文档内容
第一次月考数学压轴题（3 月份）（考查范围：第 16~17 章）
【人教版】
【类型一 选择压轴题】.............................................................................................................................................2
【题型1 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................2
【题型2 勾股定理】..................................................................................................................................................2
【题型3 勾股定理的逆定理】..................................................................................................................................3
【题型4 勾股定理的简单应用】..............................................................................................................................5
【类型二 填空压轴题】.............................................................................................................................................6
【题型5 根据二次根式性质求值】..........................................................................................................................6
【题型6 利用勾股定理解决面积问题】..................................................................................................................6
【题型7 利用勾股定理解决翻折问题】..................................................................................................................7
【题型8 判断能否构成直角三角形】......................................................................................................................8
【题型9 勾股定理的应用】......................................................................................................................................9
【类型三 解答压轴题】...........................................................................................................................................11
【题型10 利用勾股定理证明线段平方关系】......................................................................................................11
【题型11 利用勾股定理在网格中作图】..............................................................................................................12
【题型12 勾股定理的应用】..................................................................................................................................14
【题型13 复合二次根式的化简求值】..................................................................................................................17
【类型一 选择压轴题】
【题型1 二次根式的化简求值】
1
【例1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
【变式1-1】（24-25八年级·浙江嘉兴·开学考试）化简❑√3−2❑√2−❑√3+2❑√2的结果是（ ）
A．❑√2 B．−❑√2 C．2 D．−2
【变式1-2】（24-25八年级·重庆北碚·期中）已知 ，将 的整数部分加上 的小数部分的倒数得到
a =❑√3 a a
0 0 0
a ，再将a 的整数部分加上a 的小数部分的倒数得到a ，以此类推可得到a ，a ，……，a ．如❑√3的整数
1 1 1 2 3 4 n1 ❑√3+1
部分为1，小数部分为❑√3−1，所以a =1+ =1+ ．根据以上信息，下列说法正确的有
1 ❑√3−1 2
（ ）
9+❑√3 ❑√3−1 3+❑√3
①a = ；②a 的小数部分为 ；③a −a = ；④
3 2 2022 2 20 19 2
1 1 1 47
+ +⋯⋯+ = ；⑤
(a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) 450
2 4 4 6 98 100
．
a +a +a +⋯⋯+a =1230+30❑√3
1 2 3 40
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（24-25八年级·江苏南通·期中）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值
为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【题型2 勾股定理】
【例2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，△ABC的角平分线AF,BE相交于点P，若
AP
AB=AC=13,BC=10，则 的值为（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
【变式2-1】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b
5
．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD= BD．连接
6
AF,DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）4 6 5
A．a= b B．a= b C．a= b D．a=❑√2b
3 5 3
【变式2-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点
D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
7 3 5 14
A． B． C． D．
5 2 3 5
【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是
△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:OE:OF=1:4:4，则AO的长度为
（ ）
160 80
A．7 B．5 C． D．
17 17
【题型3 勾股定理的逆定理】
【例3】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块
正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块
（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【变式3-1】（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图已知△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，BC边上的中
线AD=12cm，则△ABC的面积为（ ）cm2．
A．30 B．130 C．60 D．120
【变式3-2】（24-25八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°
成△ABC ，则CC 的长等于（ ）
1 1
12 5 5 24
A． B． C． D．
5 12 6 5
【变式3-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平
分∠CAB，则△ABD的面积为（ ）
35
A．14 B．15 C．16 D．
2【题型4 勾股定理的简单应用】
【例4】（24-25八年级·全国·课后作业）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．
它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D
为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（
）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，
若PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
米
A．❑√22 B．❑√23 C．5 D．❑√26
6
【变式4-2】（24-25八年级·全国·课后作业）如图，已知圆柱的底面直径BC= ，高AB=3，小虫在圆柱
π
侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18 B．48 C．120 D．72
【变式4-3】（24-25八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为12cm的长方
体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）A．13cm B．❑√241cm C．❑√193cm D．19cm
【类型二 填空压轴题】
【题型5 根据二次根式性质求值】
1
【例5】（24-25八年级·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，
4
则xy−z的值是 ．
【变式5-1】（24-25八年级·浙江宁波·开学考试）已知实数x，y满足
，则 的值为 ．
(x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018 x2+ y2
【变式5-2】（24-25八年级·重庆九龙坡·期中）若m是正整数，m除以13的余数为2，则称m是“阿二
数”．例如：15是正整数，15÷13=1......2，则15是“阿二数”；52是正整数，且52÷13=4，则52不
是“阿二数”，对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．
有一个四位正整数p是“阿二数”，p的千位数字比百位数字少1，十位数字与个位数字的和为9，且
√5c+7d
F(p)=❑ 为有理数，则满足条件的p的值为 ．
2a+b
【变式5-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）已知正实数a，b，c满足a+b+c=6，则
的最小值为 ．
❑√a2+18+❑√b2+32+❑√c2+50
【题型6 利用勾股定理解决面积问题】
【例6】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，AB=1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为
边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．【变式6-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，点D、E分别
在AC、BC上，且AD=BE，连接DE，若四边形BADE的面积是5，AB=6，则DE的长为 .
