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第 72 讲 圆锥曲线中的探索性问题
题型一、是否存在参数的成立问题
例1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线 的左焦点为F，右顶点为A，渐近
线方程为 ，F到渐近线的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线x=t与直线AP，AQ的交点分别为
M，N．是否存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)双曲线 一条渐近线方程为 ，
|bc|
焦点F(−c,0) ，则焦点到准线的距离d= =b ，
√a2+b2
由F到渐近线的距离为 可知： ，
b
由渐近线方程为 知： =√3 ，故 ，
a
所以双曲线方程为： ；
(2)设直线l的方程为x=my−2 ，
{x=my−2
联立 y2 ，整理得：（3m2−1)y2−12my+9=0 ，
x2− =1
3
设P(x ,y ),Q(x ,y ) ，而A(1,0),F(−2,0) ,
1 1 2 2
12m 9
则y + y = ,y y = ，
1 2 3m2−1 1 2 3m2−1
4 −3m2−4
所以x +x =m(y + y )−4= ，x x =m2y y −2m(y + y )+4= ，
1 2 1 2 3m2−1 1 2 1 2 1 2 3m2−1
假设存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|，则⃑FM⋅⃑FN=0 ,y y
故由 方程：y= 1 (x−1) ,令x=t得M(t, 1 (t−1)) ，
x −1 x −1
1 1
y y
同理 方程：y= 2 (x−1) ,令x=t得N(t, 2 (t−1))，
x −1 x −1
2 2
y y
所以⃑FM⋅⃑FN=(t+2, 1 (t−1))(t+2, 2 (t−1))=0，
x −1 x −1
1 2
y y
即 (t+2) 2+ 1 2 (t−1) 2=0 ，
(x −1)(x −1)
1 2
9
3m2−1
则(t+2) 2+ (t−1) 2=0 ，
−3m2−4 4
− +1
3m2−1 3m2−1
1
即(t+2) 2−(t−1) 2=0 ，解得t=− ，
2
1
故存在实数t=− ，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|.
2
变式1、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，经过
的直线 与 交于 两点.
（1）若 ，求 长度的最小值；
（2）设以 为直径的圆交 轴于 两点，问是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，由 ，
可得 ＝ ＝ ，当y ＝±2 时，|AP|取得最小值2 ；
0
（2）设直线AB的方程为 ， ，
联立 可得 ，即有 ，
设以AB为直径的圆上任一点
所以Q的轨迹方程为
所以Q的轨迹方程化为
令y＝0，得
所以上式方程的两根分别为x ，x ，，则
3 4
由 ，可得x x ＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．
3 4
所以存在t＝2，使得 ．
变式2、（2021·辽宁实验中学高三模拟）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到
右焦点F距离的最大值为3，最小值为
（1）求椭圆 的标准方程：
（2）设 和 是通过椭圆 的右焦点F的两条弦，且 .问是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆C的方程为 ，半焦距为
根据椭圆的几何性质可得，椭圆的左顶点到右焦点的距离最大，且为a+c，
椭圆的右顶点到右焦点的距离最小，且为a-c，即 ，
解得： 所以
椭圆C的方程为
（2）当MN和PQ一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN斜率不存在，
则 ，
所以
当MN和PQ斜率都存在时，
设直线MN的方程为 ，直线PQ的方程为 .
联立方程 得：
， ，
则
同理可得则
综上可知存在常数 ，使得 恒成立.
题型二、是否存在定点、定值问题
例2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，
则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲
线， 分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
【详解】（1）由题意可设双曲线 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消元得 .则 ，且 ，
；
或由韦达定理可得 ，即 ,
，
即 与 的比值为定值 .
（ii）设直线 ，代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .因为点A在双曲线的右支上，所以 ，
解得 ，即 ，
同理可得 ，
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，
故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 .
另解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（含 轴，不含直线 与 ），所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（不含 轴，不含直线 与 ），
所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故
变式1、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若 .试问：△ABP的面积是否为定
值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
【详解】（1）因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ，则 ，解得 ，所以椭圆方程为 .
（2）因为 ，则四边形 为平行四边形，
所以 .
①若直线 的斜率不存在，此时点 为长轴顶点，不妨取 ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ；
②若直线 斜率存在时，设 方程： ，
联立方程组得 ，消去 可得： ，
由 ，整理得 ，
则 ，
可得 ，
所以 .
因为点 在椭圆 上，则 ，
所以 ，满足 ，
则 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
所以 ；
综上所述： 面积为定值，且定值为 .变式2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆 .
(1)若 为椭圆上一定点，证明：直线 与椭圆 相切；
(2)若 为椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 分别交直线
于 两点，且 的面积为8.问：在 轴是否存在两个定点 ，使得
为定值.若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由.
