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第 53 讲 空间向量的概念
1．空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量(平行
向量)
共面向量
共线向量定理
共面向量定理
定理：
空间向量基本定
理及推论
推论：
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③
设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)
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向量和
向量差
数量积
共线 a ∥ b ⇒
垂直 a⊥b⇔
cos〈a，b〉＝
夹角公式
1、在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A. B.2 C. D.1
3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )
A. 共线 B. 共面
C. 不共面 D. 无法确定
4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5、 (2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-ABC D 的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且
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∠C CB＝∠C CD＝∠BCD＝60°，则线段AC的长度是( )
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A. B.
C. 3 D.
考向一 空间向量的线性运算
例1 、(1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是
________；(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.
(2) 已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．
（3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量OA，OB，OC表示
MG，OG.
变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—ABC D 中，M为AC 与BD 的交点．若AB＝a，AD＝
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b，AA1＝c，则向量BM＝ (用a，b，c表示)．
（2）如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝
(用a，b，c表示)．变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在
线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON＝OM，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，则下列等式成立的是( )
A.OM＝b－c
B.AN＝b＋c－a
C.AP＝b－c－a
D.OP＝a＋b＋c
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量
时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中
是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何
中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考向二 共线、共面向量定理的应用
例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD).
变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若AB，CD共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的
充要条件
变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC).
(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABC ABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝
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kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①PA＝λPB (λ∈R)；
②对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y＝1). 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①MP＝
xMA＋yMB；②对空间任一点 O，OP＝xOM＋yOA＋zOB (x＋y＋z＝1)；③PM∥AB (或PA∥MB或
PB∥AM). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、
共面来证明．
考向三 空间向量数量积的应用
例3、 如图所示，四棱柱ABCD－ABC D 中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，
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且两两夹角为60°．
(1)求AC 的长；
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(2)求证：AC ⊥BD；
1
(3)求BD 与AC夹角的余弦值．
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方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)坐标法：设a＝(x ，
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y ，z)，b＝(x ，y ，z)，则a·b＝xx ＋yy ＋zz. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用
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垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二
面角. 可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考向四 利用空间向量证明平行或垂直
例4 如图，已知AA⊥平面ABC，BB∥AA ，AB＝AC＝3，BC＝2，AA ＝，BB ＝2，
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点E和F分别为BC和AC的中点.
1
(1)求证：EF∥平面ABBA；
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(2)求证：平面AEA⊥平面BCB.
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变式1、在如图所示的长方体ABCD-ABC D 中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交
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点，BB＝，M是线段BD 的中点．求证：
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(1) BM∥平面DAC；
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(2) DO⊥平面ABC.
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变式2、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA
＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.
1、如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，M为AC 与BD 的交点.若AB＝
1 1 1 1 1 1 1 1a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
2、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝
(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.AP是平面ABCD的一个法向量
D.AP∥BD
4、(多选)已知ABCDABC D 为正方体，下列说法中正确的是( )
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A．(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2
B.A1C·(A1B1－A1A)＝0
C．向量AD1与向量A1B的夹角是60°
D．正方体ABCDABC D 的体积为|AB·AA1·AD|
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5、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，
且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.
C. D.
6、.如图，已知四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABC D 为平行四边形，E为棱AB
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的中点，AF＝AD，AG＝2GA1，AC 与平面EFG交于点M，则＝________.
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7、(2022·石家庄质检)如图，棱柱ABCD－ABC D 的所有棱长都等于2，∠ABC和
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∠AAC均为60°，平面AAC C⊥平面ABCD.
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(1)求证：BD⊥AA；
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(2)在直线CC 上是否存在点P，使BP∥平面DAC ？若存在，求出点P的位置，若不
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存在，请说明理由.
