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第 21 章 四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的定义与性质
【素养目标】
1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系.
2.经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力.
3.能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力.
重点：菱形性质定理的理解和应用.
难点：菱形性质定理的探究与证明.
【复习导入】
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，
如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
提问：那么当平行四边形边发生变化时，会得到什么特殊平行四边形呢？
【合作探究】
探究点1: 菱形的定义
思考：如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让
它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
同学们，能给这个图形下个定义吗？
知识要点：
菱形的定义：
问题：菱形也是常见的图形，能否举出生活中菱形形象的例子？
归纳总结：
韦恩图：
第 1 页探究点2: 菱形的性质
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻
边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？
(1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法.
活动：
准备素材：直尺、量角器、课本等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量书本中菱形的四条边的长度、四个角的度数和对角线
的长度及夹角度数，并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
证一证
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
第 2 页知识要点：
菱形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
边：
对角线：
几何语言描述：
思考：请同学们拿出剪好的菱形纸片，折一折，观察并思考. 菱形是不是轴对称图
形? 如果是，那么对称轴有几条?
菱形的性质：对称性： 图形，
对称轴： 条，是________所在的直线.
还能得出菱形的什么结论？
典例精析
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6
cm，求菱形的周长．
例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝
AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线
第 3 页平分一组对角.
练一练
1.如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.20
A E D
O
B C
第1题图 第2题图
2.如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD
的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_____cm.
探究点3: 菱形的面积
问题1：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形
ABCD 的面积呢?
思考： 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形
ABCD 的面积呢?
问题2： 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表
示出菱形 ABCD 的面积.
总结：
1.菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
2.菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
例3 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建
了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位) 和花坛的面积(结果
保留小数点后一位) .
第 4 页练一练
3. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高
DE 为( )
D
A. 2.4 cm B. 4.8 cm
C. 5 cm D. 9.6 cm A C
E
B
当堂反馈
1.如图，在 ▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，添加下列条件能判定四边形ABCD是
菱形的是( )
A.AB＝CD B.AB⊥BC
C.AC＝BD D.AC⊥BD
2.如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1的度数为( )
第2题图
A.30° B.25° C.20° D.15°
3.[教材变式]在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为 .
4.[教材变式]如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，BD＝5，则菱形ABCD的周长是
.
第4题图
5.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：
△ADE≌△CDF.
第 5 页参考答案
探究点2: 菱形的性质
证一证
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
(2) ∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
典例精析
例1
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
1 1
∴ AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
2 2
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× 3√5 ＝ 12√5 (cm)．
例2 证明：连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴ AE＝AF.
练一练1.C 2.6
探究点3: 菱形的面积
问题1：能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S = 底×高 = BC · AE.
菱形ABCD
第 6 页问题2：
菱形的面积还可以利用4个全等的三角形面积的和来计算.
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD.
1 1 1 1
∴ S = S + S = AC·BO + AC·DO= AC·(BO + DO) = AC·BD.
菱形ABCD △ABC △ADC 2 2 2 2
例3 解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
2 2
1 1
在Rt△OAB中，AO＝ AB＝ ×20＝10，BO＝√AB2－AO2＝√202－102＝10√3.
2 2
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m），BD＝2BO＝20√3≈34.64（m）.
1
花坛的面积S ＝4×S ＝ AC·BD＝200√3≈346.4（m2）.
菱形ABCD △OAB 2
练一练
3. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高
DE 为( )
D
A. 2.4 cm B. 4.8 cm
C. 5 cm D. 9.6 cm A C
E
B
B
当堂反馈
1. D
2.D
3. 3 0
4. 2 0 .
5.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵点E，F分别为边CD，AD的中点，
∴CD＝2DE，AD＝2DF.
∴DE＝DF.
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS).
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