文档内容
第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
教学设计
课题 第2课时 正方形的判定 授课人
1.理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系，能从边、角、对角
线等方面归纳正方形的性质和判定方法；
教学目标 2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力；
3.感受正方形在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，提升学生学习数
学的兴趣
教学重点 正方形的定义、性质和判定；正方形与矩形、菱形的关系
理解正方形性质与判定的综合应用，以及正方形与矩形、菱形之间的区别与
教学难点
联系
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 通过回顾
旧知为学
习新知做
好准备.
探究新知 思考：满足什么条件的矩形是正方形？ 通过问题
探究和讨
论，帮助
学生理解
正方形的
判 定 . 通
过观察和
讨论，帮
有一组邻边相等的矩形是正方形；
助学生发
对角线互相垂直的矩形是正方形． 现正方形
的判定，
证一证：
并掌握其
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形． 应用.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
思考
满足什么条件的菱形是正方形？
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形．
请证明你的结论，并与同伴交流．证一证：
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
小结
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形．
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
正方形判定的几条途径：（链接例1、例2）
典例精析 【例1】直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC， 通过例题
DF⊥BC．求证：四边形CEDF是正方形． 和练习帮
助学生掌
握所学知
识，培养
学生的应
用能力.
【证明】∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
又∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF为矩形．
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DE，
∴四边形CEDF是正方形．
【例2】如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.
【解析】要证明四边形 EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也
是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是
直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.【解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH,
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
随堂检测 1.下列命题正确的是（ D ） 通过设置
随 堂 检
A.四个角都相等的四边形是正方形
测，及时
获知学生
B.四条边都相等的四边形是正方形
对所学知
C.对角线相等的平行四边形是正方形 识的掌握
情况，明
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
确哪些学
生需要在
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的
课后加强
是（ D ）
辅导，达
到全面提
高 的 目
的.
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个
条件 _AB=BC( 答案不唯一 )_ ，可得出该四边形是正方形．4. 已 知 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 再 从 ① AB=BC ，
②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补
充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 ___ ②③或
①④ ___ _（只填写序号）．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P
是BD上一点，过点 P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为 M ，
N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．
证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴∠ADB＝∠CDB．
（2）∵∠ADC＝90〫，PM⊥AD，PN⊥CD,
∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90〫．
∴四边形PMDN是矩形．
1
∵∠ADB＝∠CDB＝ ×90°＝45〫，
2
∴∠MPD＝∠NPD＝45〫，
∴DM＝PM，DN＝PN，
∴四边形PMDN是正方形．课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 第2课时 正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
教学反思
