文档内容
第 5 讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））某容量为 万立方米的小型湖，由于周边商业过度
开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和
流出的水均为 万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数 表示经过 天后的湖水污染质量分数，已知
，其中 表示初始湖水污染质量分数.如果 ，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 以下，至少需要经过（ ）天（参考数据： ）
A．113 B．116 C．119 D．120
【答案】B
【详解】设至少需要经过 天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由题意知 ， ， ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
所以至少需要经过116天.
故选：B
2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理）） 年 月 日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀
鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某
种植物生长面积 （单位： ）与时间 （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型 （
， ， 且 ）．已知第一个月该植物的生长面积为 ，第 个月该植物的生长而积为
，给出下列结论：
①第 个月该植物的生长面积超过 ；
②若该植物的生长面积达到 ，则至少要经过 个月；
③若 ，则 成等差数列；
④若 成等差数列， ， ，则 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得： ，解得： ， ；
对于①， ，①正确；
对于②，令 ，又 ， ，即至少需要经过 个月，②错误；
对于③，由 得： ，
，则 成等差数列，③正确；
对于④，由 得： ， ，成等差数列， ，④错误.
故选：B.
3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒
后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的
速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据： ， ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于 ，
令 小时后， ，则 小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B
4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱
好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B
分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20 .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看
作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹
角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】D
【详解】以滑道的最陡处为原点 建立平面直角坐标系，由题意可知， 为 的中点，
设三次函数的解析式为 ，其中 ，
设点 ，则 ， ，
在滑道最陡处， ，则 的对称轴为直线 ，则 ，可得 0，
则 ，
在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为 ，则，
所以 ，
由图可知 可得 ，
因为 ，则 .
故选：D.
5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参
数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎
疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指
数增长率r与 ，T近似满足 ．有学者基于已有数据估计出 ．据此，在新冠肺炎
疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为 （ ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
【答案】A
【详解】因为 ， ，且 ，则 ，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为 ，则有
即 ，所以 ，
而 ，解得
所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天
故选：A．
角度2：关注经济发展
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研
究热潮．某公司研发的 ， 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准
备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资
金 （千万元）的函数关系为 ，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产
， 两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
【答案】9
【详解】解：因为生产 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设 ，
因为当 时， ，所以 ，所以 ，
即生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入资金 （千万元）的函数关系式为 ．
对于 芯片，因为函数 的图象过点 ， ，所以 ，解得 ，所以
，
即生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）的函数关系为 ．
设投入 ， 千万元生产 芯片，则投入 千万元生产 芯片，
则公司所获利润 ， ，
所以当 ，即 时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．
故答案为：
2．（2022·山东枣庄·高二期末）某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大
半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
【答案】
【详解】设每瓶饮料获得的利润为 ，依题意得， ，
，于是 ， 递减； ， 递增， 是极小值点，
于是在 ，只可能 使得 最大.
故答案为：
3．（2022·北京丰台·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P（单位：
1元）、瓶内饮料的获利P（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm， ）之间的关系如图甲、乙所
2
示.设制造商的利润为 ，给出下列四个结论：
① 当 时， ；
② 在区间 上单调递减；
③ 在区间 上存在极小值；
④ 在区间 上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①③④
【详解】由图可知：当 时， ，故 ，故①正确；
,当 时，由图象可知， 在 处的切线斜率大于 在 处的切线斜率，故
，因此 在区间 上单调递增，② 错；
根据图象可知：图象 先快后慢，而 图象先慢后快，所以可得 在 上的变化是先减后增，故由极
小值，③正确；
，当 趋近于 时， 在 处的切线斜率明显大于 在 处的切线斜率，而当 趋近于0时，
在 处的切线斜率明显大于 在 处的切线斜率，所以可得 在 上的变化是先减后增，故由极小
值，故④正确.
