2024-2025 学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拔尖卷）
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·四川宜宾·期末）若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4)的结果是
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的
条件求得0≤x≤3，推出x+1>0，x−4<0，据此求解即可．
【详解】解：∵❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，
∴x≥0，3−x≥0，
∴0≤x≤3，
∴x+1>0，x−4<0，
∴❑√(x+1) 2+|x−4)=x+1+4−x=5．
故选：B．
2．（3分）（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，以DE为
折痕将∠A翻折，使点A与点C重合，则BD的长为（ ）
7 25 7
A． B．1 C． D．
8 8 2
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得AB=4，再由勾股定理列
出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√52−32=4，
设BD=x，则AD=4−x，
由折叠可知CD=AD=4−x，在Rt△DBC中，∠B=90°，
∴BC2+BD2=CD2，
∴32+x2=(4−x) 2，
7
∴x= ．
8
7
∴BD= ．
8
故选：A
3．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4的值为（ ）
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
【答案】C
【分析】根据已知，得到x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，整体思
想带入求值即可．
【详解】解：∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，
∴x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，
∴❑√x2+2xy+ y2+x−y−4=❑√(x+ y) 2+(x−y)−4
=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√8−2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+1
=❑√(❑√3−1) 2
=❑√3−1．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题
的关键．4．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，则BD，CD，AD三者
的关系为（ ）
A．BD=CD+AD B．BD+CD=2AD
C．BD2+CD2=2AD2 D．BD2+CD2=AD2
【答案】C
【分析】过点C作CD′⊥BC，使CD′=BD，连接DD′，AD′，证明△ABD≌△ACD′，进而得出
AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，再得出△DAD′是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，过点C作CD′⊥BC，使CD′=BD，连接DD′，AD′，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CD′⊥BC，
∴∠ACD′=∠B=45°，
在△ABD和△ACD′中，
{
AB=AC
)
∠B=∠ACD′
BD=CD′
∴△ABD≌△ACD′ (SAS)，
∴AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，
∴∠DAD′=90°，
∴△DAD′是等腰直角三角形，
∴D′D2=2AD2，
∵在Rt△DCD′中，CD2+D′C2=D′D2，
∴BD2+CD2=2AD2，故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的
判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
5．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A．❑√n2−1 B．❑√n2−2 C．❑√n2−3 D．❑√n2−4
【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2
倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方
根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：❑√n2−3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
√ 2 √5
6．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若❑ +❑ 是整数，则满足条件的有序
m n
数对（m，n）为（ ）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
√ 2 √5
【详解】解：∵❑ +❑ 是整数，m、n是正整数，
m n
∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定
的难度．
7．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正
方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形
EF<AB，则点F的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足EF<AB，则
CD2+EF2=AB2，即为直角三角形，解出EF的长满足，进而得出点F的位置．
【详解】解：由题意可得，CD=2，AB=❑√22+32=❑√13．
∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，且EF<AB
∴CD2+EF2=AB2，
即4+EF2=13，
解得EF=3，
∴F点的位置如图所示，共2处．
故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就
是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
8．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得
∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=15❑√2米，AB=40米，则BD的长为（ ）