【详解】（1）当 时， ，直线 与椭圆 相切，当 时， ，
由 消去y并整理得 ，
所以 ，有
所以直线 与椭圆 相切.
（2）设 ，则由（1）得： ，而二切线过点 ，则有 ，
因此 是方程 的两个解，即直线 的方程为： ，设点 ，由 解得 ，同理： ，
， ，
又 ，解得 ，
，即 ，整理得 ，
取点 的轨迹方程为 ，此时点 的轨迹是焦点为 ，实轴长为8的双曲线，
所以在 轴上存在点 ，使得|| 成立.
变式3、（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线 ，左､右顶点分别为 ，经过右焦
点 垂直于 轴的直线与 相交于 两点，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与双曲线左､右两支分别交于 ， 两点，记直线 的斜
率为 ， 的斜率为 ，那么 是否为定值？并说明理由.
【详解】（1）设 ，把 代入到 的方程，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，则双曲线 的方程为 .
（2） 是否为定值,理由如下：
设 ，其中 ， ，.
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 ，
联立 ，消去 并整理得 ，所以 ，
因为 ， ， ，即 ，
所以
，
由已知 .
.
即 为定值.
变式4、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆 的离心率为e，且过 ，
两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过 有两条直线 ， ，它们的斜率互为倒数， 与椭圆E交于A，B两点， 与椭圆E交于
C，D两点，P，Q分别是 ， 的中点.试探究： 与 的面积之比是否为定值？若是，请求
出此定值；若不是，请说明理由.【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
则 的方程 ；
（2） 与 的面积之比是定值，定值为4，理由如下：
由已知可得直线 的斜率存在，且不为 ，也不为 ，
设直线 ，（ 且 ），联立 可得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ， ，
则 ， .
所以 ， ，
所以 ，
因为两直线斜率互为倒数，则 ，
用 代换 点坐标中的 得 .
所以 ，
所以直线 即
所以 恒过定点 ，
设点 、 到直线 的距离分别是 ， ，则 .
题型三、是否存在定轨迹等问题
例3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
离心率是 ，P为椭圆上的动点.当 取最大值时， 的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，
使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
【答案】（1） ；（2）存在，
【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时， 取最大值，再根据三角形
面积及 ，求得 ， ， ，即可得到答案；
（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线 的方程为 ，
， ，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得 ，即可得到答案；
【详解】（1）依题意可得 ，
设 ，由余弦定理可知： ，所以 ，
当且仅当 （即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且 取最大值；
此时 的面积是 ，
同时 ，联立 和
解得 ， ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为 ，
所以 ， ，此时 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
原点O到直线1的距离为d，所以 ，
整理得 ，
由 ，可得 ，
，
，， ，恒成立，
即 恒成立 ，
所以 ，所以 ，
所以定圆C的方程是
所以当 时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，
其方程是 .
变式1、（2022·广东梅州·二模）已知动点 到点 和直线 ： 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，点 在直线 上，过 的两条直线 ， 与曲线 相切，切点分别为A，
，以 为直径作圆 ，判断直线 和圆 的位置关系，并证明你的结论.
【解析】 (1)由抛物线定义可知点 的轨迹是以 为焦点，直线 ： 为准线的抛物线，
所以动点 的轨迹方程为 ；
(2)依题可设 ， ， ，
由 ，即： ，
求导得： ，
所以切线 ， 的斜率分别是 ， ，
所以 的方程是 ，
点 的坐标代入，得： ，即 ，
同理可得 ，于是 是方程 的两根，
所以 ， ，
由 ，
得 ，即： ，
由 ， ，
所以 ，即：点 在圆 上，
所以直线 和圆 相切.
变式2、（2021·河北邯郸市高三三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平
行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN
与抛物线C交于点P.
（1）求证：点P是线段MN的中点.
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为
的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）设直线m的方程为 ，与 联立，利用韦达定理求得点M的坐标，
再根据 ，得到MN中点的坐标即可；
（2）由 ，得 ，求导 ，由 轴，得到四边形MPQF为平行四边形，再由
求解.
【解析】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为 ，
代入 ，并整理得 .所以 ，设 ， ，则 ， .
设 ，则 ， ，即 .
由 ，得 ，
所以MN中点的坐标为 .
将 代入 ，解得 ，则 ，
所以点P是MN的中点.
（2）由 ，得 ，则 ，
所以抛物线C在点 的切线PQ的斜率为k，
又由直线m的斜率为k，可得 ；
又 轴，所以四边形MPQF为平行四边形.
而 ， ，
由 ，得 ，
解得 ，即当 时，四边形MPQF为菱形，
且此时 ，
所以 ，
直线m的方程为 ，
即 或 ，所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为 的菱形.
