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第 62 讲 直线与圆的位置关系
1、 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
相离 相切 相交
图形
方程观点
量化
几何观点
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为 ；
0 0
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为 ；
0 0
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 .
0 0
1、（2023•新高考Ⅰ）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．1 B． C． D．
2、（2022•北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则
A． B． C．1 D．
3、（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法
正确的是
A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
C．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切D．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
4、（2022•甲卷（理））若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
5、（2022•新高考Ⅱ）设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则 的取值范围是 ．
6、【2020年新课标1卷文科】已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最
小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7、【2021年新高考2卷】已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
1、直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交且过圆心
D. 相交但不过圆心
⃗a、⃗b
2、直线 与圆 相切，则 的值是
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
3、直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A． B． C． D．
4、过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0考向一 直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
变式1、已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有
两个交点．
变式2、（2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知 是圆 内
一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线 ，则（ ）
A. 且 与圆相交 B. 且 与圆相离
C. 且 与圆相离 D. 且 与圆相交
方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考向二 圆的弦长问题
例2、(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．6 B．2
C．12 D．16
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方
程为( )A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）若 为圆 的弦 的中点，则直线
的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·河北张家口·高三期末）直线 与圆 交于 、 两点，则 （
）
A． B． C． D．
变式 2、（1）（2022 年广东省高三模拟试卷） 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆
相交于点 两点，若 ，则 ______．
（2）（2022·山东烟台·高三期末）若直线 将圆 分成的两段圆弧长度之比为
1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣4或2 C．2 D．﹣2或4
方法总结：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，
利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
考向三 圆的切线问题
例3 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．变式1、（多选题）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 中，过直线
上任一点 做圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 为正方形时，点 的坐标为
B．四边形 面积的最小值为1
C． 不可能为钝角
D．当 为等边三角形时，点 的坐标为
方法总结：求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，
则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
1、（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为（
）
A． B． C． D．
2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： ，过直线 ： 上的一点 作圆 的一
条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 截直线 所得弦的长度为4，则实
数a的值是（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·山东德州·高三期末）已知圆O： ，直线l： 与两坐标轴交点
分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时， （ ）
A． B． C． D．
5、（清远市高三期末试题）已知P，Q为圆 上的两个动点，点 ，且 ，
则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
6、（多选题）（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 与圆 ，下列说法正确的是
（ ）
A．若 与圆 相切，则 为定值
B．若 ，则 被圆 截得的弦长为定值
C．若 与圆 有公共点，则
D．若 ，则 与圆 相交
7、（多选题）（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内
到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点 ，
，点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，点 为圆心，则下列说法正确的是（ ）A. 圆 的方程为
B. 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 或
C. 若点 是直线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四
边形 的面积的最小值为24
D. 直线 始终平分圆 的面积，则 的最小值是11
8、（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知圆 ，若直线l与圆C交于
A，B两点，则 ABC的面积最大值为___________.
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