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第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
【素养目标】
1.理解四分位数的概念及计算方法.
2.掌握箱线图的构成及在数据分析中的作用.
3.能够根据原始数据计算并绘制箱线图，通过解读箱线图，提升从图表中提取信息的
能力.
重点：四分位数的计算步骤及箱线图绘制方法.
难点：箱线图的解读.
【复习导入】
问题：某银行有A和B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营 12
项理财产品，收益率（单位：％）如下：
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率
大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反
映出这些信息吗？
【合作探究】
探究点一：四分位数
概念引入：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成 2等份，
将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
问题：求出团队A产品收益率的三个四分位数.
归纳总结：把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是
四分位数.第一四分位数，又称下四分位数，等于该样本中所有数据由小到大排列后第
第 1 页25％的数据；第二四分位数，又称中位数，等于该样本中所有数据由小到大排列后第
50％的数据；第三四分位数，又称上四分位数，等于该样本中所有数据由小到大排列
后第75％的数据.如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相
似的处理方式计算第一、第三四分位数.第一、第二、第三四分位数分别记为Q ，Q ，
1 2
Q .
3
思考：由团队 A 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
问题：求出团队B产品收益率的三个四分位数.
思考：由团队B产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况.
[练一练]
1. 一组男生的身高(单位：cm) 数据为
165，154，175，172，168，150，178，182，161，180.
求这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
2.一组数据为：3.62，4.13，2.60，3.95，4.90，2.75，3.64，4.70，6.58，3.86，4.78，
5.47.
求这组数据的四分位数.
[归纳总结]
第 2 页1
若 n 等于整数 k，则 m 为第 k 个数与第 (k + 1)个数的平均数；
4 25
1 1
若 n 不是整数，用 l 表示比 n 大的最小整数，则m 为第 l 个数.
4 4 25
3
类似地，若 n 等于整数 r，则 m 为第 r 个数与第(r + 1)个数的平均数；
4 75
3 3
若 n 不是整数，用 s 表示比 n 大的最小整数，则m 为第 s 个数.
4 4 75
探究点二：箱线图
[知识要点]
为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数
及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.团队A产品收益率的箱线图如图所示，它主
要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.箱线图中最左侧和最
右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一
四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第三
四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.由
箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中
的范围、分布是否对称等.
问题：画出团队B产品收益率的箱线图.
问题：箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把
两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示，你有哪些发现？
第 3 页这与用平均数、方差比较的结果是一致的，从箱线图中，还可以看出分布的一些其他
特征？
归纳总结：按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先
找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧
的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.利用一组数
据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况.
例 分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、
乙两地的气温特点.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
[练一练]
3.老师记录了全班 40 名学生 1 min 跳绳的次数：
32 136 144 162 144 115 132 136 123 144
136 132 132 159 136 144 129 136 139 153
123 133 144 137 152 138 136 129 129 134
138 149 125 128 128 133 138 134 146 148
(1) 求全班学生 1min 跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。
(2) 画出箱线图；
(3) 根据图中间的“箱子”被136 分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说
明什么 ?
(4) 请你估计一下，全班学生 1 min 跳绳次数的平均数和中位数哪个大? 你是怎么估
计的?
第 4 页当堂反馈
1.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（ ）
A.14 B.15 C.23 D.25
2.兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为80，68，90，88，96，89，70，
98，91，则下列说法正确的是（ ）
A.中位数是88.5 B.上四分位数是91 C.下四分位数是80 D.以上说法都不对
3.如图是某班学生1min跳绳次数的箱线图，从中我们可以得到信息：
（1）该班学生1min跳绳次数最多相差 次；
（2）四分位距为 .
4.在某场男排半决赛中，C队击败D队晋级决赛.下面的箱线图反映了两队队员发球速
度情况，请比较两队发球速度的差异.
第 5 页参考答案
【复习导入】
问题：用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.通过计算，可以得
到 A 和 B 两个团队产品收益率的平均数和方差分别为x ≈3.862，s2≈1.327；x
A A B
≈3.863，s2≈0.117.可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不
B
大；团队A的产品收益率的方差明显大于团队B，即团队B的产品收益率的稳定性要
好于团队A.因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；如
果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品.
