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第 70 讲 圆锥曲线中的定值问题
题型一 圆锥曲线中面积为定值问题
例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知 为坐标原点，点 在椭圆 上，椭
圆 的左右焦点分别为 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，原点 为 的重心，证明： 的面积为定值.
【解析】(1)
由椭圆 的左右焦点分别为 ，且 ，
可知： ，即 ① ，
将 代入方程 得： ②，
① ②联立解得 ，
② 故椭圆的标准方程为 .
(2)
证明：设 ，
当直线 斜率不存在时，即 ，
由原点 为 的重心，可知
故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，
不妨取 ，则有 ，或 ，
则此时 ;当直线 斜率存在时，不妨设 方程为 ，
则联立 ，整理得： ，
且需满足 ，
则 ，
2m
所以y + y =k(x +x )−2m= ，
1 2 1 2 1+4k2
由原点 为 的重心知，x =−(x +x ),y =−(y + y ) ，
0 1 2 0 1 2
故 坐标为 ，代入到 中，
8km 2 −2m 2
化简得：( ) +4( ) =4 ，即4m2=1+4k2 ，
1+4k2 1+4k2
又原点 为 的重心，故 到直线 的距离为原点 到直线 距离的3倍，
3|m|
所以d=
，
√1+k2
√ −8km 2 4(m2−1)
而|P P |=√1+k2|x −x |=√1+k2 ( ) −4×
1 2 1 2 1+4k2 1+4k2
4√4k2+1−m2 4√4m2−m2
=
√1+k2× =√1+k2×
1+4k2 1+4k2
4√3|m|
=
√1+k2×
，
1+4k2
1 1 4√3|m| 3|m|
因此S = ×|P P |×d= ×√1+k2× ×
△P 0 P 1 P 2 2 1 2 2 1+4k2 √1+k2
6√3|m|2 6√3|m|2 3√3
= = = ，
(1+4k2 ) 4m2 2
综合上述可知： 的面积为定值.变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆 ，点 ， 是圆 上一动点，若线段
的垂直平分线与线段 相交于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)已知 为点 的轨迹上三个点（ 不在坐标轴上），且 ，求 的值．
【解析】
(1)由已知有 ，
∴点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，其中 ，∴ ，
∴点 的轨迹方程
(2)
由 ，可知 为 的重心，
∴ ，
由已知 的斜率存在，设直线 的方程为： ， ，
由 ，
则 ，
，
由 ， ，
∴ ，，
∴ ．
变式2、（2021·湖北武汉市高三模拟）已知双曲线 的两条渐近线所成的锐角
为60°，且点P（2，3）为E上一点．
（1）求E的标准方程；
（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点
A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值．
【分析】（1）由题得 ．再分类讨论即得E的标准方程；
（2）设直线方程为 ，联立双曲线方程得到 ，设 ，求出 ，
化简△AOB面积即得解.
【解析】
（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为 或 ，即 ．
当 时，E的标准方程为 ，代入 ，无解．
当 时，E的标准方程为 ，代入 ，解得 ．
故E的标准方程为 ．
（2）直线斜率显然存在，设直线方程为 ，与 联立得： ．由题意， 且 ，
化简得 ．
设 ，
将 与 联立，解得 ；
与 联立，解得 ．
．
由 ，∴ ，故 面积为定值 ．
题型二 圆锥曲线中线段为定值问题
例2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距
离为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线 的右顶点，直线 与双曲线 交于不同于 的 ， 两点，若以 为直径的圆经过点
且 于 ，证明：存在定点 ，使得 为定值.
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】（1）由已知可设，双曲线 的标准方程为 ，根据条件列出a，c关系式，
解出代入方程即可；
（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，有
垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证
即可.
【详解】（1）设双曲线 的标准方程为 ，焦点为 ， ，
因为双曲线 与椭圆 有相同的焦点，所以 .
因为焦点到渐近线的距离为2，所以 ，从而 ，
故双曲线 的标准方程为
（2）证明：设 ， .
①当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
联立方程组
化简得 ，
则 ，即 ，
且
因为 ，
所以，
化简得
所以 或 ，且均满足 .
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ，与已知矛盾；
当 时，直线 的方程为 ，过定点
②当直线 的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组 ，得
得 ， ，此时直线 过定点
因为 ，所以点 在以 为直径的
圆上， 为该圆的圆心, 为该圆的半径，故存在定点 ，使得 为定值 .