A．50 B．40 C．40❑√2 D．40❑√3
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本
题的关键，如图，过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，求解CM=BM=15，
AM=40−15=25，AC=❑√152+252=5❑√34，CD=AD=10❑√17，延长DC交AB于E，则∠ACE=90°，
由勾股定理可得：CE2=AE2−AC2=CM2+M E2，可得：ME=9，CE=❑√CM2+M E2=3❑√34，同
理可得：AD2−AN2=DE2−N E2，可得：AN=10，BN=40−10=30，DN=❑√AD2−AN2=40，
再进一步求解即可．
【详解】解：如图，过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，
∴CM∥DN，∠∧=∠BND=∠CMB=∠AMC=90°，
∵∠ABC=45°，BC=15❑√2，
∴CM=BM=15，∵AB=40，
∴AM=40−15=25，
∴AC=❑√152+252=5❑√34，
∵AC=CD，
∴CD=AD=❑√AC2+CD2=10❑√17，
延长DC交AB于E，则∠ACE=90°，
由勾股定理可得：CE2=AE2−AC2=CM2+M E2，
∴(25+ME) 2−(5❑√34) 2=152+M E2，
解得：ME=9，
∴CE=❑√CM2+M E2=3❑√34，
∴DE=CD+CE=8❑√34，
∴BE=15−9=6，
∴AE=40−6=34，
同理可得：AD2−AN2=DE2−N E2，
∴(10❑√17) 2 −AN2=(8❑√34) 2 −(34−AN) 2，
解得：AN=10，
∴BN=40−10=30，DN=❑√AD2−AN2=40，
∴BD=❑√BN2+DN2=50．
故选：A
9．（3分）（24-25八年级·重庆铜梁·期末）若a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b是可以合并的二次根式，
下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得❑√a+❑√b=❑√18；
②只存在两组a和b使得❑√a+❑√b=❑√75；
③不存在a和b使得❑√a+❑√b=❑√260；
c
④若只存在三组a和b使得❑√a+❑√b=❑√c，则 的值为49或64
a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出❑√a和❑√b是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b可以合并的二次根式，
∵❑√a+❑√b=❑√18，
∴❑√a+❑√b=❑√18=3❑√2，
当a=2时b=8，
故该选项①正确；
②❑√a+❑√b=❑√75=5❑√3，
当a=3，则b=48,
当a=12，则b=27．
故选项②正确；
③❑√a+❑√b=❑√260=2❑√65，
当a=65时，b=65,
a<b，所以不存在，
故该选项③正确；
④∵❑√a+❑√b=❑√c，
√b √c
∴1+❑ =❑ ，
a a
c √b
当 =49时，1+❑ =7，
a a
√b
∴❑ =6，
a
∴b=36a，
有无数a和b满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
10．（3分）（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、
②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9❑√3与7❑√3
，则斜边BC的长为（ ）A．5 B．9 C．10 D．16
【答案】C
【分析】设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S，S，S，AC=b，BC=a，AB=c，根据勾股
3 2 1
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
定理得到c2+b2=a2，根据等式的性质得到 c2+ b2= a2．根据等边三角形的面积公式得到S= a2，
4 4 4 3 4
❑√3 ❑√3
S= c2，S= b2，根据已知条件列方程即可得到结论．
2 4 1 4
【详解】解：如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S，S，S，AC=b，BC=a，
3 2 1
AB=c，
∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90度，
∴c2+b2=a2，
❑√3 ❑√3 ❑√3
∴ c2+ b2= a2．
4 4 4
❑√3 ❑√3 ❑√3
∵S= a2，S= c2，S= b2，
3 4 2 4 1 4
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
∴S﹣S= （a2﹣c2）= b2=9❑√3，S﹣S= a2﹣ b2= （a2﹣b2）= c2=9❑√3+7❑√3=16❑√3，
3 2 4 4 3 1 4 4 4 4
∴b=6，c=8，
即AB=8，AC=6，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√82+62=10，
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，利用勾股定理求值是关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
❑√x2−16+❑√16−x2−9
11．（3分）（24-25八年级·四川甘孜·期末）已知x、y满足y= ，则−16 y+4x=
8
．
【答案】2或34
【分析】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后
代入代数式进行计算即可得解．
{x2−16≥0)
【详解】解：依题意，得： ，
16−x2≥0
解得：x=±4；
当x=−4时，
9
y=− ；
8
−16 y+4x=18−16=2；
∴当x=4时，
9
y=− ；
8
−16 y+4x=18+16=34；
∴∴−16 y+4x的值为2或34，
故答案为：2或34．
12．（3分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD
为长方形，AD=8分米，AB=6分米，该管道底面是周长为4分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，
需要走的最短路程是 分米．
【答案】2❑√41
【分析】本题考查了勾股定理的应用−最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线
段AC为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则AB=6+4=10分米，BC=AD=8分米，
由两点之间，线段最短，可知线段AC为蚂蚁爬行的最短路径，