思考：平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出
投资客户关心的这些信息.因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量.
【合作探究】
探究点一：四分位数
问题：
2.02 2.15 3.18｜3.21 3.64 3.85 ｜ 3.98 4.10 4.11 ｜ 4.77 4.89 6.44
3.195 3.915 4.44
第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数
思考：团队A产品：其产品收益率小于3.195％的项目数占总数的25％，产品收益率
小于3.915％的项目数占总数的一半，产品收益率大于 4.44％的项目数占总数的25％.
产品收益率在3.195％至4.44％之间的项目数占总数的50％.
问题：分析：把团队 B 的产品收益率按从小到大的顺序排列：
3.18 3.40 3.60 ｜ 3.67 3.84 3.87 ｜ 3.91 3.99 4.10 ｜ 4.15 4.21 4.44
3.635 3.89 4.125
第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数
思考：团队B产品：其产品收益率小于3.635％的项目数占总数的25％，产品收益率小
于3.89％的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125％的项目数占总数的25％，产
品收益率在3.635％至4.125％之间的项目数占总数的50％.
[练一练]1. 解：把这组数据从小到大排列：
150，154，161，165，168，172，175，178，180，182.
1
这组数据的中位数是 ×(168 + 172) = 170，即第二四分位数是 170.
2
1
因为 ×10 = 2.5，所以第 3 个数 161 是第一四分位数.
4
3
因为 ×10 = 7.5， 所以第 8 个数 178 是第三四分位数.
4
2.解：把这组数据从小到大排列：
第 6 页2.60，2.75，3.62，3.64，3.86，3.95，4.13，4.70，4.78，4.90，5.47，6.58.
3.95+4.13
这组数据的中位数是 = 4.04，即第二四分位数是 4.04.
2
1 3.62+3.64
因为 ×12 = 3， 所以第 3 个数与第 4 个数的平均数 = 3.63是第一四分
4 2
位数.
3 4.78+4.90
因为 ×12 = 9，所以第 9 个数与第 10 个数的平均数 = 4.84是第三四
4 2
分位数.
探究点二：箱线图
问题：从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线
段差不多高)，但团队 A 的产品收益率波动明显比团队 B 的大(团队 A 的箱体和须线
比团队 B 的长).
追问：例如，团队 B 的产品收益率分布比团队 A 的更对称（中位数对应的水平线段
在箱子的中间位置），团队A有约25% 的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，
也有约 25% 的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等.
例 解：将表中两地的气温(单位：℃)分别从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲、乙两地气温各有 13 个数据，甲地气温的最小值为 9，最大值为 24，三个四分位
数分别为
11+12 21+21
Q = 16，Q = = 11.5，Q = = 21.
2 1 2 3 2
乙地气温的最小值为 11，最大值为 21，三个四分位数分别为
13+14 18+19
Q = 16，Q = = 13.5，Q = = 18.5.
2 1 2 3 2
在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示.
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地
约有 25% 时刻的气温高于乙地的最高温度，约有 25% 时刻的气温低于乙地的最低温
度.
[练一练]3.解：(1)将这 40 个数据由小到大排序：
115 123 123 125 128 128 129 129 129 132
第 7 页132 132 132 133 133 134 134 136 136 136
136 136 136 137 138 138 138 139 144 144
144 144 144 146 148 149 152 153 159 162
136+136 132+132 144+144
Q = = 136(次)，Q = = 132(次)，Q = = 144(次).
2 2 1 2 3 2
下四分位数为132次、中位数136次、上四分位数144次.
(2) 如图.
(3) “下半截箱子”比较短，说明中位数136 以下数据更集中，波
动小.
(4) 平均数大。因数据中较大值(如 162 等 )会拉高平均数，中位
数是中间位置代表值，故估计平均数大于中位数.
当堂反馈
1. D
2. D
3.（1） 4 7 ；（2） 1 2 .
4.解：C队发球速度整体更高，中位数明显高于D队；C队发球速度分布更集中，D队
分布略宽，波动较大.
第 8 页