故答案为：①③④
4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个
肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之
和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的 ，每个甜味粽的成本比每个肉馅
粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．
端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的 去计算每个成鸭蛋
的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______
元．
【答案】5360
【详解】∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．
∴A类礼盒的成本为 元，
即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，
∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，
设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为 元，
∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的 ，
∴每个咸鸭蛋的成本为 元，
∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，
∴B类礼盒的成本为 元，
设卖出A类礼盒 盒，则卖出B类礼盒 盒，
，
整理得： ，
当日实际卖出的两种礼盒的总成本为
（元）．
故答案为：5360.
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·北京朝阳·高二期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中
的函数． 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 ．关于 函数的以下结论
① 函数是增函数；
② 函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数 至少有一个零点；④曲线 不存在与直线 垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【详解】 定义域为R， ，
所以 为奇函数，②正确；
恒成立，所以 函数是增函数，①正确；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，且 ，
故当 时， ，此时 无零点，③错误；
，且 ，
所以 ，故曲线 不存在与直线 垂直的切线．④正确.
故答案为：①②④
2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神
经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟
能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，
Sigmoid函数 即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为： ．下列关于Sigmoid
函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为 ；
③对于任意正实数a，方程 有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足： ．
【答案】①②④
【详解】因为 为单调递减函数，所以 为单调递增函数，故①正确；
因为 ，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称
中心为 ，故②正确；因为 为单调递增函数，且 ， ，
仅当 时，方程 有且只有一个解，故③错误；
，
，所以 ，故④正确．
故答案为：①②④.
3．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的
托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技
术．根据火箭理想速度公式 ，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位： ），其中
（单位： ）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进
剂与火箭质量的总和， 应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为 ，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________ ；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的 ，
若要使火箭的最大速度至少增加 ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据： ）
【答案】 3129 68
【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：
；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为 ，总质比为 ，
要使火箭的最大速度至少增加 ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
故答案为:3129；68.
角度4：结合生产实践
1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值 （单位：万元）
的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7
万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数 ，则m的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意 为增函数，故 ，解得 .
又根据题意可得 对 恒成立，
故 且 在 恒成立.
解 可得 ，又 在区间 上为增函数，
故 .综上有 ，即m的取值范围为
故答案为：
2．（2022·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每
生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量 （单位：台）满足函数：
，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是
____________________元（总收入=总成本+利润）
【答案】 300 25000
【详解】 等差数列 的前 项和为 ，
，
故答案为： .
3．（2022·河南·安阳37中高一期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为 万
吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为 万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜 万吨，再按照需求量向两
个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为 万吨，乙超市前 个月的蔬菜总需求量为 万吨，其中 且 ，且前 个月，乙超市的蔬菜总需求量为 万吨．
(1)求第 个月月底时，该仓库的蔬菜存储量 （万吨）与 的函数关系式；
(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩
余量不超过设计容量，试确定 的取值范围．
【答案】(1) （ 且 ）
(2)
【详解】（1）由题意知： ，解得： ；
（ 且 ）.
（2）由题意得： ，即 ；
对任意 且 恒成立；
设 ，则 ，
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；
，则 ， 的取值范围为 .
4．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法
案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它
将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元 ，
现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（
且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为
万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入 和对全部研发人员的年总投入 的表达式：
(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人
数最少为多少人?
(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整
前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理
由．
【答案】(1) ， 且 ，， 且 ；
(2)125；
(3)存在， .
【详解】（1）由题意得， ， 且 ，
， 且 .
（2）由（1）得， ，解得 ，又 ，则调整后研发人员的
人数最少为 .
（3）由条件①得： ，整理得 ，则
，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ；
由条件②得： ，解得 ，因为 ，当 时， 取得最大值 ，
所以 ；
综上所述，存在这样的 满足以上两个条件， 的范围为 .
角度5：渗透数学文化
1．（2022·重庆市第十一中学校高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例
如： ， ､已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】显然， .