由勾股定理得，AC=❑√AB2+BC2=❑√102+82=❑√164=2❑√41分米，
∴需要走的最短路程是2❑√41分米，
故答案为：2❑√41．
13．（3分）（24-25八年级·四川成都·阶段练习）若m=❑√7−2，那么2m3+9m2−2m−5的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．
利用完全平方公式将2m3+9m2−2m−5变形为2m(m+2) 2+(m−5) 2−30，再代入m的值进行运算求值即
可得．
【详解】解：∵ m=❑√7−2，
∴ 2m3+9m2−2m−5
=2m3+8m2+8m+m2−10m+25−30
=2m(m2+4m+4)+(m2−10m+25)−30
=2m(m+2) 2+(m−5) 2−30
=2×(❑√7−2)×(❑√7−2+2) 2+(❑√7−2−5) 2 −30
=(2❑√7−4)×7+(❑√7−7) 2 −30
=14❑√7−28+7+49−14❑√7−30
=−2
故答案为：−2．
14．（3分）（2024·河南郑州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一
动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长
是 ．【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得
到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
1
∴PC= AC=4，
2
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知a+b+c+3=2❑√a+4❑√b−1+2❑√c−2，则a+b+c的值是
．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为(❑√a−1) 2+(❑√b−1−2) 2+(❑√c−2−1) 2=0，再根据平方的非负性可得
❑√a−1=0，❑√b−1−2=0，❑√c−2−1=0，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵a+b+c+3=2❑√a+4❑√b−1+2❑√c−2，
∴a−2❑√a+1+b−1−4❑√b−1+4+c−2−2❑√c−2+1=0，
∴(❑√a−1) 2+(❑√b−1−2) 2+(❑√c−2−1) 2=0，
∴❑√a−1=0，❑√b−1−2=0，❑√c−2−1=0，
∴❑√a=1，❑√b−1=2，❑√c−2=1，
∴a=1，b=5，c=3，
∴a+b+c=1+5+3=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此
题的关键．16．（3分）（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，
使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形
中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转
180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端
点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠ MCN相等
的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
【详解】解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，
则△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD,CM =CD,∠MCN=∠NCD =45°
，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，
∴MN=ND=n,AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2，
∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·福建三明·期中）先化简，再求值：a+❑√1−2a+a2，其中a=1007．如图是
小亮和小芳的解答过程．(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值：a+2❑√a2−6a+9，其中a=−2024．
【答案】(1)小亮
(2)❑√a2=−a(a<0)
(3)2030
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将a=1007代入式子，由1−1007<0结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得❑√a2=−a(a<0)；
（3）将a=−2024代入式子，由−2024−3<0结合二次根式的性质化简即可；
【详解】（1）解：当a=1007时，
原式=a+❑√(1−a) 2
=1007+❑√(1−1007) 2
∵1−1007<0
∴原式=1007−(1−1007)
=1007−1+1007
=2013，
∴小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
❑√a2=−a(a<0)；故答案：❑√a2=−a(a<0)．
（3）解：当a=−2024时，
原式=a+2❑√(a−3) 2
=−2024+2❑√(−2024−3) 2
∵−2024−3<0
∴原式=−2024−2(−2024−3)
=−2024+4048+6
=2030．
18．（6分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
√ 1 1 1 1 1
①❑1+ + =1+ − =1 ；
12 22 1 1+1 2
√ 1 1 1 1 1
②❑1+ + =1+ − =1 ；
22 32 2 2+1 6
√ 1 1 1 1 1
③❑1+ + =1+ − =1 ；
32 42 3 3+1 12
√ 1 1
(1)根据上面三个等式，请猜想❑1+ + 的结果（直接写出结果）
42 52
(2)根据上述规律，解答问题：
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
设m=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，求不超过m的最大整数是多少？
12 22 22 32 32 42 20232 20242
1
【答案】(1)1
20
(2)2023
【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可；
（2）根据题目中的规律计算即可得到结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律．√ 1 1 1 1 1 1
【详解】（1）解：① ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ；
12 22 1 1+1 2 1×2
