文档内容
第 21 章 四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
【素养目标】
1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法.
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力.
3.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学
生的分析能力.
重点：矩形判定定理的理解与应用.
难点：矩形的判定定理与性质定理的区别和联系.
【复习导入】
问题1：矩形的定义是什么？
问题2：矩形有哪些性质？
思考：工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗是矩形，需要测量哪些数据
呢？
想一想：怎样判断四边形 ABCD 是矩形？
【合作探究】
探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形
问题1：上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的
四边形是矩形，你觉得对吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证
的条件，想一想怎么去证明？
第 1 页证一证：
已知：如图，在 ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证： ABCD 是矩形.
▱
▱
知识要点：
矩形的判定定理：
几何语言描述：
典例精析
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是
AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH.
求证：四边形 EFGH 是矩形.
练一练
1. 如图，在 ▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩
形的是 （ ）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
2. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，
∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形
问题2： 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗? 即四
个角都是直角的四边形是矩形吗? 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形?
第 2 页想一想
至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
知识要点：
矩形的判定定理：
几何语言描述：
典例精析
例2 如图， ▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H. 求证：四边
形 EFGH 是矩形.
A D
H
E G
F
B C
练一练
3. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角
∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
第 3 页当堂反馈
1.如图，要使 ▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
第1题图
A.AB＝BC B.AC⊥BD
C.∠ABC＝90° D.∠ABD＝∠CBD
2.下列命题是真命题的是( )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.一组对边平行且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
3.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)
在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线 AC，BD的长度，然后看它们
是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 .
第3题图
4.[教材变式]如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则该
四边形是 .若∠AOB＝60°，则AB∶AC＝ .
5.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形，请说明理由.
第 4 页参考答案
【合作探究】
探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形
证一证：
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义).
典例精析例1
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等)，
AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，且 EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
练一练1. A
2. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
1 1
∴ OA = OC = AC，OB = OD = BD.
2 2
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形
证一证
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
第 5 页典例精析
例2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
1 1 1
∴∠DAF＋∠ADF＝ ∠BAD＋ ∠ADC＝ （∠BAD＋∠ADC）＝90°.∴∠F＝90°.
2 2 2
同理∠H＝∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠AEB＝90°.∴四边形EFGH是矩形.
练一练3. 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
1
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
2
1
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°.
2
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
当堂反馈
1.C
2. C
3. 对角线相等的平行四边形为矩形 .
4. 矩形 1∶2
DC＝EA，
{
5.(1)证明：在△DCA和△EAC中， AD＝CE，
AC＝CA，
(2) AD ＝ BC ∴△DCA≌△EAC(SSS).
(2)解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.
∵△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴四边形ABCD为矩形(此题答案不唯一).
第 6 页
