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第 64 讲 椭圆的标准方程及其性质
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
1 2
间的距离叫做椭圆的 ．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为 ；
(2)若a＝c，则集合P为 ；
(3)若a＜c，则集合P为 ．
2、焦半径：椭圆上的点P(x ，y )与左(下)焦点F 与右(上)焦点F 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
0 0 1 2
别记作r ＝|PF |，r ＝|PF |.
1 1 2 2
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r ＝ ，r ＝ ；
1 2
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r ＝ ，r ＝ ；
1 2
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
范围
对称性
顶点
性质
轴
焦距
离心率
a，b，c
的关系1、（2022•甲卷（文））已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点，
为 的上顶点．若 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
2、（2023•甲卷（理））已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
x2 y2
4、【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．
a2 b2
1
若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
5、【2021年乙卷文科】设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
6、【2021年乙卷理科】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7、【2021年新高考1卷】已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
8、【2021年甲卷文科】已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两
点，且 ，则四边形 的面积为________．
1、设P是椭圆＋＝1上的点，若F，F 是椭圆的两个焦点，则|PF|＋|PF|等于( )
1 2 1 2
A．4 B．5
C．8 D．10
2、若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. (－3，5) B. (－5，3)
C. (－3，1) D. (－5，1)
3、椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直线交椭圆C于A，B两点，则△FAB的周长为
1 2 2 1
( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
4、 已知椭圆＋＝1的离心率为，则实数k的值为________．
5、过点(－3，2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是（ ）
考向一 椭圆的定义及其应用
例1、（1）一动圆与已知圆O ：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O ：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨
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迹方程．
（2）求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．变式1、(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交
MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
（2）△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P
在椭圆上时，与椭圆的两焦点F ，F 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用
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定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等
考向二 椭圆的标准方程
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 经过P(－2，0)，Q(0，2)两点；
(2) 与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－).
变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
变式2、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；
③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；
④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
考向三 椭圆的性质
例3、（1）（2022·广东清远·高三期末）若椭圆 的焦距为6，则实数 （ ）
A．13 B．40 C．5 D．
（2）（2022·江苏海安·高三期末）若椭圆 的焦距为 ，则该椭圆的离心率为
_________．
（3）(2022·江苏如皋期初考试)椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
变式1、（1）设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上．若线段PF 的中
1 2 1
点在y轴上，∠PFF＝30°，则椭圆的离心率为________．
1 2
（2）(2022·江苏如皋期初考试)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相
连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 .
变式3、 (1)已知F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠FPF ＝90°，则
1 2 1 2
椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
（2）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB＝120°，则
该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.C. D.
方法总结：求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式
关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则
研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
考向四 与椭圆有关的范围(最值)
例4、已知F，F 是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，求|PF1＋PF2|的最小值．
1 2
变式1、椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，当MP＋2MF的值最小时，求
点M的坐标．
方法总结：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线 的方程是 ，则曲线
的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
2、（2022·湖北江岸·高三期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为e，
下列说法正确的是（ ）A．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形
B．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形
C．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形
D．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形
3、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C
相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 ，O为坐标原点，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·江苏海门·高三期末）已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 的内
部，点 在椭圆 上，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率的取值范围为
C．存在点 使得 D．
5、（2023·广东深圳·统考一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为
_________．
6、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现
了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝
伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，
②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
