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2023-2024 学年初中数学下学期期中模拟试卷（2）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）测试范围：二次根式、勾股定理
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把
鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是
A． B． C． D．
3．若 ， ．则代数式 的值是A． B．3 C． D．
4．已知 是正整数， 是整数，则 的最小值是
A．0 B．2 C．3 D．7
5．下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．已知： ， ，则 与 的关系是
A． B． C． D．
7．若二次根式 与 是同类二次根式，则 的值有可能是
A．6 B．5 C．4 D．3
8．下列算式结果最小的是
A． B． C． D．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 ，
相交于点 、 与 相交于点 ．若 ，则 的值是
A． B． C． D．
10．设 、 、 是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值是
A．0 B．1
C．3 D．条件不足，无法计算
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．如果 是最简二次根式，则 的值可能是 （填一个正确的即可）
12．计算 的结果为 ．
13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 请
你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
14．若 是整数，则正整数 的最小值是 ．
15．正方形Ⅰ的边长为 ，面积为12；正方形Ⅱ的边长为 ，面积为27．计算 ．
16．如图，在 中， ， ， ，若点 是边 上的一个动点，以每秒3个单
位的速度按照从 运动，同时点 从 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，
另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为 ，若 为直角三角形，则 的值为 ．
17．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显示
车辆应沿北偏西 方向行驶4千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区 ，嘉琪发现
风景区 在 地的北偏东 方向，那么 ， 两地的距离为 ．18．已知，在 中， ，点 是 的中点， 于点 ，连接 ．请从下面 ，
两题中任选一题作答．我选择 题．
．如图1，若 ，则线段 的长为 ．
．如图2，若 ， ，则线段 的长为 ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（1）已知 ，化简： ；
（2）已知 ，求 的平方根．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点 ， ， ， 均在格点上．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求四边形 的面积．21．计算：
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中 、 、 、 均为整数），则有
， ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化
为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 、 、 、 均为正整数，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得
， ；
（2）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值．
（3）化简 ．
23．先观察“比较 与 的大小”这个问题的解答过程，再解决后面提出的问题．
解： ， ．
， ．
又 ．
（1）试用以上方法，比较 与 的大小；
（2）填空： （填“ ”或“ ” ．24．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：
如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，设 ，则三角形的面积 ．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果
一个三角形的三边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 ．依据上述公式解决
下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ，3， ，求这个三角形的面积．
25．如图， 中， ， ， ，若动点 从点 开始，按 的
路径运动，且速度为每秒 ，设出发的时间为 秒．
（1）出发2秒后，求 的周长；
（2）当 为几秒时， 平分 ；
（3）问 为何值时， 为等腰三角形？26．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为 ，较短的直角边长为
，斜边长为 ，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24，
，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形 ，正方形
的面积分别为 ， ， ，若 ，则 ．
