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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 54 练 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精练）
刷真题 明导向
一、双空题
1．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
【答案】 ，
【分析】利用古典概型概率公式求 ，由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
2．（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数
为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ，
.【答案】 1
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得 的值，再根据随机变量 的分布列即可求出 ．
【详解】 ，所以 ，
, 所以 , 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
二、解答题
3．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投
篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命
中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙
以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
6．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起
进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检
测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的
检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
7．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的
同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确
则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题
回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回
答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与
（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得 分，共下5局．用 表示甲的得分，则
表示（ ）
A．甲胜3局负2局 B．甲胜4局负1局
C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局
【答案】D
【分析】根据已知条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得，当 时，应该为3胜2平或4胜1负.
故选：D.
2．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则 （ ）8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【答案】D
【分析】根据所有事件概率和为1，从而得到 .
【详解】 ,
故选：D.
3．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机
拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为
（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
【答案】A
【分析】利用排列问题的运算求解即可.
【详解】由于后四位数字两两不同，且都大于 ，
因此只能是 四位数字的不同排列，故有 种.
故选：A
4．随机变量 的分布列如表所示，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据分布列的性质及所给条件得到方程组，解得即可.
【详解】依题意 ，又 ，解得 ， .
故选：B
5．已知随机变量 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由随机变量分布列的性质求出 ，即可求出 ．
【详解】 随机变量 的分布列为 ，
， ，
.
故选：D．
6．随机变量 的所有可能的取值为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．30 D．15
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为1，列出方程即可求解.
【详解】 随机变量 的所有可能的取值为 ，且 ，
.
故选：B.
7．已知 ，离散型随机变量 的分布列如下表，若 ，则 （ ）
0 2
P m n
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分 和 分类讨论，再结合概率之和为0求出 ，根据离散型随机变量的期望公
式求解即可.
【详解】若 ，即 时，则 ， 不符合；若 ，即 时， ，符合，则 ，
则 .
故选：C
8．设随机变量 的概率分布列如表所示，则 （ ）
2 3 4
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列概率之和为1，再根据 的取值可求得答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 或 ．
故选:D．
9．已知随机变量X的分布列如表（其中 为常数），则下列计算结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由 ，求得 ，再逐项判断.
【详解】解：由 ，解得 ，
则 ，
，，
故选：D
10．若随机变量 的分布列如下表所示，则 的最小值为（ ）
0 1 2 3
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用分布列的性质得到 的关系式与范围，再利用基本不等式即可得解.
【详解】依题意，得 ，且 ，即 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
11．已知随机变量 的分布列如下表，则 （ ）
0 2 4
0.3 0.5
A．16 B．11 C．2.2 D．2.3
【答案】A
【分析】根据所有概率之和为1求得 ，再根据均值的计算公式可求得 ，进而根据
可求解.【详解】因为 ，所以 .
所以 ，
故 .
故选：A
12．随机变量 服从两点分布，且 ，令 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两点分布的性质求出 ，则 .
【详解】因为随机变量 服从两点分布，且 ，
所以 ，
由 ，所以 .
故选：D
13．随机变量 的分布列如下表，且 ，则 （ ）
0 2
A．10 B．15 C．40 D．45
【答案】D
【分析】由概率和为1列方程求出 的值，再由 可求出 的值，然后由方差公式求出 ，再由
方差的性质可求出结果.
【详解】由题意得 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以
故选：D.
14．随机变量 的分布列为
1 2 3
n
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质求出 ，再根据方差公式可求出结果.
【详解】由 ，得 ，
，
.
故选：A
15．已知随机变量ξ的分布列为
1 2 3
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由分布列的性质和期望的定义求 ，再根据方差的定义求 .
【详解】由分布列性质，得 ．又 ，得 ，可得 ，
所以 ，
故选：A.
二、多选题
16．随机变量 和 ，其中 ，且 ，若 的分布列如表：
X 1 2 3 4
P m n
则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先利用均值的性质根据 求出 ，再根据分布列求出随机变量 的均值和 的值，联
立即可求解.
【详解】根据分布列可知 ①，
因为 ，所以 ，解得 ，
又由分布列可得 ，整理得 ②，
①②联立解得 ， ，
故选：BCD
17．已知离散型随机变量 的分布列如下：
0 1 2下列选项中正确的是（ ）
A． 的值为 B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案.
【详解】由离散型随机变量 的分布列的性质得： ,解得 ，故A正确；
，故B错误，C正确；
，故D错误．
故选：AC．
18．随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
a
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据所有概率和为1，可求出 ，对于B，由 求解，对
于C，利用期望公式求解，对于D，利用方差公式求解.
【详解】对于A，由题意得 ，得 ，所以A错误，
对于B， ，所以B正确，
对于C， ，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：BC
19．随机变量 服从两点分布，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABD
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量 服从两点分布， ，所以 ，
故 ，因此， ，
，所以正确的是ABD．
故选：ABD．
20．随机变量 的分布列为（ ）
0 1 2
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出 、 的值，再求出方差，最后利用期望、方差
的性质求出 、 ，即可判断.
