文档内容
第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
教学设计
课题 第2课时 菱形的判定 授课人
1.理解菱形的概念，掌握菱形的性质和判定方法，能运用菱形的性质和判定
进行简单的计算和证明；
2.经历探索菱形性质和判定的过程，培养学生的观察、动手、分析和归纳能
教学目标
力；
3.感受菱形在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学
习数学的兴趣
教学重点 运用菱形的性质和判定进行计算和证明
教学难点 菱形与平行四边形、矩形之间的区别和联系
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 菱形是如何定义的？菱形有哪些性质？ 通过回顾
旧知为学
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
习新知做
好准备.
探究新知 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： 通过问题
探究和讨
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
论，帮助
符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， 学生理解
菱形的判
∴四边形ABCD是菱形．
定 . 通 过
观察和讨
论，帮助
学生发现菱形的判
定，并掌
握 其 应
用.
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是
菱形？先想一想，再与同伴交流．
思考
我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
同样地，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等
的四边形是菱形吗？
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做
成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四
边形．转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?
可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
下面我们证明这个结论．
已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC．
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC．
∴四边形ABCD是菱形．
小结判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为
菱形的一条对角线吗？
1
如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条
2
弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看
上去是菱形．
你是怎么做的？你认为上述做法正确吗？与同伴交流．
小结
由前面的探究可以得到定理如下：
判定定理 四条边相等的四边形是菱形．
请你完成这个定理的证明．
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝CD，BC＝AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
你能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将
纸展开，就得到了一个菱形．你能说说这样做的道理吗？
因为四边相等的四边形是菱形．
（链接例1、例2）
典例精析 【例1】如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，点 通过例题
E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点． 和练习帮
助学生掌
求证：四边形EFGH是菱形．
握所学知
识，培养
学生的应
用能力.
【解析】利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH的四条边相
等即可．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD．
∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB，△BOC， △COD，△AOD的中位
线，
1 1 1 1
∴ EF＝ AB，FG＝ BC，GH＝ CD，EH＝ AD，
2 2 2 2
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
【例2】如图，在□ABCD中，对角线 AC的垂直平分线与边 AD，
BC分别相交于E，F． 求证：四边形AECF是菱形．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE//CF．∴ ∠1=∠2.
又∠AOE＝∠COF， AO＝CO,
∴△AOE≌△COF .
∴EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
随堂检测 1．如图所示，小红在作线段 AB 的垂直平分线时，是这样操作 通过设置的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画 随 堂 检
弧，两弧相交于点 C，D，则直线 CD即为所求．连接 AC，BC， 测，及时
AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形 ADBC 一定是（ 获知学生
对所学知
B ）
识的掌握
情况，明
确哪些学
生需要在
课后加强
辅导，达
到全面提
高 的 目
的.
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
解析：由题意知AC＝AD＝BD＝BC，∴四边形ADBC一定是菱形．
2．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，
DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠DAF．
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠EAD＝∠DAF．
∴∠EDA＝∠EAD，
∴EA＝ED．
∴四边形AEDF是菱形．
3．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB
＝√5，OA＝2，OB＝1．求证：□ABCD是菱形．
证明：在△AOB中，∵AB＝√5，OA＝2，OB＝1，
∴AB²＝OA²＋OB²．
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD．
∴□ABCD是菱形．
课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 第2课时 菱形的判定
判定1 例题解析
判定2 例题解析
判定3 例题解析
教学反思
