文档内容
第二十四章 数据的分析
24.2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
教学设计
课题 第1课时 离差平方和与方差 授课人
1.通过实例理解离差平方和与方差的统计意义，能解释离差平方和与方差与
数据波动性的关系；
教学目标 2.掌握离差平方和与方差的计算公式，能正确计算数据集的离差平方和与方
差，并比较不同数据集的稳定性；
3.综合运用离差平方和与方差分析实际问题，形成数据驱动的决策能力
教学重点 掌握离差平方和与方差的计算方法
教学难点 根据问题情景正确使用离差平方和与方差
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中 通过回顾
趋势的量以外，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计 旧知为学
中把它称为数据的离散程度. 习新知做
好准备.
本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量
——离差平方和、方差.
探究新知 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种 通过问题
子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了 探究和讨
解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相 论，帮助
同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 学生理解
如下表所示. 离差平方
和 与 方
差 . 通 过
观察和讨
论，帮助
学生发现
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 离差平方
和 与 方
上面两组数据的平均数分别是 差，并掌
握 其 应
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量 相差不大.由此
用.
可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不
大.
由样本平均数估计总体平均数
怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？可以画出统计图如图所示：
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动
较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产
量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断
乙种甜玉米的产量稳定性更好.
如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差
异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对
较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，
可以通过数据与平均数的差异来刻画.
小结
一般地，有 n 个数据 x ，x ，…，x ，用 表示它们的平
1 2 n
均数，我们把 x- (i=1，2，…，n）叫作 x 关于平均数 的离
i i
差或偏差.
思考
可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数
据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行
平方，然后求和.我们把
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
小结
方差的意义
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好的反
映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？
显然 ，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜
玉米产量波动较小，稳定性较好.
据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
思考
用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什
么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散
程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不
受这个限制.
（链接例1）
如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用
说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后
依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差
的值.
（链接例2）
典例精析 【例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩 通过例题
（单位：环）如下表所示. 和练习帮
助学生掌
握所学知
识，培养
学生的应
哪名射击运动员的发挥更稳定？ 用能力.
【解】两名运动员射击成绩的平均数分别为
两名运动员射击成绩的方差分别为由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
【例2】人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测
试 中 ， 班 级 平 均 分 和 方 差 如 下 ：
，则成绩较为稳定的班级是(
B )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确
定
【解析】稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越
稳定．根据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波
动越小，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成
绩较稳定．
【方法总结】在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先
计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣
程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不
用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相
同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决
问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数
相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．
随堂检测 1.对于一组统计数据3，3，6，5，3.下列说法错误的是( D ) 通过设置
随 堂 检
A．众数是3 B．平均数是4
测，及时
C．方差是1.6 D．中位数是6 获知学生
对所学知
2.设数据x ，x ，…，x 的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(
1 2 n 识的掌握
D )
情况，明
A．x＝0 B．x ＋x ＋…＋x ＝0 确哪些学
1 2 n
生需要在
C．x ＝x ＝…＝x ＝0 D．x ＝x ＝…＝x
1 2 n 1 2 n 课后加强
3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分 辅导，达
别是 0.8 和 0.35，则成绩比较稳定的是___乙___ (填“甲”或 到全面提
“乙”). 高 的 目
的.
4.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是
_2__.
5.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数
统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水
平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个
数≥150为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的
有 ①②③ .课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 第1课时 离差平方和与方差
离差平方和
方差
例题解析
教学反思