【详解】由题可知， ，解得 ，故A正确．
，故B正确．
，故C错误．
，故D正确．故选：ABD
21．随机变量X服从以下概率分布：
X 1 2 3
P a b
若 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性
质以及方差的计算公式，可得答案.
【详解】由题意， ，则 ；
，则 .
由方程组 ，解得 .
， .
故选：AD.
三、填空题
22．已知随机变量 的分布列如下：
则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可.
【详解】由随机变量 的分布列可知 ，所以 ，
故答案为：
23．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
0 1 2 3
若离散型随机变量 ，则 ．
【答案】
【分析】先求出随机变量 的概率，再求出 ，最后根据性质求出 即可.
【详解】设随机变量 的概率为： ，
则 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
故答案为： .
24．离散型随机变量X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量Y满足 ，则下列结果正确的为 ．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①③
【分析】根据分布列的性质，求得 ，利用期望和方差的公式，求得 的值，进而根据
，进而求得 的值，即可求解.【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得 ，
则 ，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足 ，所以 ，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
25．从放有6黑3白共9颗珠子的袋子中抓3颗珠子，则白珠颗数的期望为 .
【答案】1
【分析】设所取的三颗珠子中白珠的颗数为 ，由条件确定 的分布列，再由期望公式求期望.
【详解】设所取的三颗珠子中白珠的颗数为 ，则 的取值有 ，
， ， ， ，所以随机变量
的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的期望 ，
所以白珠颗数的期望为1，
故答案为：1.
26．设随机变量 的概率分布为 ， 为常数， ， ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【详解】由题意知：随机变量 的所有可能取值的概率和为1，即 ，
则 ，
由等比数列的求和公式，得 ，
所以 ，得 .
故答案为：
27．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到
达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则 .
【答案】
【分析】列出随机变量的分布列求解.
【详解】由题意银行营业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数X的分布列为
X 5 4 3 4 2
P
则 .
故答案为：
28．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.1则 ．
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出 ，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：由题意可得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
29．已知随机变量 的分布列为
-1 0 1 2
0.1 0.2 0.3 0.4
则随机变量 的数学期望 .
【答案】2
【分析】根据题意求出 的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.
【详解】由题意知， 的取值为0，1，4，
则 ，
，
，
0 1 4
0.2 0.4 0.4
.
故答案为：2.
四、解答题30．某一射手射击所得环数 的分布列如下：
(1)求 的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数 ”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分布列中的概率和为 可构造方程求得结果；
（2）由分布列中对应的概率，结合对立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1） ， .
（2）此射手“射击一次命中的环数 ”的概率 .
31．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量 表示从该盒
中取出的红球个数．
(1)求随机变量 的分布列；
(2)求随机变量 的期望和方差．
【答案】(1)见解析
(2)期望为 ，方差为 .
【分析】(1)先写出随机变量 的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量 的分布列；
(2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量 的期望和方差．
【详解】（1）由题可知，随机变量 可能的取值有 ，
所以
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2（2）由(1)的分布列得 ，
．
32．每年 月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接 年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求
每位参赛选手从 道“生态环保题”和 道“智慧生活题”中任选 道作答 每道题被选中的概率相等 ,设
随机变量 表示某选手所选 道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量 的分布列及方差 ．
【答案】(1) ；
(2)随机变量 的分布列见解析， .
【分析】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件 ，利用古典概型求解即可．
（2）由题意可知 ；求出概率可得到 的分布列，再由方差公式即可求得方差．
【详解】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件 ，则选中2道“生态环保题”，
则 ；
（2）由题意可知 ；
则 ，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2的期望 ，
.
33．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大
学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为 ， ，
p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 ．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.
（2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.
【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 ，
所以 ，则 ．
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3P
34．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3
道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成
6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．
(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；
（2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可
【详解】（1）考生从6道备选试题中一次性抽取3道题所包含的基本事件总数为 ，考生甲能通过
笔试进入面试所包含的基本事件个数为 ，
所以考生甲至少正确完成2道题的概率为 ；
（2）随机变量 的所有可能取值为1，2，3，
则 ，
所以 的分布列为：
1 2 3
故 ．
35．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，
28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则
按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析， ， ；
(2)均值为71元，方差为 .
【分析】（1）利用概率和为1求出 的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则 ，然后利用期望方差的性质可算出
答案.
