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第 59 讲 直线的方程
1. 当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正
角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或 时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是
°．
2. 当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，常用k表示，即k＝ .当α＝90°时，斜率不存在．
当直线过P(x，y)，P(x，y)且x≠x 时，k＝ ．
1 1 1 2 2 2 1 2
3. 直线方程的几种形式
名称 方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
1、若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A. 1 B. 4
C. 1或3 D. 1或4
2、倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
3、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
4、(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
5、 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. ∪ D. ∪
考向一 直线的斜率与倾斜角
例1、（1）直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是________．
（2）直线2x cos 2α－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的取值范围是____________________．（3）、若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
变式1、已知直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值
范围为________．
变式2、已知直线l过P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围
为________．
变式3、（1）(2022·宿州模拟)若图中直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则(
1 2 3 1 2 3
)
A.k＜k＜k
1 2 3
B.k＜k＜k
3 1 2
C.k＜k＜k
3 2 1
D.k＜k＜k
1 3 2
(2) 直线l：y＝ax＋b，l：y＝bx＋a(a，b是不相等的正数)的图象可能是( )
1 2
A B C D
方法总结：1. 倾斜角α与斜率k的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞；
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞增大到趋近于
0(k≠0)．
2. 斜率的两种求法
(1) 定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．
(2) 公式法：若已知直线上两点A(x ，y)，B(x ，y)，一般根据斜率公式k＝(x≠x)求斜率．
1 1 2 2 1 2
考向二 直线方程的求法
例2、根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
变式1、求下列直线的方程．(1) 过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的；
(2) 过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5；
(3) 经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等．
变式2、求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
(2)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性．过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程；
在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程．在求直线方程时，最后结果
要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况．
考向三 直线方程的综合应用
例4、过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1) 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
变式1、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值
并求此时直线l的方程.方法总结：(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出
“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等
式求解最值．
1、(2022·江苏如皋期初考试)直线 的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2、(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)下列说法正确的是( )
A．方程 能表示平面内的任意直线；
B．直线 的倾斜角为 ；
C．“ ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件；
D． “直线 与 垂直”是“直线 和 的斜率之积为 ”的必要不充分条件
3、(2022·江苏如皋期初考试)过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
4、 (2022·湖北荆州中学高三期末)已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为
3，则直线l的方程为___________________________．
5、 已知三角形的三个顶点 A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为
______________．
5. (2022·临沂三模)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线
上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线
方程为________．
6、(2022·江苏如皋期初考试)已知直线 过点(2，1)，点 是坐标原点
（1）若直线 在两坐标轴上截距相等，求直线 方程；（5分）
（2）若直线 与 轴正方向交于点 ，与 轴正方向交于点 ，求 的最小值及此时的直线方程.
（5分）