变式1、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【解析】
（1）由题意可得： ，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)［方法一］：通性通法
设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，
解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
变式2、（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线 与双曲线 相交于
两点 是 的右焦点，直线 分别交 于 （不同于 点），直线 分别交 轴于
两点.(1)设 ，求证： 是定值；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）由 是直线 与抛物线 的两个交点，显然直线 不垂直y
轴，点 ，
故设直线 的方程为 ，由 消去 并整理得 ，
所以 为定值.
（2）由（1）知 ，直线 的斜率 ，方程为
，
令 ，得点 的横坐标 ，设 ，
由 消去 得 ，
，
，而直线 的方程为 ，依题意 ，
令 ，得点 的横坐标
，
因此 ，所以 的取值范围是 .
变式3、（2022·江苏如东·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左右
焦点分别为F (－c，0)，F (c，0)，离心率为e，且点(e，3)，( ，b)都在双曲线C上.
1 2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF //BF .证明： 为定值.
1 2
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将点 ， 代入双曲线方程，解出 ，得到答案.
（2）设直线 的倾斜角为 ，由双曲线的定义可得出 ，在在 中由余弦定理可得处
，同理得出 的长，从而可得答案.
(1)
由点 在 上，有 ，解得由点 在 上，有 ，即 ，即
所以
所以双曲线的方程为：
(2)
由AF //BF ，设直线 的倾斜角为 ，如图，连接
1 2
由双曲线的定义可得 ，又
在 中由余弦定理可得：
即
所以
在 中， ，同理可得
所以
所以 为定值.
题型三 圆锥曲线中斜率为定值问题
例3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭圆 ，椭圆外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，根据向量关系用 表示 ，代入椭圆方程即可求解；
（2）用 表示 ，代入斜率公式即可求解.
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 解得 ，
又因为 ，所以 解得 ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，
即 .
（2）设直线 与 斜率分别为 ，
是定值.
变式1、（2022·新疆·三模）已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点 的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且
．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值．
【解析】 (1)解：由 且 ，得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ， ，
故椭圆C的方程为 ；
(2)解：当直线l的斜率不存在时，设直线 ，
设l与C相交于 ， 两点，
直线 ，直线 分别与x轴相交于两点 ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，与已知矛盾，故直线l斜率存在，
设直线 ，代入 整理得： ，
设 ， ，则 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
整理得： ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，不合题意，故舍去．
所以 ，即 ，即直线l的斜率是定值．
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线 ： 的两条渐近线互相垂直，且
过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 为双曲线的左顶点，直线 过坐标原点且斜率不为 ， 与双曲线 交于 ， 两点，直线 过 轴
上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补， 与直线 ， 分别交于 （ 不在坐标轴
上）两点，若直线 ， 的斜率之积为定值，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ， ，解方程求出 的值即可求解；
（2） ，设 ， ， ， ，直线 ， 的斜率分别为 ，根据
， ， 可得利用 和 所表示的点 的坐标，同理可得利用 和 所表示的点的坐标，将 整理为关于 的方程，由对于任意的 恒成立列出等价条件即可求解.
(1)
由 可得渐近线方程为： ，
因为两条渐近线互相垂直，所以 ，可得 ，
又因为 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为 .
(2)
设 ， ， ， ，
由（1）知： ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
因为 三点共线，所以 ，即 ，
因为直线 过 轴上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补，
所以 ，即 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，
同理可得 ，
因为直线 ， 的斜率之积为定值，设定值为 ，
则 ，
整理可得： ，其中 ，因为上式对任意的 都成立，所以 ，可得 ， ，
所以点 的坐标为 .
变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆
上，过点 的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为 ， ，当
时， ．
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得 ，再利用弦长公式可得 ，即求；
（2）由题可设直线 的方程为 ，利用韦达定理法可得 ，且 ，
再计算 即得.
(1)
∵ 在 上，∴ ，
当 时，直线 的方程为： ，
将 代入 ，并整理得 ，
解得 ，或 ，∴ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为： .
(2)
由题意知，直线 的斜率存在，
不妨设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得
∴ ，且 ，
∴
，
∴ ，即 为定值 .