【详解】（1）由题意，得 ．∴ ．
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴ ，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则 ，
∴ ， ．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
36．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 、 ，已知甲、乙两名射手在每次射
击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的
概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求 、 的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
【答案】(1)答案见解析；
(2)甲比乙的射击技术好．
【分析】（1）由概率和为1求出对应概率，列出分布列即可；
（2）分别计算期望和方差，比较即可作出判断.【详解】（1）由题意得： ，解得 ．因为乙射中10、9、8环的概率分别为0.3、
0.3、0.2，
所以乙射中7环的概率为 ，所以 的分布为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
的分布为
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）得： ；
；
；
．
由于 ， ，说明甲射击的环数的期望比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击
技术好．
37．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在 、 两名同学中产生，测试方案如下： 、 两名学生各自
从给定的 个问题中随机抽取 个问题作答，在这 个问题中，已知 能正确作答其中的 个， 能正确作
答每个问题的概率是 ， 、 两名同学作答问题相互独立．
(1)设 答对的题数为 ，求 的分布列；
(2)设 答对的题数为 ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)选择 同学，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；
（2）由已知可得 满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.【详解】（1）设 答对的题数 ，则 的可能取值有 ， ，且 ，
，
则 的分布列为：
（2）设 答对的题数 ，则 ，
， ， ， ，
由（1）知： ，
，
而 ，
，
所以 ， ，故选择 为参赛选手．
38．某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调
研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 .(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据 ）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番
【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；
（2）设 年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为 万元，则 的分布列为
60 -30
若投资项目二，设获利为 万元，则 的分布列为
100 0 -60
，
，
，
，
，
这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行
投资.
（2）假设 年后总资产可以翻两番，依题意， ，即 ，两边取对数，得 ，
， ，
大约在2030年年底总资产可以翻两番.
39．已知甲乙两个袋子各装有6个大小、材质都相同的小球．其中甲袋有4个白球2个黑球，乙袋有5个
白球1个黑球．
(1)从甲袋取出两个小球，记X为其中黑球的个数，求X的分布列和数学期望；
(2)从甲袋取出两个小球放入乙袋，再从乙袋取出两个球，求从乙袋取出两个球都是黑球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出X可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；
（2）在（1）的基础上，分三种情况，求出相应的概率，相加即可.
【详解】（1）X可能取值为0,1,2，
则 ， ， ，
则X的分布列为：
0 1 2
数学期望 ；
（2）若从甲袋中取出的两个小球均为白球，放入乙袋中，此时乙袋中有7个白球1个黑球，
故不可能从乙袋取出两个球都是黑球，舍去；
若从甲袋中取出的两个小球一个黑球，一个白球，放入乙袋中，此时乙袋中有6个白球2个黑球，
从乙袋取出两个球都是黑球的概率为 ，
若从甲袋中取出的两个小球均为黑球，放入乙袋中，此时乙袋中有5个白球3个黑球，
从乙袋取出两个球都是黑球的概率为 ，故从乙袋取出两个球都是黑球的概率为 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．随机变量 的分布列如下表，其中 ， ， 成等差数列，且 ，
1 2 3
则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及 ， ， 成等差数列, 列方程组求出 ,再求数学期望即可.
【详解】由 ，得 ，则 ．
故选:A.
2．已知随机变量 的分布列如下表所示，若 ，则 （ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据分布列的性质以及 ，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，
即可得答案.【详解】由题意可得 ，
由 得： ，
两式联立解得 ，
故 ，
故选:A
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为 ，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金
800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（ ）元.
A．700 B．600 C．200 D．100
【答案】D
【分析】根据题意，先计算得到甲应得奖金的期望，从而得到乙应得奖金.
【详解】设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，
甲赢得比赛有3中情况：
①胜第3局，甲赢的概率为 ，
②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为 ，
③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为 ，
∴甲赢的概率为 ，
∴ ，
则乙应得奖金 ，
故选：D.
4．将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的
个数为 ，则 的数学期望为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的所有可能值，再结合排列、组合及古典概率求出各个值对应的概率作答.
【详解】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有 种，
随机变量 的可能值为 ，
，
所以 的数学期望为 .
故选：B
5．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 的数学期望为 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量 可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用
离散型随机变量的期望公式计算求得 的值．
【详解】随机变量 可能的取值为2，3．
，
，
故 的分布列为：
2 3故 ，
由 ，解得 或 ．
故选：D．
6．若随机变量X的分布律为 ， ，且 ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式计算即可．
【详解】解：根据题意， ， ,
所以 .
故选：C．
7．随机变量 的分布列如下，则 （ ）
0 1 2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由分布列性质求出 ，再由分布列计算期望、方差，再由方差性质求解.
【详解】由分布列性质可知， ，解得 ，
所以 ，
,所以 .
故选：D
8．若数据 ， ，…， 的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（ ）
A．数据 ， ，…， 的平均数为9B．
C．数据 ， ，…， 的方差为 D．
【答案】C
【分析】根据期望、方差的性质判断A、C的正误；利用期望、方差公式分析B、D的正误.
【详解】A：由原数据期望 ，则新数据期望 ，正确；
B： ，正确；
C：由原数据方差 ，则新数据期望 ，错误；
D：由 ，
所以 ，正确.
故选：C
9．设离散型随机变量 的分布列为
若离散型随机变量 满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D.
【详解】由 ，得 ，故A错误；
，故B错误；
，
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
10．已知随机变量 满足 为常数），则 的方差 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.
【详解】 ，
，解得 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：D
11．在某次考试中，多项选择题的给分标准如下：在每题给出的四个选项中，正确选项为其中的两项或三
项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选
择题的情况下，分别选了 ， ， ，则三人该题得分的数学期望分别为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先考虑正确答案所有可能的情况，从而再分别考虑甲乙丙三人的可能得分情况，计算出相应得分
的概率，根据期望公式计算出三人得分的期望，即可得答案.