√ 1 1 1 1 1 1
② ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ；
22 32 2 2+1 6 2×3
√ 1 1 1 1 1 1
③ ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ，
32 42 3 3+1 12 3×4
√ 1 1 1 1
故❑1+ + =1+ =1 ．
42 52 4×5 20
√ 1 1 1 1 1 1
（2）解：① ❑1+ + =1+ − =1 =1+
12 22 1 1+1 2 1×2
( 1)
=1+ 1− ；
2
√ 1 1 1 1 1 1
② ❑1+ + =1+ − =1 =1+
22 32 2 2+1 6 2×3
(1 1)
=1+ − ；
2 3
√ 1 1 1 1 1 1
③ ❑1+ + =1+ − =1 =1+
32 42 3 3+1 12 3×4
(1 1)
=1+ − ，
3 4
√ 1 1 1 1 (1 1)
❑1+ + =1+ =1 =1+ − ，……
42 52 4×5 20 4 5
√ 1 1 1 ( 1 1 )
❑1+ + =1+ =1+ − ，
20232 20242 2023×2024 2023 2024
1 2023
故m=2023+1− =2023 ．
2024 2024
故不超过m的最大整数是2023．
19．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点P(3a+1,6a−5)是第一象限
角平分线上的点，点C(0,m)，(m≠0)，点D(n,0)，n≠0，且∠CPD=90°．(1)以下两个结论：①m+n是一个定值；②m−n是一个定值．其中有且只有一个结论正确，请选出来，并
求出这个定值．
(2)求四边形OCPD的面积．
【答案】(1)结论①正确，理由见解析
(2)49
【分析】本题考查了图象上点的坐标特征，两点之间距离公式，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握两
点之间距离公式和三角形面积公式是解题的关键；
（1）根据点P是第一象限角平分线上，得点P的横纵坐标应相等，列方程，得出点P坐标，由于
∠CPD=90°，根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，利用两点之间距离公
式表示出距离，列出等式，化简即可得出结论；
（2）将四边形OCPD的面积可以拆分为△OCP和△ODP两个直角三角形的面积之和，根据点P到x轴和
到y轴的距离相等，表示出面积，根据m+n=14，即可得出答案．
【详解】（1）结论①正确，理由如下：
∵点P(3a+1,6a−5)是第一象限角平分线上的点，
∴3a+1=6a−5，
解得：a=2，
∴3a+1=7，6a−5=7，
即点P的坐标为(7,7)，
点C(0,m)，(m≠0)，点D(n,0)，n≠0，且∠CPD=90°．
连接CD，
∵ ∠CPD=90°
，
在Rt△CPD中
PC2+PD2=CD2，PC2=(7−0) 2+(7−m) 2=49+(7−m) 2，
PD2=(7−n) 2+(7−0) 2=(7−n) 2+49
CD2=m2+n2，
即49+(7−m) 2+(7−n) 2+49=m2+n2，化简得
m+n=14，
所以结论①正确，且定值为14；
取m=8，n=6，满足m+n=14，此时m−n=2，
若取m=10，n=4，同样满足m+n=14，但此时m−n=6，也不是定值．
因此，结论②错误．
（2）解：∵点C(0,m)，(m≠0)，点D(n,0)，n≠0，且∠CPD=90°．
∴ OC=|m)，OD=|n)，
∵ P(7,7)，
∴点P到x轴距离为7，到y轴距离为7，
1 7
∴S = ×7×|m)= |m|，
△OCP 2 2
1 7
S = ×7×|n)= |n|，
△OPD 2 2
四边形OCPD的面积：，
7
S =S +S = (|m|+|n|)，
OCPD △OCP △OPD 2
∵ m+n=14，n≠0，
∴ m>0，n>0，
7
S = ×14=49．
四边形OCPD 2
20．（8分）（24-25八年级·云南楚雄·期中）小明家正在装修，电视背景墙ABCD是矩形，其中
BC=❑√27m，AB=❑√8m，中间要镶一个长为2❑√3m，宽为❑√2m的矩形大理石图案（图中阴影部分）．(1)矩形ABCD的面积是多少m2？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元/m2，大理石的造价为150元/m2，则整
个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)矩形ABCD的面积是6❑√6m2
(2)整个电视墙需要花费332❑√6元
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出式子，计算二次根式的乘法即可得；
（2）先求出大理石的面积，从而可得壁布的面积，再根据壁布和大理石的造价列式计算即可得．
【详解】（1）解：∵BC=❑√27m，AB=❑√8m，
∴矩形ABCD的面积为❑√27×❑√8=3❑√3×2❑√2=6❑√6(m2)．
答：矩形ABCD的面积是6❑√6m2．
（2）解：大理石的面积为2❑√3×❑√2=2❑√6(m2)，
壁布的面积为6❑√6−2❑√6=4❑√6(m2)，
则整个电视墙的总费用为8×4❑√6+150×2❑√6=332❑√6（元）．
答：整个电视墙需要花费332❑√6元．
【点睛】本题考查了二次根式乘法与加法的应用，正确列出运算式子，熟练掌握二次根式的运算法则是解
题关键．
21．（8分）（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个
喷泉间的距离AB的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM,BM，供水点M在小路AC上，供水点M到
AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离．
【答案】(1)35m
(2)15m
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．（1）利用勾股定理求出BN，得到AN，勾股定理求出AM，再根据勾股定理即可得到答案；
（2）用勾股定理逆定理证明△ABM是直角三角形，∠AMB=90°，则BM⊥AC,即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，MN⊥AB,AB=25m,MN=12m,BM=15m，
在Rt△BMN中，∠BNM=90°，
∴BN=❑√BM2−M N2=❑√152−122=9m，
∴AN=AB−BN=25−9=16(m)，
在Rt△AMN，∠ANM=90°，
∴AM=❑√AN2+M N2=❑√162+122=20(m)，
∴AM+BM=20+15=35(m)，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35m；
（2）解：在△ABM中，AB=25m,AM=20m,BM=15m，
∵BM2+AM2=152+202=625=252=AB2，