【变式6-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿
A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t= ， APE的面积等于12．
△
【变式6-3】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， 分别以
AB、BC、AC为边向上作正方形， 已知Rt△ABC的面积为6，则图中阴影部分面积之和是
．【题型7 利用勾股定理解决翻折问题】
【例7】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，长方形ABCD中：AB=CD=8，AD=BC=5．点E为射
线AB上的一动点，将△ADE沿DE折叠，得到△A′DE（点A的对应点为A′）并连接A′ A、A′B，当
△A′ AB为等腰三角形，AE的长是 ．
【变式7-1】（24-25·浙江宁波·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是
AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE=1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′
重合，B与B′重合，若A′E∥B′F，则BF= ．
【变式7-2】（24-25·辽宁铁岭·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点D是
AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A′DE的位置，A′D交AB于点F
，若△BA′F为直角三角形，则AE的长为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·广东·专题练习）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上
点A′处，点D的对应点为D′，连接A′D′交边CD于点E，连接CD′，若AB=9，AD=6，A′点为BC的中
点，则线段ED′的长为 ．【题型8 判断能否构成直角三角形】
【例8】（24-25·河南郑州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC
上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP
的长是 ．
【变式8-1】（24-25八年级·全国·课后作业）在△ABC 中，若a2+b2=25,a2−b2=7，c=5，则最长边上
的高为 ．
【变式8-2】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，AB=2.5cm，AC=6cm，BC=6.5cm，
∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为D，则线段PD的长度为 cm
．
【变式8-3】（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，
使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．【题型9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，
如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在
正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD
上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
cm
【变式9-1】（24-25八年级·山东滨州·阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到
正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【变式9-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一
根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只
蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米．【变式9-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
24dm、4dm、2dm，点A和点B是这个三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去
吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 ．
【类型三 解答压轴题】
【题型10 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例10】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，
且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方
法．小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请
写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由．
【变式10-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外
作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
【变式10-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=6
，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．
（1）求证：△ECA≌△DCB；
（2）探究AE、AD、AB的数量关系，并证明；
（3）若AE:AD=1:3，求两个三角形重叠部分的面积．
【变式10-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，
∠BAC=∠DAE=α，AB=AC，AD=AE．
(1)如图1，当α=90°时，连接EC，写出DB，DC，DE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当α=60°时，过点A作DE的垂线并延长，交BC于点F，若BC=10，BD=2，求线段CF的
长．
【题型11 利用勾股定理在网格中作图】
【例11】（24-25八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称
为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．(1)在图1中．点A、B都是格点，则AB的长度是______；
(2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以AB为腰的等腰△ABC；
(3)在图2中，△ABC是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使BD平分∠ABC不写画法，保
留画图痕迹
【变式11-1】（24-25八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个
面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸
中每个小方格的边长为1）
【思考尝试】（1）如图（1），线段AB的长为6，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并
直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）
【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝
隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．
【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为a、b的两个正方形ABCD和BEFG摆放到一起，剪一剪，并
把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．
【变式11-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫
做格点，△ABC三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示．(1)如图1中，点P是线段AB上一点，先画出△ABC的高BN；再在BC上画出一点E，使BE=BP．
(2)如图2中，先在边AC上画出一点Q，使∠ABQ=45°；再在△ABC内画出一点O，使OA=OB=OC．
【变式11-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格
点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
【题型12 勾股定理的应用】
【例12】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受
到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆
心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市
的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为5.6h，则台风中心的移动速度是多少？
【变式12-1】（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱
的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【变式12-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= ；（直接写出答案）【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂
蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处
所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【变式12-3】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，
AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面
积之间的关系，可得到勾股定理：S =
梯形ABCD
______，
S =______，
△EBC
S =______，
四边形AECD
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千
米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81 (0b），使a+b=m，
，即 ， ﹐那么便有： __________．
ab=n (❑√a) 2+(❑√b) 2=m ❑√a×❑√b=❑√n ❑√m±2❑√n=
（3）化简：❑√4−❑√15（请写出化简过程）
【变式13-2】（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）观察下列各式：
1 1×(❑√2−1) ；
= =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1 1×(❑√3−❑√2) ；
= =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 1×(❑√4−❑√3) ．
= =❑√4−❑√3
❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)
回答下列问题：
1
(1) =______；
❑√6+❑√5
1
(2)当n为正整数时， =______；
❑√n+❑√n−1
1 1 1 1 1
(3)计算1+ + + +⋯+ + 的值．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【变式13-3】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
，则 这样，我们不用求出a，b，就可以得到
x=a+b，y=ab a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10
最后的结果．❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
(1)计算： ⋅ =____， + =____
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m是正整数，a= ,b= ,且2a2+1955ab+2b2=2023，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知，求的值．
