文档内容
第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教学设计
课题 第1课时 菱形的性质 授课人
1.学习菱形的定义和菱形的特殊性质；
2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简单的实际问
教学目标
题；
3.会利用对角线的长求菱形的面积
教学重点 菱形性质定理的运用
教学难点 菱形性质定理的理解及灵活应用
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？ 通过回顾
旧知为学
习新知做
好准备.
探究新知 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 通过问题
探究和讨
论，帮助
学生理解
菱形的性
质 . 通 过
观察和讨
☀注意 论，帮助
学生发现
（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形．
菱形的性
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定．
质，并掌
握 其 应
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四
边形的一般性质，即：
用.除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，
打开即可得到一个菱形.
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形（如图），并
回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关
系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组
对角.
证一证：
已知：如图，在 ▱ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD.
∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD.
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中.
∵OB = OD.
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
小结
菱形的性质：菱形的四条边都相等.
符号语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD.
菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平
分一组对角.
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.相等的线段：AB=CD=AD=BC
OA=OC,OB=OD.
相等的角：∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA.
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8.
等腰三角形有：△ABC , △DBC , △ACD,△ABD.
直角三角形有：Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA.
全等三角形有：Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA.
△ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC.
小结
菱形的性质数学语言：
小结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，
还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计
算菱形ABCD的面积呢?
能．过点A作AE⊥BC于点E，
则S ＝底×高＝BC·AE．
菱形ABCD
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用
对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试
用对角线表示出菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S ＝S ＋S
菱形ABCD △ABC △ADC
1 1 1 1
＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
2 2 2 2
小结
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
（链接例1、例2）
典例精析 【例1】已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB 通过例题
交AC于F．求证：EF⊥AD． 和练习帮
助学生掌
握所学知
识，培养
学生的应
用能力.【解】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD．
【例2】如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着
菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保
留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
【解】设AC，BD相于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
1 1
∴AC⊥BD,∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
2 2
在Rt△ABO中，
1 1
AO= AB= ×20=10，
2 2
BO=√AB2−AO2 =√202−102 =10√3.
∴ 花 坛 的 两 条 小 路 长 AC=2AO=20 （ m ） ， BD=2BO=20√3
≈34.64(m).
花坛的面积
1
S =4×S =4× AO∙BO=200√3≈346.4(m2).
菱形ABCD △ABO 2【方法总结】菱形的面积计算有如下方法：
（1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积；
（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积
的4倍）；
（3）两条对角线长度乘积的一半．
随堂检测 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD 通过设置
边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ C ） 随 堂 检
测，及时
获知学生
对所学知
识的掌握
情况，明
确哪些学
生需要在
课后加强
A．32 B．24 C．16 D．18
辅导，达
2．如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个 到全面提
菱形的高DE为（ B ） 高 的 目
的.
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝
2，则菱形ABCD的周长为多少?
解：∵ E，F分别是AD，BD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB＝2EF＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD周长为16．4．如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD＝60〫，求对角线
BD的长度．
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60〫，
∴∠DAO＝30〫．
∵在Rt△AOD中，∠DAO＝30〫，AD＝6，
∴OD＝3，
∴BD＝6．
5．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 第1课时 菱形的性质
教学反思
