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第 37 讲 平面向量的应用
1、 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定
义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔
＝⇔xy－xy＝0(x≠0，y≠0)．
1 2 2 1 2 2
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔xx＋yy＝0．
1 2 1 2
(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝
.
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2、向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a ，a)平行于l，则k＝tanα＝；如果已知直线的斜率为k
1 2
＝，则向量(a，a)与向量(1，k)一定都与l平行．
1 2
(2)与a＝(a ，a)平行且过P(x ，y)的直线方程为y－y ＝(x－x)，过点P(x ，y)且与向量a＝(a ，a)垂直的
1 2 0 0 0 0 0 0 1 2
直线方程为y－y＝－(x－x)．
0 0
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））设 为椭圆 的两个焦点，
点 在 上，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：，所以 ．
故选：B.
2、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ．点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为________．
【答案】 /
【解析】
方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点 P满足OP＝OA＋λ(AB＋
AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC＝2AD(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
2、在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是________三角形．( )
A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角
【答案】C.
【解析】 由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA＝0，
∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．
3、 若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（OB－OC）·（OB＋OC－2OA）＝0，则△ABC的形状
为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】 A
【解析】 由（OB－OC）·（OB＋OC－2OA）＝0，得CB·（AB＋AC）＝0，即（AB－AC）·（AB＋AC）
＝0，所以|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形．
4、 已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若
AE·BF＝－9，则λ的值为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【答案】 B
【解析】 依题意，得AE＝AB＋BE＝BC－BA，BF＝BC＋CF＝BC＋BA，所以AE·BF＝·＝|BC|2－|BA|2＋
BC·BA＝（－）×62＋×62×cos 60°＝－9，解得λ＝3.
考向一 平面向量在平面几何中的应用
例1、（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋
λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．
（2）等腰直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上一点，且 ，
那么 （ ）
A． B． C．2 D．4
（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，BE＝(BA＋BD)，DF＝
DC，则BE·BF＝________.
【答案】：1．重心 2．D 3．
【解析】1．由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，
所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
2．由题意得：
.
3．法一 如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，
AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，
1 1
AB BCBC AB
所以AE·AF＝ 3
1
1
＝ 3AB·BC＋AB2＋BC2
＝×2×2×cos 120°＋＋＝1
解得λ＝2．
变式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，正六边形 的边长为2，动点 从顶
点 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 ，若 的最大值和最小值分别是 ， ，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解析】解：连接 ，在正六边形 中， ，
∴ ，
∵正六边形 的边长为2，∴ ，因为当 在 上运动时， 与 均逐渐增大，当 从 移动到 时， 与
均逐渐减小，
所以当 在 上运动时， 取得最大值，为 ，
当 移动到点 时， 取得最小值，为0．
∴ ， ，∴ ．
故选：D.
变式2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则点A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，
F(2，1)，
所以AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)，
所以AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐
标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考向二 平面向量与三角综合例2、已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调增区间；
(2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．
【解析】 (1) 因为f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinx cos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin （2x＋）＋1，
所以g(x)＝sin ＋1＝sin （2x－）＋1.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2) 因为a≠0，a与b共线，所以cos x≠0，
所以sin x cos x－4cos2x＝0，所以tanx＝4，
所以f(x)＝2 cos2x＋2sinx cos x
＝＝＝.
变式1、本题中，求|a－b|的最大值．
【解析】|a－b|＝
＝＝
＝，
所以|a－b| ＝＋1.
max
变式2、（2022·河北深州市中学高三期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知向量
， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的周长.
【解析】解：（1）根据题意 ，可得 ，
化简整理得 ，
即 .
因为 ，所以 ，又 ，
则 .
（2）由（1）知 ，则 .
又因为 ，所以 ，故 ，因此 .
因为 ，所以 ，
故 的周长为 .
方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再
考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想
方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中
的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
考向三 平面向量与解析几何
例3 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的
斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为
________．
【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.
【解析】(1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)由题意，得F(－1,0)，设P(x，y)，
0 0
则有＋＝1，解得y＝3，
因为FP＝(x＋1，y)，OP＝(x，y)，
0 0 0 0
所以OP·FP＝x(x＋1)＋y＝x＋x＋3＝＋x＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x＝－2，
0 0 0 0 0
因为－2≤x≤2，
0
故当x＝2时，OP·FP取得最大值＋2＋3＝6.
0
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上
的两点，满足 ，则（ ）A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积为 D．B、C两点在同一象限
【答案】ABD
【解析】 ，则 平行且相等， ，A正确；
而 ，所以 是菱形，且 都是正三角形，即 ，B正确，
，
，C错误，
设 的倾斜角为 ，由 且 ，
若直线 在直线 上方，则 ， ， 均在第二象
限，
若直线 在直线 下方，由于 ， ，因此 点在第四象限，
则 （取较小角）， 在第四象限，
综上， 在同一象限，D正确．
故选：ABD．
方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决
此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用， 对于解析几何中出现的垂直
可转化为向量数量积等于0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等．
1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 中， ， 为 的重心，若 ，
则 外接圆的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，则有
又在 中， ， 为 的重心，则 为等边三角形.
则
解之得 ，则 外接圆的半径为
故选：C
2、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等
腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为 ，则 ＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】解：由题意可知，
，
故选：B．
3、（2022·江苏无锡·高三期末）已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为坐标原点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ， ，
所以
（其中 ），
故选：B.
4、（2022·广东罗湖·高三期末）（多选题）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确
的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知 ， ，选项A正确；
，选项B错误；
与 方向不同，选项C错误；
延长 到 ,使 ,通过向量减法的三角形法则可知 ,在 中，
， ，选项D正确.
故选：AD.5、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）折纸发源于中国． 世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在
一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图 ）
是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该
对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
，则 与 不平行，A错．
设 ，，B对．
，C对
，D对，
故选:BCD．
