文档内容
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的定义与性质
1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系.
2.经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力.
3.能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解
决问题的能力.
重点：菱形性质定理的理解和应用.
难点：菱形性质定理的探究与证明.
知识链接：前面我们学习了矩形的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：菱形的定义
问题1：如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不
变，仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形
叫什么呢？
概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
注意：菱形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是菱形.
问题2：菱形也是常见的几何图形，能否举出生活中菱形形象的例
子？
门窗的窗格，中国结等.
探究点二：菱形的性质
问题3：（教材P72思考）因为菱形是平行四边形，所以它具备平行
四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？
类比平行四边形，从边、角、对角线的角度研究矩形的特殊性质.将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开.观察图形，回答
下列问题：
（1）菱形在对称性方面有什么特点？
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
（2）菱形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊
之处？
菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件.
（3）平行四边形的两组对边分别相等，那么菱形的四条边有怎样的
关系呢？
由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，由平行四边形对边相等
的性质容易发现菱形的四条边都相等.
（4）我们通过刚刚的折纸，可以发现菱形的两条对角线有什么位置
关系？
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
下面我们一起来验证一下：
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交
于点O.
求证：AB＝BC＝CD＝AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD.
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O.求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和
∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD（等腰三角形的三线合一）.
同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.
归纳总结：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并
且每一条对角线平分一组对角.
综合来看，这两条性质可用下面的几何语言来表示：
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平
分∠ADC.
【对应训练】教材P73练习第2题和教材P74练习第3题.
探究点三：菱形的面积
问题4：由于菱形的对角线互相垂直，我们发现，菱形的对角线可
以把菱形分成四个全等的直角三角形.那么菱形的面积计算除了像平
行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
菱形的面积还可以利用4个全等的三角形面积的和来计算.
1 1 1
S ＝4S ＝4× AO·BO＝ ×2AO×2BO＝ AC·BD.
菱形ABCD △ABO 2 2 2
归纳总结：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它
们的底和高分别是两条对角线的一半.所以利用三角形的面积公式可
以得到，菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.（教材P73例3）如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC
＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路
的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后
一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
2 2
1 1
在Rt△OAB中，AO＝ AB＝ ×20＝10，BO＝√AB2－AO2＝
2 2
√202－102＝10√3.
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m），BD＝2BO＝20√3
≈34.64（m）.
1
花坛的面积S ＝4×S ＝ AC·BD＝200√3≈346.4（m2）.
菱形ABCD △OAB 2
【对应训练】教材P73练习第1题.
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( C )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
第2题图 第4题图
2.如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1的度数为（ D ）
A.30° B.25° C.20° D.15°3.[教材变式]在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形
ABCD的面积为 3 0 .
4.[教材变式]如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，BD＝5，则
菱形ABCD的周长是 2 0 .
5.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连
接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵点E，F分别为边CD，AD的中点，
∴CD＝2DE，AD＝2DF.∴DE＝DF.
又∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS）.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