【详解】由题意正确选项若为2项，则有 种可能情况，
正确选项若为3项，则有 种可能情况，共正确选项的可能情况共有10种，
甲选A，则他可能得分的情况即正确答案中含有A，有 种，
故甲得2分的概率为 ,
甲可能的得分分数 为0，2，故他得分的数学期望为 ；
乙选AB，他可能的得分 为 ，
若正确答案为AB，即他可能得5分的情况有1种，此时 ,
若正确答案为ABC或ABD，他可能得2分的情况有2种，此时 ,
则 ，故 ；
丙选ABC，他可能的得分 为 ，
若正确答案为ABC，则 ，则 ，
故 ，
即三人该题得分的数学期望分别为 ，
故选；D
12．若离散型随机变量X的分布列如下，若 ，则 =（ ）
X -1 0 1 2
P a b c
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据分布列所有概率之和为1，且 可得 的值，再根据和事件概率的加法公
式即可得出结果.
【详解】由题意知， ；
由 ，即 ，
得 ；
由 ，即
整理得
联立①②③解得 ；
又因为
所以 .
故选：D.
二、多选题
13．已知两个离散型随机变量 ，满足 ，其中 的分布列如下：
0 1 2
若 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】由分布列的性质及期望公式解得 ，然后根据期望与方差的公式及性质求解 .
【详解】由分布列的性质，可得 ，解得 ①，
因为 ，所以 ，即 ②，
联立①②解得 ， ，
∴ ，
因为 ，所以 ， .
故选：ABD.
14．设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量 描述一次试验的成功次数， ， 分别为
随机变量的均值和方差，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望、
方差，逐个选项分析即可；
【详解】设试验成功的概率为 ，解得： ；
记一次试验中成功的次数为X，则 的取值有0,1，
,选项A正确；
X 0 1
则随机变量X的数学期望 ,
选项B正确；选项C正确；
选项D错误；
故选：ABC.
15．已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则（ ）
X/百万 0 2
P 0.2 m 0.6
Y/百万 0 1 2
P 0.3 0.4 n
A．
B．投资两种项目的收益期望一样多
C． ，
D．投资A项目的风险比B项目高
【答案】ABD
【分析】根据分布列的性质求出 、 ，再根据期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意可得 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，故A正确；
所以 ，则 ，故C错误；
，所以 ，故B正确；
因为
，
即 ，所以投资 项目的风险比 项目高，故D正确；
故选：ABD.
16．已知随机变量 的分布列为 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据分布列的性质求 ，结合期望和方差的定义求 ，再由期望的性质求 ，
方差的性质求 ，由此可判断结论.
【详解】因为随机变量 的分布列为 ，
所以 ，
所以 ，A正确；
所以 ，B正确；
，C错误；
由方差的定义可得 ，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
17．已知随机变量 和 的分布列如下， 与 的取值互不影响，则（ ）
0 1 0 1 2
A． 的取值范围是
B．存在 ，使得
C．
D．当 时，
【答案】AD
【分析】利用概率的性质以及期望和方差的公式求解.【详解】对于选项 ，由已知得 且 ，解得 ，则选项 正确；
对于选项 ，因为 与 的取值互不影响，
所以 ，解得 ，
因为 ，则不存在 值， ，则选项 错误；
对于选项 ，
，则选项 错误；
对于选项 ，当 时， ，
则 ，则选项 正确；
故选： .
18．口袋中有 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不
放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据概率公式求得事件 的概率，从而可求得 ，然后求出 的分布列，由此可得 和
，从而判断各选项．
【详解】事件 ，即为第一次取得红球，第二次取得白球，因此 ，由于
是正整数，故解得 ，
由题意可知 的可能值依次为 ，
， ， ，
的分布列为
1 2 3 4，
，
因此ABC正确，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
19．若随机变量 的分布列如下表，且 ，则 的值为 .
0 2
【答案】
【分析】利用分布列求出 ，利用期望求解 ，然后求解方差即可．
【详解】解：由题意可得： ，解得 ，
因为 ，所以： ，解得 ．
．
．
故答案为： ．
20．袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数 的数学期
望为 ．
【答案】
【分析】根据题意，写出 的所有可能值并求出每个值对应的概率，代入期望的计算公式即可求解.【详解】由题意得 的所有可能值为1，2，3，
， ；
，
∴ ．
故答案为： .
21．随机变量 的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【分析】由概率和为1求出a，先求出 和 ，进而求出 .
【详解】由 ，所以 ， ，
故答案为：20
22．一个质地均匀的小正方体，其中三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这个小正方体连续抛掷两
次，若用随机变量 表示两次中出现向上的面所标的数字之积，则 的期望 ．
【答案】
【分析】根据题意先求出随机变量 的可能取值，然后分别求出随机变量 每一个值对应的概率，最后代
入离散型随机变量的均值公式即可求解.
【详解】由题意可知：随机变量 的可能取值为 ，
当变量为 时，表示两次中至少有一个为 ，这两个事件是相互独立事件，所以 ，
同理 ；
；
，所以 ，
故答案为： .