当 时，
，
令 ，当x>0时， ， ，
当且仅当，x=1时，等号成立；
当x<0时， ， ，
且 .当且仅当，x=-1时，等号成立.
综上所述， 的值域为
所以，根据高斯函数的定义，函数 的值域是
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年
笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发
明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数 （ 且
）的反函数为 （ 且 ）．已知函数 ， ，则对于任意的
，有 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意， 的反函数 ．
对于任意的 ，有 ，
即 ，可转化为 ，
则函数 在 上单调递增．
设 ，则 在 上恒成立
即 在 上恒成立
又 ，则 ，
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称
阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．设圆 ，下列说法正确的是( )
①函数 是圆O的一个“太极函数”；
②若函数 是圆O的“太极函数”，则 ；
③函数 的图像关于原点中心对称是 为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【详解】对于①函数 是经过原点的奇函数，如图：
∴函数 是圆O的一个“太极函数”，故①正确；
对于②函数f(x)＝kx3﹣kx为奇函数，∵f(x)＝kx(x＋1)(x－1)，∴f(x)与圆恒有两个交点(－1，0)，(1，0)，
，得k2x6﹣2k2x4＋(1＋k2)x2﹣1＝0，
令t＝x2，得k2t3﹣2k2t2＋(1＋k2)t﹣1＝0，
即(t﹣1)(k2t2﹣k2t＋1)＝0
得t＝1即x＝±1；
对k2t2﹣k2t2＋1，当k＝0时显然无解，Δ＜0即0＜k2＜4时也无解，
即k (﹣2，2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分．
若k＝±2时，函数图象与圆有4个交点，若k2＞4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．
∈对于③函数f(x)的图像关于原点中心对称是f(x)为圆O的“太极函数”的充分不必要条件，故③错误；
④如图所示：
圆O的所有非常值函数的太极函数可以为偶函数，故④错误．
则①②正确，
故选：A．
4．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的
周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越
来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就
是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算 ，所得
的结果用分数表示为__________．
【答案】
【详解】解：构造函数 ，则有 ， ， ，
所以 在点（0，1）处的切线方程为 ，
根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得 ．
故答案为：
角度6：强调五育并举
1．（2022·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运
动能增强身体机能，提高抗病能力.对于 岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为 ，其中 为运
动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值， 为每个个体的体质健康系数.若 介于 之间，
则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，
体质健康系数 ，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足 为慢跑里程（单位：
米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（ ）（e为自
然对数的底数， ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题意，设跑了 圈，则 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选： B.
2．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知
识设计 的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的 ，那么该同学所选的函数最有可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】将图形置于直角坐标系中，如图所示：
由图易知该函数为偶函数，
对于选项B，满足 ，即 为奇函数，故可排除；
对于选项D，满足 ，即 为非奇非偶函数，故可排除；
对于选项C， ，
令 ，所以 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 在 恒成立，即 在 单调递增，故排除；
故选：A.
3．（多选）（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女
子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的
两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给
出了悬链线的函数解析式： ，其中 为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲
余弦函数，其函数表达式为 ，相应地，双曲正弦函数的表达式为 ．若直线
与双曲余弦函数 双曲正弦函数 的图象分别相交于点 ， ，曲线 在点 处的切线 与曲线
在点 处的切线 相交于点 ，则下列结论正确的为（ ）
A．
B． 是偶函数
C．
D．若 是以 为直角顶点的直角三角形，则实数
【答案】ACD
【详解】 ，
A正确；
，记 ，则 ，
为奇函数，即 是奇函数，B错误；
，C正确；
因为 轴，设 ，则 ，
所以若 是以 为直角顶点的直角三角形，则 ，
由 ，解得 ， 正确．故选：ACD．
二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈
德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在 上，其解析式如下：
．若函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有
，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得 ，
，
即函数的周期 ，
，令 得：
，
，
，
．
故选：B．
2．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）对于二元函数 ，若 存在，则
称 为 在点 处对x的偏导数，记为 ；若
存在，则称 为 在点 处对y的偏
导数，记为 ．已知二元函数 ，则下列命题为假命题的是
（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为【答案】D
【详解】根据偏导数的定义，在求对 偏导数时， 中 可作为常数，即函数可看作是 的一元函数
求导，同理在求对 偏导数时， 中 可作为常数，即函数可看作是 的一元函数求导，
所以 ， ，A正确；
， ，B正确；
，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 ，
或 时， ， 时， ，
又 ，所以 时， 递减， 时， 递增，
，
所以 ( 时取得)，C正确．
，最小值是 ，D错；
故选：D．
3．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若 ，关于 的一元二次方程 的两个
根分别为 ，则方程可写成 ，即 ，容易发现根与系数的关
系： 若 ，设关于 的一元三次方程 的三个非零
实数根分别为 ，则 ___________.
