文档内容
21.3.2 菱形（第 1 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课通过类比矩形，把平行四边形的边特殊化，引入菱形的概念，研究菱形的性质。
2. 内容分析
菱形是平行四边形边特殊化得到的特殊平行四边形，与角特殊化得到的矩形形成互补的特殊平行四边
形研究体系，是八年级下册四边形知识体系的重要组成部分，承接平行四边形、矩形的探究方法与性质，
又为后续菱形判定、正方形的学习奠定基础。本节课以类比矩形的探究思路为核心，从边、角、对角线三
个维度展开菱形性质的探索与证明，同时推导菱形独有的面积公式，整个过程贯穿“观察—猜想—证明—
应用”的几何图形研究一般方法，能让学生在探究中体会类比、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何直
观能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明菱形的性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题，发展抽象能力和应用意识。
（2）经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般
步骤和方法，发展推理能力。
2. 目标解析
（1）学生能准确表述菱形的定义，明晰菱形与平行四边形的从属关系，熟练掌握菱形的边、对角线
的特殊性质及轴对称性，能规范书写性质的符号语言，会运用性质解决菱形边长、对角线长、面积的简单
计算问题，初步形成几何知识的应用意识。
（2）学生能主动类比矩形的探究路径，自主从边、角、对角线维度提出菱形性质的猜想，通过动手
分析、逻辑推理完成证明，掌握几何图形研究的一般步骤，在探究过程中发展合情推理与演绎推理能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.易混淆菱形与平行四边形、矩形的性质，尤其在对角线特征上，无法准确区分菱形“对角线互相垂
直且平分一组对角”与矩形“对角线相等”的独有性质。
2.对菱形面积公式“对角线乘积的一半”的推导理解不透彻，仅机械记忆，不会结合实际问题灵活选
择面积求法。
应对策略：1.采用表格对比形式，梳理平行四边形、矩形、菱形的边、角、对角线性质，标注共性与特性，通过
课堂即时提问强化区分记忆。
2.让学生自主参与面积公式的推导过程，理解公式的由来，设计对比练习，让学生体会“底×高”与
“对角线乘积的一半”两种面积求法的适用场景。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会用菱形的性质解决简单的问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将平行四边形的角特殊化，可以得到矩形.
类似的，对平行四边形的边特殊化，可以得到菱形.本节课我们就来研究菱形的定义和性质.
设计意图：通过回顾平行四边形到矩形的特殊化过程，建立“图形元素特殊化得到新图形”的研究认
知，类比引出菱形的研究方向，实现知识迁移，同时明确本节课学习主题，激发学生探究兴趣。
（二）合作探究
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
问题 菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能
举出一些例子吗?
与研究矩形的性质类似，对于菱形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究.
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否
具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?追问 说一说，如何证明“菱形的四条边都相等”？
菱形的特有性质1 菱形的四条边都相等.
A
符号语言
∵四边形ABCD是菱形， B D
∴AB=BC=CD=DA.
C
验证猜想 菱形的对角线互相垂直且平分，并且每 一条对角线平分一
组对角.
思考 你能证明“菱形的对角线互相垂直”这个结论吗？
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
求证： AC⊥BD.
A
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，点O是BD的中点，
B D
O
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
C
追问 你还有其他证明方法吗？
思考 证明“菱形的每一条对角线平分一组对角”.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
求证： AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BO=DO，
又∵AO=AO， A
∴△AOB≌△AOD(SSS)，
B D
O
∴∠BAO=∠DAO，同理可证∠BCO=∠DCO，
即AC平分∠BAD和∠BCD， C
同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC.
追问 你还有其他证明方法吗？菱形的特有性质2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言 A
∵四边形ABCD是菱形，
B D
O
∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB. C
菱形的轴对称性
菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴.
A
B D
C
填表
思考 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗?
A
分析：S
菱形ABCD
=4×S
△AOB
=4×1AO×BO=4×1×1AC×1BD=1 AC×BD.
B D
2 2 2 2 2 O
C
菱形的面积等于对角线乘积的一半.
设计意图：从生活实例切入，让学生感受菱形的实际应用，体会几何与生活的联系；类比矩形探究思
路，从边、角、对角线维度研究菱形性质，符合学生认知规律；通过猜想、证明、追问等环节，引导学生
主动参与知识形成过程，培养推理与探究意识；表格对比梳理性质、规范符号语言书写，帮助学生构建知
识体系，面积公式推导则渗透转化思想，让学生理解公式本质而非机械记忆。
（三）典例分析
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和
BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.解：设AC，BD相交于点O.
∵ 花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=1∠ABC=1×60°=30°.
2 2
在Rt△OAB中，
AO=1AB=1×20=10，
2 2
BO=√AB2 −AO2=√202 −102=10√3.
∴ 花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m)，
BD=2BO=20√3≈34.64(m).
花坛的面积
S
菱形ABCD
=4×S
△ABO
=4×1AO·BO=200 ≈346.4(m2).
√3
2
追问 你还有其他求花坛面积的方法吗？
设计意图：以菱形花坛为实际背景，让学生感受菱形性质的实际应用价值，增强数学应用意识；追问
其他面积求法，鼓励一题多解，加深对菱形面积公式的理解与灵活运用。
（四）巩固练习
1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长以及菱形
ABCD的面积. A
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO=8，BD=2BO. B D
O
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
C
BO=√AB2 −AO2=√52 −42=3，
∴BD=6，
∴S
菱形ABCD
=1AC·BD=1×8×6=24.
2 2
2.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A:∠ABC=1:2.求△ABD的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD//BC，
A D
∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠A:∠ABC=1:2，
B C∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴C =3BD=12.
△ABD
3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接
DE，DF，EF.求证：△DEF是等边三角形.
分析：证明△ABD是等边三角形
证明△ADE≌△BDF
证明DE=DF，∠EDF=60°
追问 你还有其他证明方法吗？
设计意图：三道练习题层层递进，基础计算题巩固菱形性质与面积公式的直接应用，证明题综合考查
菱形性质、等边三角形判定与全等三角形知识，提升学生综合运用能力；追问其他证明方法，培养学生发
散思维与一题多解能力，同时通过练习及时反馈学习效果，便于教师针对性点拨，突破教学难点。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年四川泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ A ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（2025年江苏常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的
长是（ B ）A．4 B．5 C．6 D．10
3．（2024年山东济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若
OE=3，则菱形的边长为（ A ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2025年河南）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE
沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ D ）
A．2 B．6−3√2 C．2√2 D．6√2−6
5．（2024年黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是
（ A ）
24 48
A． B．6 C． D．12
5 5
6．（2024年四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4，点E为AB的中点，在对角线
BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（ C ）A．4 B．2√2 C．2√3 D．2√5
设计意图：选取近年中考真题，涵盖性质辨析、基础计算、折叠、最值等题型，让学生感受菱形性质
在中考中的考查形式与难度，增强备考意识；综合考查学生对菱形性质的灵活运用能力，提升学生分析和
解决综合几何问题的能力，体会本节课知识的中考价值。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.3 第4，11(2)题.
2.探究性作业：
（2025年江苏连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为
平行四边形，则BE+BF的最小值为 ．
五、教学反思