23．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率
为 ，若记取出3个球中黑球的个数为 ，则 ．
【答案】
【分析】黑球的个数为 ，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为 ，求出 ，然后求解记取
出3个球中黑球的个数为 ，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：设黑球的个数为 ，由 得 ，
记取出3个球中黑球的个数为 ， 的取值可以为1，2，3；
， ， ，
则 分布列如下：
1 2 3
所以 ，
则 ．故答案为： .
24．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，
不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为 ，且 ，则随机变量 的数学期望
．
【答案】1
【分析】由题意确定白球以及黑球的个数，然后求出 和 ，根据期望的计算公式，即可求
得答案.
【详解】由题意知白球的个数不为0和4，
假设白球有1个，则 ,与 矛盾；
假设白球有2个，则 ，符合题意；
假设白球有3个，则 ，不符合题意；
故白球有2个，黑球有2个，红球有1个，
则随机变量 的可能取值为：0,1,2，
则 ， ，
则 ，
故 ，
故答案为：1
25．某电视台有一种猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，已知选手猜对A、B、C三首歌曲的概率
依次是0.8、0.5、0.2，且猜对可获得的奖励依次为100元、200元、500元，只有猜对当前歌曲的歌名才有
资格进入下一首，则某选手按照ABC顺序猜歌所获奖金均值比按照BAC的顺序猜歌所获奖金均值多
元.
【答案】20
【分析】分别用 、 、 表示猜对歌曲A、 、 歌名的事件，则 、 、 相互独立，设该选手获得奖金金额为随机变量 ，分别求出按两个猜歌顺序获得奖金金额的X的分布列并求其均值即
可求得结论．
【详解】分别用 、 、 表示猜对歌曲A、 、 歌名的事件，则 、 、 相互独立，
设该选手获得奖金金额为随机变量 ，
当按 顺序猜， 的所有可能取值为0，100，300，800，
则 ，
，
，
，
∴ ．
当按 顺序猜， 的所有可能取值为0，200，300，800，
则 ，
，
，
，
∴ ．
某选手按照ABC顺序猜歌所获奖金均值比按照BAC的顺序猜歌所获奖金均值多200－180＝20元.
故答案为：20.
26．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，A，B均在C的同侧，记A，B之间所含其它字母个数为 ，
则方差D（ ）=
【答案】
【分析】由题意先求分布列，套公式求出方差.
【详解】由题意知, 的可能取值为0,1,2.
又因为将A、B、C、D、E五个字母排成一排A、B均在C的同侧,所以:i.当 =0,即A、B之间没有其它字母时.先将A、B全排,有 种排法,再把A、B的全排看作一个大元素,参
加剩下的3个元素全排,有 种排法因此共有 种排法；
ii.当 =1,即A、B之间只有D、E之一时.先将A、B全排,有 种排法,再在D、E中选1个放入A、B之间,
有 种选法,再把这三个元素的排列看作一个大元素,参加剩下的2个元素全排,有 种排法,因此共有
种排法;
iii.当 =2,即D、E都在A、B之间时,先将A、B全排,有 种排法,把D、E全排,有 种排法,再把D、E全
排作为一个大元素放入A、B之间有1种放法,再把这4个元素的排列看作一个大元素与C全排,有 种排
法,因此共有 种排法.
所以基本事件共有48+24+8=80种.
其中 ; ; .
所以 .
.
故答案为：
四、解答题
27．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增
强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开
展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取 个学生进行调查，获得
数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，男 女
支持方案
一
支持方案
二
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取 人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布
列；
(2)在（1）中， 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小，（直接写结果）
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）分别计算出抽到女生的概率，分析可知随机变量 的可能取值为 、 、 ，计算出随机变
量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分布列；
（2）分析可知， ，由方差的性质可得出 、 的关系.
【详解】（1）解：记从方案一中抽取到女生为事件 ，从方案二中抽取到女生为事件 ，
则 ， ，则 的可能取值为 、 、 ，
所以 ， ，
，所以 的分布列为：
（2）解：依题意可得 ，所以 ，即 .
28．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，
则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概
率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分 的期望和方差.【答案】(1)分布列见解析
(2) ， .
【分析】（1）根据已知条件可得 的可能取值为 ，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，
即可求得分布列.
（2）根据已知条件可得 的可能取值为 ，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，
即可求得分布列及数学期望和方差.
【详解】（1）由题意可知， 的可能取值为 ，
，
，
，
所以分 的分布列为：
-1 0 1
0.18 0.54 0.28
（2）由题意可知， 的可能取值为 ，
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
-2 -1 0 1 20.0324 0.1944 0.3924 0.3024 0.0784
所以 ，
.
29．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身
体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且
继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球
单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为 ，乙得分的概率为 ；若乙发球，乙得分的概率为 ，甲得分的
概率为 ．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
(1)求第三回合甲发球的概率；
(2)设前三个回合中，甲的总得分为 ，求 的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式即可求解，
（2）分别求解前三个回合中甲得分的情况，结合独立事件概率乘法公式即可分类求解概率，进而由期望
公式即可求解.
