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2024-2025 学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拔尖卷）
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·四川宜宾·期末）若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4)的结果是
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的
条件求得0≤x≤3，推出x+1>0，x−4<0，据此求解即可．
【详解】解：∵❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，
∴x≥0，3−x≥0，
∴0≤x≤3，
∴x+1>0，x−4<0，
∴❑√(x+1) 2+|x−4)=x+1+4−x=5．
故选：B．
2．（3分）（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，以DE为
折痕将∠A翻折，使点A与点C重合，则BD的长为（ ）
7 25 7
A． B．1 C． D．
8 8 2
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得AB=4，再由勾股定理列
出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√52−32=4，
设BD=x，则AD=4−x，
由折叠可知CD=AD=4−x，在Rt△DBC中，∠B=90°，
∴BC2+BD2=CD2，
∴32+x2=(4−x) 2，
7
∴x= ．
8
7
∴BD= ．
8
故选：A
3．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4的值为（ ）
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
【答案】C
【分析】根据已知，得到x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，整体思
想带入求值即可．
【详解】解：∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，
∴x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，
∴❑√x2+2xy+ y2+x−y−4=❑√(x+ y) 2+(x−y)−4
=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√8−2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+1
=❑√(❑√3−1) 2
=❑√3−1．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题
的关键．4．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，则BD，CD，AD三者
的关系为（ ）
A．BD=CD+AD B．BD+CD=2AD
C．BD2+CD2=2AD2 D．BD2+CD2=AD2
【答案】C
【分析】过点C作CD′⊥BC，使CD′=BD，连接DD′，AD′，证明△ABD≌△ACD′，进而得出
AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，再得出△DAD′是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，过点C作CD′⊥BC，使CD′=BD，连接DD′，AD′，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD′⊥BC，
∴∠ACD′=∠B=45°，
在△ABD和△ACD′中，
{
AB=AC
)
∠B=∠ACD′
BD=CD′
∴△ABD≌△ACD′ (SAS)，
∴AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，
∴∠DAD′=90°，
∴△DAD′是等腰直角三角形，
∴D′D2=2AD2，
∵在Rt△DCD′中，CD2+D′C2=D′D2，
∴BD2+CD2=2AD2，故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的
判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
5．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A．❑√n2−1 B．❑√n2−2 C．❑√n2−3 D．❑√n2−4
【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2
倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方
根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：❑√n2−3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
√ 2 √5
6．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若❑ +❑ 是整数，则满足条件的有序
m n
数对（m，n）为（ ）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
√ 2 √5
【详解】解：∵❑ +❑ 是整数，m、n是正整数，
m n
∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定
的难度．
7．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正
方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形
EF0，n>0，
7
S = ×14=49．
四边形OCPD 2
20．（8分）（24-25八年级·云南楚雄·期中）小明家正在装修，电视背景墙ABCD是矩形，其中
BC=❑√27m，AB=❑√8m，中间要镶一个长为2❑√3m，宽为❑√2m的矩形大理石图案（图中阴影部分）．(1)矩形ABCD的面积是多少m2？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元/m2，大理石的造价为150元/m2，则整
个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)矩形ABCD的面积是6❑√6m2
(2)整个电视墙需要花费332❑√6元
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出式子，计算二次根式的乘法即可得；
（2）先求出大理石的面积，从而可得壁布的面积，再根据壁布和大理石的造价列式计算即可得．
【详解】（1）解：∵BC=❑√27m，AB=❑√8m，
∴矩形ABCD的面积为❑√27×❑√8=3❑√3×2❑√2=6❑√6(m2)．
答：矩形ABCD的面积是6❑√6m2．
（2）解：大理石的面积为2❑√3×❑√2=2❑√6(m2)，
壁布的面积为6❑√6−2❑√6=4❑√6(m2)，
则整个电视墙的总费用为8×4❑√6+150×2❑√6=332❑√6（元）．
答：整个电视墙需要花费332❑√6元．
【点睛】本题考查了二次根式乘法与加法的应用，正确列出运算式子，熟练掌握二次根式的运算法则是解
题关键．
21．（8分）（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个
喷泉间的距离AB的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM,BM，供水点M在小路AC上，供水点M到
AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离．
【答案】(1)35m
(2)15m
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．（1）利用勾股定理求出BN，得到AN，勾股定理求出AM，再根据勾股定理即可得到答案；
（2）用勾股定理逆定理证明△ABM是直角三角形，∠AMB=90°，则BM⊥AC,即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，MN⊥AB,AB=25m,MN=12m,BM=15m，
在Rt△BMN中，∠BNM=90°，
∴BN=❑√BM2−M N2=❑√152−122=9m，
∴AN=AB−BN=25−9=16(m)，
在Rt△AMN，∠ANM=90°，
∴AM=❑√AN2+M N2=❑√162+122=20(m)，
∴AM+BM=20+15=35(m)，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35m；
（2）解：在△ABM中，AB=25m,AM=20m,BM=15m，
∵BM2+AM2=152+202=625=252=AB2，
∴△ABM是直角三角形，∠AMB=90°，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM=15m．
22．（9分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
❑√2019−1
【答案】(1)
2
(2)m=2
(3)❑√15+x2+❑√26−x2=9
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（3）先得到❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，然后可得
( ❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =( ❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅ ❑√26−x2=81，最后由
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，求出结果
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017
【详解】（1）原式= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017
=
2
❑√2019−1
= ，
2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a ，b ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2
∴a+b= =2(2m+1),ab=1，
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2 )+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴4(2m+1) 2=100，
∴2m=±5−1，∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由❑√15+x2−❑√26−x2=1得出(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1，
∴❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，
∵( ❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =( ❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅ ❑√26−x2=81，
∵❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，
∴❑√15+x2+❑√26−x2=9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
23．（9分）（24-25八年级·河南郑州·期中）探究一：如图1，P，Q，M均为正方形．
问题：（1）若图1中的△≝¿为直角三角形，P的面积为3，Q的面积为10，则M的面积为________；
（2）若P的面积为15cm2，Q的面积为45cm2，同时M的面积为60cm2，则△≝¿为________三角形．
探究二：图形变化：
（3）如图2，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么
关系，并说说你的理由；
（4）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为6和8，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上
面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）13；（2）直角；（3）S +S =S ；（4）24
1 2 3【分析】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（2）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平
方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解；
（3）设直角三角形的三边分别为a、b、c (a
