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21.3.2 菱形（第 2 课时）
知识点1：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
1．C．
2．D
3．AF=AE（答案不唯一）
4．解：如图，点E，F即为所求．
理由：设EF,BD交于点O，
根据作法得：OB=OD,EF⊥BD，
∴DE=BE，
∵AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF,∠OED=∠BFO，
∴△ODE≌△OBF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BFDE为菱形．
5．（1）解：添加的条件是∠1=∠2（或∠3=∠4）．
故答案为：①（或③）．
（2）证明：（添加的条件是∠1=∠2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
¿，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，∴ ABCD为菱形．
▱
（添加条件∠3=∠4）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
¿，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AD=CD，
∴ ABCD为菱形．
▱
6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O为BF的中点，
∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB，
∴BE=FA,
∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD=BC,AF=BE,
∴DF=CE=1,
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为：22−2=20,
∴AB=20÷4=5,
∵四边形ABEF是菱形，
1 1
∴∠BAE= ∠BAD= ×120°=60°,
2 2
又AB=AE,
∴△ABE是等边三角形，
∵AE=AB=5．
知识点2：四条边相等的四边形是菱形.7．解：赞成小洁的说法，补充AB=CB.
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AB=CB，
∴AB＝AD=CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
8．（1）解：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线AQ平分∠BAP．
故答案为：AP=AB；射线AQ平分∠BAP．
（2）证明：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵射线AQ平分∠BAP，
∴∠BAC=∠PAC；
在△ABC和△APC中，
¿，
∴△ABC≌△APC(SAS)，
∴BC=PC，
又∵以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C，
∴PA=PC，
∴AP=AB=BC=PC，
∴四边形ABCP是菱形．
9．（1）解：如图1所示，直线EF为所求；
（2）证明：如图2，设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线．
∴EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO=∠FAO，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴EC=FA，
∴EA=EC=FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形．
知识点3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
10．D．
11．AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）．
12．（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO=∠NDO，
又∠BOM=∠DON，
∴△BOM≌△DON，
∴BM=DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN=∠BNM；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
13．C．
14．（1）证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF=∠DCE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF=FD，
∴BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
在直角三角形ABF中，∵∠ABD=30°，
1
∴AF= BF，
2
在直角三角形DCE中，∵EF=DF，
1
∴CF= DE，
2
∵BF=DE，∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形.
√57
15．
2