【详解】（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，
故第三回合甲发球的概率为
（2）设甲在第 回合得分记为事件 乙在第 回合得分记为事件 ，
则 ,此时甲得3分，
，此时甲得2分，，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得1分，
，此时甲得0分，
故 的分布列为：
0 1 2 3
故
30．羽毛球运动是中学生喜爱的体育运动项目之一．为了研究中学生打羽毛球的水平，下表统计了甲同学
参加的60局羽毛球比赛的数据．
获胜局数 失败局数
甲先发球 20 10
甲未先发
15 15
球
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联？
(2)已知甲同学与乙同学进行总决赛，采取五局三胜制，每局比赛没有平局且各局结果互相独立．视频率为
概率，每局比赛甲同学获胜的概率为上表中的频率，经抽签，第一局甲同学先发球，第二局乙同学先发球，
依次轮换．设 为甲同学在总决赛中获胜的局数，求 的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879【答案】(1)不能认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）计算 的值，由此作出判断.
（2）根据相互独立事件概率计算求得分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）零假设 ：甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间没有关联．
根据题表中的数据，得 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 成立，
即不能认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联．
（2）由题意，得甲同学先发球获胜的概率为 ，乙同学先发球甲同学获胜的概率为 ．
易知 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
，
．
所以 的分布列为
0 1 2 3故 ．
31．周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比
赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
母
父亲 弟弟
亲
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次
10 30 32
数
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
(1)若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
(2)如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
【答案】(1)分布列见解析， ，
(2)期望为7.5，方差为14.25．
【分析】（1）分别计算李梦胜0场，1场，2场，3场的概率，写出分布列即可；
（2）根据期望和方差的性质求解.
【详解】（1）李梦与爸爸比赛获胜的概率为 ；与妈妈比赛获胜的概率为 ；与弟弟
比赛获胜的概率为 ；
X的可能取值为0，1，2，3．
则 ；
；
；
.
故分布列为：，
（2） ， ．
32．为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面
值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率
分布和数学期望；
(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.
①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；
②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的
奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.
【答案】(1)见解析，60元
(2)①6；②选择装法为 ，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（2）根据期望分析可能方案为 ，(20,20,40,40)，计算两个方案的期望与方差，即可比较得出
结论.
【详解】（1）设顾客所获得奖励金额为 ，则 的可能取值为20，60，100，
， ，
所以 的分布列为：
2
60 100
0（元）.
（2）①两种面值的和为60可以装10元与50元，也可装20元与40元面值的小球，
每类都有3种装法：其中一种面值1,2,3个小球，另一种面值小球对应个数3,2,1个小球，
故由分类加法原理知，袋中小球不同的装法共有 种.
②选择装法为 ，理由如下，
根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60000÷1000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.
当小球标有的面值为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，数学期望不可
能为60；
当选择(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，数字期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
当小球标有的面值为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2
以下对两个方案进行分析:
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知 元,
.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 元， 的可能取值为40,60,80.
则 ， ， .
所以 的分布列为：
40 60 80
所以 （元）.
.
∵两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，
应该选择方案2，即袋中标有面值20元和40元的球各两个.
33．某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 20 10
米色内饰 15 5
(1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型
内饰为米色”，求 和 ，并判断事件A与B是否相互独立；
(2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅
内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）．
【答案】(1) ，事件 不相互独立.
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出 ，再利用相互独立事件的定义判断作答；
（2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.
【详解】（1）由给定的数表知， ， ， ，
而 ， ，
故 ，因此事件 不相互独立，
所以 ，事件 不相互独立.
（2）设事件 ：外观和内饰均为同色，事件 ：外观内饰都异色，事件 ：仅外观或仅内饰同色，
依题意， ； ；
，则 ，因此抽取的两个模型的外观和内饰都异色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；
外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，
奖金额 的可能值为： ，
奖金额 的分布列：
300 200 100
奖金额 的期望 （元）.
34．对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：
将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个
等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
(2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千
元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
年降水
量 适
偏少 偏多
作物种 中
类
甲 8 12 8
乙 12 10 7
丙 7 10 12
【答案】(1)该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为 ；
(2)作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析
【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率；
（2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.
【详解】（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为 ；降水量适中的年份有10年，概率可估计为 ；
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为 .
于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为 ；
（2）设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量 ，
则 的分布列为：
8 12
0.5 0.5
故种植甲则每亩地获利的期望 千元，
则 的分布列为：
12 10 7
0.2 0.5 0.3
故种植乙则每亩地获利的期望 千元，
7 10 12
0.2 0.5 0.3
故种植丙则每亩地获利的期望 千元，
所以 ，
即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，
又 ，
，
，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植.
【C组 在创新中考查思维】一、单选题
1．互不相等的正实数 是 的任意顺序排列，设随机变量
满足： 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分 或 ， 或 ， 或 ，得到
X，Y的分布列求解.
