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第 71 讲 圆锥曲线中的最值问题
题型一 与线段、周长有关的最值问题
例1、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值
为________．
变式1、（2023·山西·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一动点，
则 周长的最小值为______.
变式2、（2023·广东广州·统考一模）（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵
形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 中，
， ，动点P满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的横坐标的取值范围是
B． 的取值范围是
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围是
变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为 ，且经过点
．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的
切线，两切线交于点M，求 的最大值．变式4、（2022·全国·江西师大附中模拟预测）已知抛物线C： （p＞0），抛物线C的焦点为F，
点P在抛物线上，且 的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且满足
，求｜AB｜的取值范围．
题型二 与面积有关的最值问题
例2、（2022·广东广州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为4；
(1)求C的方程；
(2)过点 作两条相互垂直的直线上 和 ，直线 与C相交于两个不同点A，B，在线段 上取点
Q，满足 ，直线 交y轴于点R，求 面积的最小值．变式1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆 经过点 ，且
椭圆的长轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相
交于点 ，求 的面积 的取值范围．
变式2、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线 在 轴上方，它上面的每一点到点 的距
离减去到 轴的距离的差都是2.若点 分别在该曲线 上，且点 在 轴右侧，点 在 轴左侧，
的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 且满足 ，直线 交 轴于点 .记
的面积分别为
(1)求曲线 方程；
(2)求 的取值范围.变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆 经过点M ，离心率为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点 且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与
直线 的交点分别为P，Q，求 面积的最小值.
题型三 与向量有关的最值问题
例3、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右
焦点分别 、 焦距为2，且与双曲线 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 交椭圆C于另一点
Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 ，求过P、Q、 三点的圆的方程；(3)若 ，且 ，求 的最大值．
变式、（2022·安徽宣城·二模）已知椭圆 的左顶点是A，右焦点是 ，过点F
且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积
为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l为圆 的切线，且l与C相交于S，T两点，求 的取值范围.
