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第 60 讲 两条直线的位置关系
知识梳理
1. 斜率存在的两条直线平行与垂直
若l：y＝kx＋b，l：y＝kx＋b，
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则l∥l⇔ ；
1 2
l⊥l⇔ ；
1 2
l 与l 重合⇔ ．
1 2
2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线l ：Ax＋B y＋C ＝0，l ：Ax＋B y＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0，A ，B 不同时为0)，则
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l∥l⇔ C ；l⊥l⇔ ．
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3. 两直线的交点
直线l：Ax＋B y＋C ＝0与l：Ax＋B y＋C ＝0的公共点的坐标与方程组
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的解一一对应．
(1)相交⇔ ；
(2)平行⇔ ；
(3)重合⇔ ．
4. 已知两点P(x，y)，P(x，y)，则两点间的距离为d＝ ．
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5. 设点P(x ，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则点P到直线l的距离为d＝
0 0
．
6. 两条平行直线 l ：Ax＋By＋C ＝0 与 l ：Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为 0)之间的距离 d＝
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．
7.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为 ．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 ．
(3)点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为 ，关于直线 y＝－x 的对称点为
．
(4)点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为 ，关于直线 y＝b 的对称点为(
．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为 ．
【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
1、(2022·广东模拟)已知a∈R，则直线l ：x＋ay－1＝0与直线l ：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要条件是(
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)A. a≠0 B. a＝0
C. a＝－1 D. a＝0或a＝－1
2、(2022·潍坊二模)已知直线l：x－3y＝0，l：x＋ay－2＝0，若l⊥l，则a的值为( )
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A. B. － C. 3 D. －3
3、 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．
4、若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
考向一 两条直线的位置关系
例1、(1)已知直线l：x＋2ay－1＝0，l：(a＋1)x－ay＝0，若l∥l，则实数a的值为( )
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A．－ B．0 C．－或0 D．2
(2)已知两条直线l：(a－1)x＋2y＋1＝0，l：x＋ay＋3＝0垂直，则a等于( )
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A．1 B． C．0 D．0或
变式1、已知直线l：ax＋2y＋3＝0和直线l：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
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(1) 当l∥l 时，求实数a的值；
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(2) 当l⊥l 时，求实数a的值．
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变式2、（1）（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） “ ”是“直线 与
平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
（2）（2023·广东揭阳·统考模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在
的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．考向二 两条直线的交点问题
例 2、已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－x＋2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是
__________．
变式1、三条直线l ：x－y＝0，l ：x＋y－2＝0，l ：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(
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)
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
变式2、求经过直线l：3x＋2y－1＝0和l：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l：3x－5y＋6＝0的直线
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l的方程．
方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点
的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0
垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l ：A x＋B y＋C ＝0与l ：A x＋B y＋C ＝0的交点
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的直线系方程为A x＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0(λ∈R)，但不包括l .
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考向三 两直线及点到直线的距离问题
例3、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）若直线 与 垂直，直线的方程为 ，则 与 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
变式2、(1) 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为 .
(2) 若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为 .
变式3、已知直线l经过直线l：2x＋y－5＝0与直线l：x－2y＝0的交点P.
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(1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2) 求点A(5，0)到直线l距离的最大值．
方法总结：1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行
线间的距离公式．
考向四 直线的对称性
例4、已知直线l：x＋2y－2＝0.
(1) 求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程；
(2) 求直线l：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程．
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变式1、 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6
＝0，则BC边所在的直线方程为______________；
变式2、 如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．
变式3、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对
称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线
与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上
找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线
的交点．
1、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为
x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为，，则||＝
A． B． C．2 D．4
2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知两点 ， ，动点 在直线 上运
动，则 的最小值为（ ）
.
A B. C. 4 D. 5
mR A mx y 0 B
3、（2020·山东高三开学考试）已知 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
xmym30 PA 3 PB
交于点P，则 的取值范围是（ ）
10,2 10 10, 30
A． B．
10, 30 10,2 10
C． D．
4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）已知直线 和点 ，过
点A作直线 与直线 相交于点B，且 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5、(2022·苏州模拟)已知直线l：ax－y＋1＝0，l：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是( )
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A．不论a为何值时，l 与l 都互相垂直
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B．当a变化时，l 与l 分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
1 2
C．不论a为何值，l 与l 都关于直线x＋y＝0对称
1 2
D．如果l 与l 交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
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6、定义点P(x ，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P ，P 到直线l的有向距离
0 0 1 2
分别是d，d.以下命题正确的是( )
1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
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B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d≤0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
