文档内容
21.3.3 正方形
第1课时 正方形的定义与性质
1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系.
2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的
性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力.
3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解
决问题的能力.
重点：正方形性质的理解及其应用.
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
知识链接：前面我们学习了菱形的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：正方形的定义
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
概念引入：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正
方形.
问题3：正方形也是常见的几何图形，能否举出生活中正方形形象
的例子？
地板砖，画框等.
探究点二：正方形的性质问题4：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
归纳总结：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，
因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
问题5：我们根据前面的学习，正方形的边、角、对角线有哪些特
点？
归纳总结：
性质
边 两组对边平行，四条边相等
正方形 角 四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一
对角线
组对角
问题6：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：
正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边
中点的连线以及两条对角线所在的直线.
正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，
它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.我们可以试着证明
一下.
（教材P76例5）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成
四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
【对应训练】教材P76练习.
1. ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝BC且AB⊥BC，则
▱
▱
ABCD是（ B ）
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.一般平行四边形
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）∠ABO＝ 4 5 °，∠AOB＝ 9 0 °；
（2）若正方形ABCD的面积为9，则AB＝ 3 ，对角线BD的长
为 3√2 ；
（3）图中共有 8 个等腰直角三角形.
第2题图 第3题图
3.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连
接BE，则∠CBE的度数为 2 2 . 5 ° .
4.如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE，
DE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°.
∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB.
{
AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCE.在△ABE和△DCE中， ∠ABE＝∠DCE，
BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）.∴AE＝DE.
（2）解：由（1）得∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°.
1
又AB＝BC＝BE，∴∠BEA＝∠BAE＝ （180°－∠ABE）＝75°.
2
同理∠CED＝75°.又∠BEC＝60°，∴∠AED＝360°－∠AEB－
∠BEC－∠CED＝150°.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