【详解】解：因为随机变量 满足：
所以当 或 时， ；
当 或 时， ；
当 或 时， ；
所以X，Y的分布列为：
X 2 3
P
Y 2 3
P
所以 ，
，所以 ，
故选：C
2．已知数列{an}满足a＝0，且对任意n∈N*，an 等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，
1 +1
则（ ）
A．P（ξ＝2）＝ B．E（ξ）＝1
3 3
C．P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） D．P（ξ＝0）＜P（ξ＝0）
5 5 5 3
【答案】D
【分析】由题意可知a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝ ，进而可求ξ3的期望，可判断
AB；再结合条件求P（ξ5＝0），可判断CD.
【详解】依题意a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝ ，
ξ3＝a3的可能取值为2，0，－2
P（ξ3＝2）＝ × ＝ ，
P（ξ3＝0）＝2× ＝ ，
P（ξ3＝－2）＝ ＝ ，
E（ξ3）＝2× +0× +(－2）× ＝0，由此排除A和B；
ξ4＝a4的可能取值为3, 1，－1，－3，
P（ξ4＝3）＝ P（ξ3＝2）＝ ，
P（ξ4＝1）＝ ＝ ，
P（ξ4＝－1）＝ ＝ ，
P（ξ4＝－3）＝ P（ξ3＝－2）＝ ，
ξ5＝a5的可能取值为4，2，0，－2，－4
P（ξ5＝0）＝ ＝ ，P（ξ5＝2）＝ ＝ ，
所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．
因为P（ξ5＝0）＝ ，P（ξ3＝0）＝ ，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故D正确.
故选：D．
3．已知随机变量 的分布列为：
x y
P y x
则下列说法正确的是（ ）
A．存在x， ， B．对任意x， ，
C．对任意x， ， D．存在x， ，
【答案】C
【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求 ，利用作差法比较大小；
对D：换元令 ，结合二次函数求 的取值范围.
【详解】由题意可得： ，且 ，即 ，
对A、B：由题意可得： ，
∵ 开口向下，对称轴 ， ，
则 ，故 ，
即 ，
不存在x， ， ，A错误；
例如 ，则 ，即存在x， ， ，B错误；对C： ，
则 ，
故对任意x， ，则 ，C正确；
对D：令 ，
则 开口向下，对称轴 ，且 ，
故 ，即 ，
不存在x， ， ，D错误；
故选：C.
4．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3
个小球 和3个小球 ，当发生有效碰撞时， ， 上的计数器分别增加2计数和1计数， ， 球两两发
生有效碰撞的概率均为 ，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上
计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球 个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
【答案】B
【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据 种不同的取法，每种取法里
三个球两两碰撞之后共有 种等可能的情况发生，其中可产生计数为 的球的情况有 种，再算出其
中不同取法里 球个数各自的概率，即可计算出期望.
【详解】由 ， 球两两发生有效碰撞的概率均为 ，
可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.
取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞 次，
每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，所以三个球两两碰撞之后共有 种等可能的情况发生.
①若取出的三个球均为 球，有 种取法，
碰撞之后产生计数为 的球的情况有：
每 个 球之间有效碰撞 次，无效碰撞 次，计数结果为 ，有 种，1个球计数为2；
每 个 球之间有效碰撞 次，计数结果为 ，有 种，有三个球计数为2；
则符合条件的情况数为 .
②若取出的三个球为 个 球， 个 球，有 种取法，
碰撞之后产生计数为 的球的情况有：
， 球之间有效碰撞 次，无效碰撞 次，计数结果为 或 ，有 种1，计数为2的球
个数分别为1和2；
每 个球之间有效碰撞 次，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为2；
则符合条件的情况数为 .
③若取出的三个球为 个 球， 个 球，有 种取法，
碰撞之后产生计数为 的球的情况有：
a，a碰撞有效，a，b碰撞无效，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为2；
a，a碰撞无效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为1；
a，a碰撞无效，a，b碰撞均有效，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为3；
a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为 ，有2种，计数为2的球个数为1；
a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，计数结果为 ，有1种，计数为2的球个数为1；
所以符合条件的情况数为 .④若取出的三个球均为 球，有 种取法，
碰撞之后产生计数为 的球的情况有：
每 个 球之间有效碰撞 次，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为2；
每 个 球之间有效碰撞 次，计数结果为 ，有 种，计数为2的球个数为2；
符合条件的情况数为 .
所以碰撞之后产生计数为 的球的情况总数为 ，
设李华一开始取出的三个球里， 球个数为随机变量 ，
则随机变量 所有可能取值的集合是 ，
，
，
，
，
故 的分布列如下表：
数学期望 ，
所以李华一开始取出的三个球里， 球个数的期望是 个.
故选： .
二、多选题
5．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一
步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为
随机变量 ，则（ ）A． B．
C． D． 中 最大
【答案】ABD
【分析】每步向上1级与向上2级的概率都是 ，求出第n步后小明所在台阶级数随机变量 的概率，即
可判断A、C、D的正误，再计算 ，可得B正确.