【答案】
【详解】由题意可得：
，
由待定系数法可得：
则 ，
所以 ，故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意的 ，都恰
好存在 个不同的实数 ，使得 （其中 ，则称 为 的
“ 重覆盖函数”，如 ， 是 ， 的“4重覆盖函数”．
(1)试判断 ， 是否为 ， 的“2重覆盖函数”，并说明理由；
(2)若 为 , 的“3重覆盖函数”，求实数 的取值范
围；
(3)若 ， 为 ， 的“9重覆盖函数”，求 的最大
值．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)
(3)61
【详解】（1）当 时， ，
而 ,即 只有唯一解 ，所以 ， 的“2重覆盖函
数”；
（2）因为 , 为增函数，所以 , 的值域为 ，
故对于任意的 ，方程 在 内都恰好有 个不同的根，
①当 时， ，
若 ，由 ，得 ，
若 ，则 ，
此时方程 在 内最多只有 个不同的根，不合题意；
②当 时， 方程 在 内最多只有一个根， 在 内最多有两个根，
所以 在 内有 个不同的根，在 内有两个根，
因为 ， ，所以 ，解得 .
③当 时， 在 上单调递增，
故方程 需在 内有2个不同根，在 内有1个根，
当 时， ，且 ，
所以 ，
解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ；
（3）因为函数 ， 为单调递减函数，所以 的值域为 ，
对于任意的 ，方程 ，在 内有9个不同的根，
即 与直线 在 轴右侧有9个不同的交点，
由图可知， ，即 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 的最大值为 .
5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）记 为函数 的 阶导数且 ，
若 存在，则称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在
附近 阶可导，则可构造 （称
为 次泰勒多项式）来逼近 在 附近的函数值．据此计算 在 处的3次泰勒多项式为
=_________； 在 处的10次泰勒多项式中 的系数为_________
【答案】 330
【详解】∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ， ， ，…， ，
，
∴ ， ， ，…， ， ，
∴ ．
故 的系数为 ．
故答案为： ；330.
角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高三阶段练习）国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上
风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评
估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：
，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，
（参考数据： ， ）（ ）
A．0.920 B．0.964 C．0.975 D．0.982【答案】D
【详解】解：因为 ，
所以 ， ， ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D
2．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，
一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为 （其中常数 是距震中100公里处接收到的0
级地震的地震波的最大振幅， 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振
幅）．地震的能量 （单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知
，其中 为地震震级．下列说法正确的是（ ）．
A．若地震震级 增加1级，则最大振幅 增加到原来的10倍
B．若地震震级 增加1级，则放出的能量 增加到原来的10倍
C．若最大振幅 增加到原来的10倍，则放出的能量 也增加到原来的 倍
D．若最大振幅 增加到原来的10倍，则放出的能量 增加到原来的1000倍
【答案】AC
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以B错误；
因为 ，所以 ，
所以C正确，D错误.
故选：AC.