∴△ABM是直角三角形，∠AMB=90°，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM=15m．
22．（9分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
❑√2019−1
【答案】(1)
2
(2)m=2
(3)❑√15+x2+❑√26−x2=9
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（3）先得到❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，然后可得
( ❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =( ❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅ ❑√26−x2=81，最后由
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，求出结果
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017
【详解】（1）原式= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017
=
2
❑√2019−1
= ，
2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a ，b ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2
∴a+b= =2(2m+1),ab=1，
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2 )+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴4(2m+1) 2=100，
∴2m=±5−1，∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由❑√15+x2−❑√26−x2=1得出(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1，
∴❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，
∵( ❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =( ❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅ ❑√26−x2=81，
∵❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，
∴❑√15+x2+❑√26−x2=9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
23．（9分）（24-25八年级·河南郑州·期中）探究一：如图1，P，Q，M均为正方形．
问题：（1）若图1中的△≝¿为直角三角形，P的面积为3，Q的面积为10，则M的面积为________；
（2）若P的面积为15cm2，Q的面积为45cm2，同时M的面积为60cm2，则△≝¿为________三角形．
探究二：图形变化：
（3）如图2，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么
关系，并说说你的理由；
（4）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为6和8，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上
面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）13；（2）直角；（3）S +S =S ；（4）24
1 2 3【分析】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（2）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平
方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解；
（3）设直角三角形的三边分别为a、b、c (a<b<c)，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个
小半圆的面积和等于大半圆的面积；
（4）根据（3）可得阴影部分的面积=直角三角形的面积，据此解答即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（1）由题意得，S =DE2=3，S =EF2=10
P Q
∴S =DF2=DE2+EF2=3+10=13，
M
故答案为：13；
（2）∵P的面积为15cm2，Q的面积为45cm2，同时M的面积为60cm2，
∴DE2=15，EF2=45，DF2=60，
∵DE2+EF2=DF2=60，
∴△≝¿是直角三角形，
故答案为：直角；
（3）S +S =S ，理由如下：
1 2 3
设直角三角形的三边分别为a、b、c (a<b<c)，
1 (a) 2 πa2 1 (b) 2 πb2 1 (c) 2 πc2
则S = π× = ，S = π× = ，S = π× = ，
1 2 2 8 2 2 2 8 3 2 2 8
πa2 πb2 π πc2
∵S +S = + = (a2+b2)= ，
1 2 8 8 8 8
∴S +S =S ；
1 2 3
1
（4）由图②可得，S =S = ×6×8=24．
阴影 直角三角形 2
24．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，
千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，∠DAB=∠B=90°，已知AB=AD=a，
AE=BC=b，DE=AC=c，AC⊥DE，试证明a2+b2=c2．【知识运用】
（2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=23千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为 千
米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求AP的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81的最小值 ．
【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AB=AD=a，BC=AE=b，AC=DE=c，则
BE=AB−AE=a−b，分别用含a，b，c的式子，结合图形表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC
的面积，根据S =S +S ，代入计算即可求解；
梯形ABCD 四边形AECD △BCE
（2）如图2所示，连接CD，作CE⊥AD于点E，可得CE，DE的长，在Rt△CDE中，运用勾股定理即
