文档内容
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.能区别凸多
边形.
2.让学生经历探索多边形内角和公式的过程，掌握多边形内角和公
式，并能运用公式解决简单的问题.
3.培养学生的观察、分析、推理能力，体会化归思想和从特殊到一
般的研究问题方法.
4.通过合作交流等活动，激发学生的学习兴趣，增强学生的团队合
作意识.
重点：探索并掌握多边形内角和公式与外角和.
难点：多边形内角和公式的推导过程，灵活运用多边形内角和公式
与外角和解决有关问题.
知识链接：上节课我们学习了四边形，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：多边形的概念
问题1：请类比四边形，说出多边形的定义.
概念引入：如图①，在平面内，由n（n≥3）条线段A A ，
1 2
A A ，…，A A ，A A 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
2 3 n－1 n n 1
问题2：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对
角线的定义.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.多边形
有几条边就叫作几边形.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，如图②中的六边形，
记作“六边形ABCDEF”.
问题3：请类比四边形，想一想什么是凸多边形.
画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的
同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨
论的多边形都是凸多边形.
概念引入：像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形
叫作正多边形.
【对应训练】下列多边形是正多边形吗？如果不是，请说明理由.
都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边
都相等.
归纳总结：判断一个多边形是不是正多边形，只需看各边都相等、
各角都相等这两个条件是否同时具备.
探究点二：多边形的内角和
问题4：（教材P50探究）类比四边形的内角和的推导过程，你能推
导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
观察下图，填空：
从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分
为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°；从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分
为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°.
由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
归纳总结：一般地，从n（n≥3）边形的一个顶点出发，可以作（n
－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形，n边形的内
角和等于（n－2）×180°.
这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n－2）
×180°.
注意：由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角
(n－2)×180°
为 .
n
问题5：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新
的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
图示 方法
如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶
点的线段，把n边形分成n个三角形.因为这n个三
角形的内角和是n×180°.以O为公共顶点的n个
角的和是360°，所以n边形的内角和是n×180°
－360°，即（n－2）×180°.
如图，在n边形的边上任意取一点P（不与顶点重
合），连接这点与各顶点的线段，把n边形分成
（n－1）个三角形.因为这（n－1）个三角形的内
角和是（n－1）×180°，以P为公共顶点的（n－
1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n
－1）×180°－180°，即（n－2）×180°.
【对应训练】教材P52练习第1题.探究点三：多边形的外角和
问题6：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个
外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？
请你说明理由.
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，
因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，所以外角和等
于n×180°－（n－2）×180°＝360°.
归纳总结：多边形的外角和等于360°.注意：多边形的外角和与边
数无关.
问题7：还有什么方法可以理解多边形的外角和等于360°？
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶
点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的
和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一
个周角，所以多边形的外角和等于360°.
（教材P52例2）一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个
多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于（n－2）
×180°，外角和等于360°，
所以（n－2）×180°＝2×360°，解得n＝6.因此这个多边形是六
边形.
【对应训练】教材P52练习第2题.
1.一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形的边数是（ D ）
A.7 B.8 C.9 D.102.在如图所示的五边形中，∠A＝∠B＝∠E＝90°，∠C＝∠D，则
∠C的度数是 13 5 ° .
3.一个多边形从一个顶点可引4条对角线，这个多边形是 七 边
形.
4.[教材变式]若一个正多边形的内角和比外角和多720°.
（1）这个正多边形的边数为 8 ；
（2）这个正多边形每个内角的度数为 13 5 ° .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
本节课内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转
化为简单问题、化未知为已知的思想方法等.教学中应结合具体内容
让学生加以体会，可采用开放式的探究，把学生推到主动位置，尽
可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合
作”中增知，在“探究”中创新，充分调动学生学习的自主性.