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））若 可以作为一个三角
形的三条边长，`则称函数 是区间D上的“稳定函数”．已知函数 是区间 上的
“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
【答案】 ##
【详解】 ， 当 时， ；当 时， ；在 上单调递增，在 上单调递减，
，
又 ， ， ，
由“稳定函数”定义可知： ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
4．（2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法
案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它
将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入 万元 ，
现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名（
且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为
万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人
数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请
问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)125.
(2)存在， .
（1）
依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，整理得 ，
解得 ，
因为 且 ，所以 ，故 ，
所以要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员
的人数最少为125人.
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ，
上式两边同除以 得 ，整理得 ；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得 ，解得 ；
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即 恒成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立, 所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即存在这样的 满足条件，其范围为 .
角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值
的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数
值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：
； .
则利用泰勒公式估计 的近似值为（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，求导可得 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义
是函数零点近似解的初始值，在点 的切线为 ，切线与 轴交
点的横坐标为 ，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数 ，满足 ．应用上述方法，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以在点 的切线方程为 ，
令 得 ，所以在点 的切线方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，所以在点 的切线方程为 ，
令 ，得 ，
故选：C．
3．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）对于问题“求证方程 只有一个解”，可采用如下方法进行
证明“将方程 化为 ，设 ，因为 在 上单调递减，且
，所以原方程只有一个解 ”.类比上述解题思路，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由不等式 ，
得 .
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以 .解得 或 .
故选：A.
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·江苏省射阳中学高一期中）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；
1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发
明先于指数，这已成为历史珍闻. ， ， ，估计 的值约为（ ）A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897
【答案】C
【详解】由 可得 ，即 ,
故选：C.
2．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围
棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而中国象棋空间复杂度的上限 约为 （参考数据：
，则下列各数中与 最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，
， ，
，
．
故选：B
3．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）我们知道，任何一个正实数 可以表示成 （
， ），此时 （ ）．当 时， 是 位数．试用上述方法，判断 是
（ ）位数．（ ）．
A．607 B．608 C．609 D．610
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，其中 ，
则数 的位数是609.
故选：C.
角度5：相近学科融合
1．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，
它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮
优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已
知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰
减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】B
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位： ）之间的关系是：
，其中 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为
，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项
中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位： ）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【详解】由题意 ，则 ，故 ，
当 时， dB，A正确；
若 ，即 ，则 ；若 ，即 ，则 ，故歌唱家
唱歌时的声强范围 （单位： ），B正确；
将 对应的声强级作商为 ，C错误；
将 对应声强作商为 ，D正确.
故选：C3．（2022·全国·高一单元测试）其类蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流
（单位： ）之间关系的经验公式为 ，其中 为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert
常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放
电时间 ．则该蓄电池的Peukert常数 大约为（参考数据： ， ）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】由题意，得 ，所以 ，
所以 ．
故选:B.
4．（2022·全国·高一课时练习）纯音数学模型是函数 音有四要素：音调、响度、音长和音色，
它们都与函数 中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越
小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利 像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而
是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是 .下列说法中正
确的是（ ）
A．函数 不具有奇偶性
B．函数 在区间 上单调递增
C．若甲对应函数为 ，则甲响度一定比纯音 响度大
D．若甲对应函数为 ，则声音甲一定比纯音 更低沉
【答案】B
【详解】令 ，函数 的定义域为R，
对于选项A， ，所以函数 为奇函数，
故A错误；
对于选项B，当 时， ， ， ， ， ，， 在 均为单调递增，所以函数 在区间
上单调递增，故B正确；
对于选项C，令 ，令 ，有
，所以甲响度不一定比纯音 响度大，故C错
误；
对于选项D，令 ，令 ，有
，所以声音甲不一定比纯音 更低沉，故D错误.
故选：B.
5．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过
0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，若使这种溶液的
杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据： ， ）（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【详解】设经过n次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则 ，
即 ，两边取对数，得 ，即 ，
得 .故选：BCD.
