是 的半径，
∴AB是 的切线；
(2)解： ，理由如下：
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴ ，
∴ ；
(3)解：∵ ，
∴ ，
∵△BCD∽△BEC，
∴ ，
设BD=2x，则BC=3x，
∵ ，
∴ ，
解得：x=2或0(舍去)，
∴BD=2x=4，
∵ 的直径为5，
∴OD=2.5，∴OA=OB=BD+OD=6.5．