【详解】小明每步向上1级与向上2级的概率都是 ， 表示跨2步到达第2级台阶，
所以每步向上1个台阶， ，故A正确；
的所有可能取值为2，3，4， ， ，
，所以 ，故B正确；
表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，
有2步每步向上2个台阶， ；
表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1个台阶，有3步每步向上2个台阶，
，故C错误；
由题意 ， 表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2个台阶， ，
表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有4步每步向上2个台阶，，以此类推可得 ，
， ，
，其中 最大，故D正确．
故选：ABD．
6．若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，则下列结论正确的是（
）
A．两秒后质点的坐标为2的概率为
B．四秒后质点的坐标为0的概率小于质点的坐标为2的概率
C．设三秒后质点的坐标为随机变量X，则
D．设n秒后质点的坐标为随机变量Y，则
【答案】ACD
【分析】逐项分析每种情形下质点运动的方式，根据独立事件乘法公式以及方差和均值的定义计算即可.
【详解】对于A，2秒后质点的坐标为2的概率为 ，故A正确；
对于B，若4秒后质点坐标为0，其运动方式为 ， ，
， ， ， ，其概率为
；
若4秒后质点的坐标为2，其运动方式为 ， ， ，
，其概率为 ；故B错误；对于C，3秒后，质点的运动方式为： 或者 ，
， ， ，
， ,
=3，故C正确；
对于D，X的可能取值为： ，
并且有 ，∴ ，
故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
7．已知 ，且 ，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则 ．
【答案】
【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及 与 的情况，求出相应的概率，求出
期望，利用 计算出答案.
【详解】因为 ，所以随机变量X可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为 种，
时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有 种；②三个数中有两个1，有 种，
所以 时， ，
时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有 种；
②三个数中有两个2，有 种，
所以 是， ，
所以 ，
，
故答案为： ．
8．边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、
另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝
对值作为随机变量X，则其数学期望 ．
【答案】
【分析】将向量分为三类“边长类”、“半对角线类”、“对角线类”，结合古典概型概率计算公式求得
的分布列并求得数学期望.
【详解】向量分为三类:
“边长类”： ，共 个.
“半对角线类”： ，共 个.
“对角线类”： ，共 个.
从上述 个向量中，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），可能取法有种，
的可能取值有 ，
，
，
，
所以 .
故答案为：
四、解答题
9．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个
黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个
球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；
若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量 表示最后摸出的2个球的分数之和，求 的分
布列及数学期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求
出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.
（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为 ，
记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则 ，
，
，
所以 ；
（2）X的所有可能取值为2，3，4，
则 ，
，
，
故X的分布列如表：
X 2 3 4
P故 .
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情
况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.
10．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一
个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后
乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05
乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为
0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，
反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当
天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校
的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前
坐地铁的次数为 ，求 ；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早
于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐
汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐
地铁去学校.记 为王老师第 天坐地铁去学校的概率，求 的通项公式.
【答案】(1)0.15
(2)
(3)
【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2) 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于 ， ； ，
即可求出数学期望；
(3) 由题意： ， ，由递推关系求出数列的通项.
【详解】（1）记事件 “硬币正面向上”，事件 “7：40-7：45到校”
则由题有 ， ， ，
故 .
（2） 可取1，2，3，…，9，10，
由题：对于 ， ； ，
故 ，
，
以上两式相减得： ，
故 .
所以 .
（3）由题意： ， ，则 ，
这说明 为以 为首项， 为公比的等比数列.故 ，所以 .
11．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积
3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球
数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规
则出线的概率相同（例：若 ， ， 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概
率相同）．已知某小组内的 ， ， ， 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概
率都是 ，每场比赛的结果相互独立．
(1)若 球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下： 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜．设小
组赛阶段 ， 球队的积分之和为 ，求 的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，10
【分析】（1）由题意，若 球队参与的3场比赛中胜1场，负2场，则 球队参与的3场比赛中， 球队
和其余两队胜，另一队负，然后获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论即可求；
（2）分情况讨论小组赛阶段 ， 球队的积分之和，并求出概率，进而写出分布列，求出期望.
【详解】（1）不妨假设 球队参与的3场比赛结果为 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛，
胜．此时， ， ， 各积3分， 积0分．
在剩下的三场比赛中：
若 与 比赛平局，则 ， 积分各加1分，都高于 的积分， 淘汰．
若 与 比赛平局， 与 比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于 ， 淘汰．
若 与 比赛平局，同理可得 一定会淘汰．
综上，若要 出线，剩下的三场比赛不可能出现平局．
若 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜，则 出线， ， ， 争夺第二名， 出
线的概率为 ．
若 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜，则 出线， ， ， 争夺第二名， 出线的概率为 ．
其他情况 均淘汰．
故 最终出线的概率为 ．
（2）前三场比赛中 ， 球队的积分之和为6．
剩下的三场比赛为 与 比赛， 与 比赛， 与 比赛，其中 与 比赛的结果与 ， 球队的积分之
和无关．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为3， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为3，则
，其概率为 ．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为3， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为1，则
，其概率为 ．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为3， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为0，则
，其概率为 ．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为2， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为3，则
，其概率为 ．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为2， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为1，则
，其概率为 ．
若 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为2， 与 比赛中， ， 球队得到的积分之和为0，则
，其概率为 ．
的分布列为
1
8 9 10 11
2．
【点睛】关键点睛：本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解，注意各种情况考虑全面.