可求解；
（3）如图3所示，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P点，则点P即为所求；利用勾股定理得
PD2=AP2+AD2，PC2=PB2+BC2，进而得AP2+AD2=PB2+BC2，再根据AB=40千米，
AD=25千米，BC=16千米得PB=AB−AP=(40−AP)千米，即可解答；
（4）根据轴对称−最短路线的求法即可求出．
【详解】（1）证明：根据题意，Rt△ABC≌Rt△DAE，AB=AD=a，AC=DE=c，BC=AE=b，
则BE=AB−AE=a−b，
1 1 1 1
∴四边形AECD的面积= ED⋅AF+ ⋅ED⋅CF= DE⋅AC= c2 ，
2 2 2 2
∵S =S +S ，
梯形ABCD 四边形AECD △BCE
1 1 1
∴ a(a+b)= c2+ b(a−b)，
2 2 2
∴a2+b2=c2；
（2）解：如图2所示，连接CD，过点C作CE⊥AD于点E，∵BC⊥AB AD⊥AB
， ，
∴∠A=∠B=∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=16千米，CE=AB=24千米，
∵AD=23千米，
∴DE=AD−AE=23−16=7（千米），
由勾股定理得：CD=❑√DE2+CE2=❑√72+242=25（千米），
则两个村庄之间的距离为25千米．
故答案为：25；
（3）解：如图3所示，连接CD，作线段CD的垂直平分线交AB于P，则点P即为所求；
连接PC，PD，
∴PC=PD，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD2=AP2+AD2，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2=PB2+BC2，
∴AP2+AD2=PB2+BC2，
在（2）的背景下，则AB=24千米，AD=23千米，BC=16千米，
∴PB=AB−AP=(24−AP)千米，
∴AP2+232=(24−AP) 2+162，
∴AP=6.3125千米．
即AP的长为6.3125千米；（4）解：如图4，AD⊥AB,BC⊥AB,AD=9,BC=3,AB=16，
设BP=x，则AP=16−x，
先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD于点E，
则DP=❑√(16−x) 2+81,CP=❑√x2+9，
当点D,P,F三点共线时，DP+PF有最小值，
由轴对称可得：PC=PF，
∴ DP+PC的最小值为❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81，
即：DF就是代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81的最小值．
∴代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81的最小值为❑√DE2+EF2=❑√(AD+BC) 2+AB2=❑√(9+3) 2+162=20．
故答案为：20．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称−最短路线问题以及
线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形
DEF是解本题的难点．
25．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中
线和这边一半的平方差．如图1，在ΔABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于
AO2−BO2的值，可记为AB∇ AC=OA2−BO2
（1）在ΔABC中，若∠ACB=90°，AB∇ AC=81，求AC的值．
（2）如图2，在ΔABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，求AB∇ AC，BA∇ BC的值．
（3）如图3，在ΔABC中，AO是BC边上的中线，S =24，AC=8，AB∇ AC=−64，求BC和AB
ΔABC
的长．【答案】(1)AC=9；(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=216；(3)BC=2❑√73,AB=10.
【分析】(1)在RtΔAOC中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=2❑√3,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形
AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出
CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】解：(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在RtΔAOC中,
AO2-OC2=AC2
因为AB∇ AC=81
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,
∵AB=AC,
∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB=❑√AB2−AO2=❑√122−62=6❑√3,
∴AB∇AC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,
1
∴AD=CD= AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,
2
在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴∠ABE=30°,
∵AB=12,
∴AE=6,BE=❑√AB2−AE2=❑√122−62=6❑√3,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=❑√BE2+DE2=❑√(6❑√3) 2+122=6❑√7
∴BA∇BC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为S =24 ,AC=8,
ΔABC
所以BD=2S ÷AC=6,
ΔABC
因为AB∇ AC=−64,AO是BC边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
S 24
所以OA=2× ΔABC÷AC=2× ÷8=3
2 2所以OC=❑√AC2+OA2=❑√82+32=❑√73
所以BC=2OC=2❑√73,
在Rt△BCD中,
CD=❑√BC2−BD2=❑√(2❑√73) 2 −62=16
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=❑√AD2+BD2=❑√82+62=10
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等
直角三角形性质解决问题是关键.
