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21.3.2 菱形（第 2 课时）
知识点1：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
1．添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．∠BAD=90°
2．（2023年西藏）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积
是（ ）
9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
第1题图 第2题图 第3题图
3．（2021年北京）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证
明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
4．（2023年陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，
在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．
（保留作图痕迹，不写作法）
5．（2022年湖南岳阳）如图，点E，F分别在▱ ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF．请从以下
三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
▱
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明▱ ABCD为菱形．
6．（2024年内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，
AO的延长线交边BC于点E，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
知识点2：四条边相等的四边形是菱形.
7．（2022年浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， 这个题目还缺少条件，需
要补充一个条件才能证
∴AC垂直平分BD．
明．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
8．（2025年宁夏）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP； ②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
1
③分别以点P和点B为圆心，以大于 BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
2
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C； ⑤连接CB,CP．
(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形ABCP是菱形．
9．（2024年四川广元）如图，已知矩形ABCD．
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．知识点3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
10．（2022年湖北襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
11．（2025年黑龙江龙东地区）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条
件 ，使平行四边形ABCD为菱形．
第10题图 第11题图
12．（2023年湖南湘西）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连
接MD,BN．
(1)求证：∠DMN=∠BNM；
(2)若∠BAC=∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
13．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．14．（2025年四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且
AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
15．如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=6，∠B=60°，M、N分别是AD、BC上的点，将四边形沿
MN对折，使B点和D点重合，则折痕MN= ．
