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2023-2024 学年初中数学下学期期中模拟试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．如图，公路 、 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为4.8 ，则
、 两点间的距离为
A．2.4 B．3.6 C．4.2 D．4.8
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出 ，再求出答案即可．
【解答】解： 公路 、 互相垂直，
，
为 的中点，
，
，
，即 ， 两点间的距离为2.4 ，故选： ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．
2．如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折
断之前的高度．
【解答】解： 一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，
折断的部分长为 （米 ，
折断前高度为 （米 ．
故选： ．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
3．如图，点 ， 分别是 ， 的中点， 的平分线 交 于点 ， ， ，则
的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到 ， ，根据平行线的性质得到
，根据角平分线的定义、等量代换得到 ，得到 ，计算即可．
【解答】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线， ，， ，
，
的平分线 交 于点 ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定、角平分线的定义，熟记三角形的中位线平
行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．下列各式中，一定是二次根式的个数为
， ， ， ， ， ，
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解： 一定是二次根式；
当 时， 不是二次根式；
对于任意的数 ， ，则 一定是二次根式；
是三次方根，不是二次根式；
，则 不是二次根式；
是二次根式；
当 时， 可能小于0，不是二次根式．
故选： ．
【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．5．下列计算错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解： ． ，计算正确，故 选项不符合题意；
． ，原计算错误，故 选项符合题意；
． ，计算正确，故 选项不符合题意；
． ，计算正确，故 选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，解答关键是根据相关运算法则进行计算．
6．若 为实数，在“ □ ”的“□”中添上“ ， ， ”中的一种运算符号后，其运算的结果
为有理数，则 不可能是
A． B． C． D．
【分析】分别选择添上“ ， ， ”中的一种运算符号后，进行计算加以验证即可得出结论．
【解答】解：当选择“ ”号时， 取 ，
，是有理数，
可能是 ， 选项不符合题意；
当选择“ ”号时， 取 ，
，是有理数，
可能是 ， 选项不符合题意；
当选择“ ”号时， 取 ，，是有理数，
可能是 ， 选项不符合题意；
当选择“ ”号时， 取 ，
，是有理数，
可能是 ， 选项不符合题意．
综上， 不可能是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，依据题意进行逐一验证是解题的关键．
7．若三角形的三边分别是 ， ， ，且 ，则这个三角形的周长是
A． B． C． D．
【分析】根据几个非负数的和的性质得到 ， ， ，可解得 ，
， ，然后计算 即可．
【解答】解：根据题意得 ， ， ，
， ， ，
三角形的周长为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的应用：在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的
方法．也考查了非负数的性质．
8．如图， ，直线 与直线 之间的距离为4，点 是直线 与 外一点，点 到直线 的距离为2，点 ， 分别是直线 与直线 上的动点，以点 为圆心， 的长为半径作弧，再以点 为圆心，
的长为半径作弧，两弧交于点 ，则点 与点 之间距离的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过 作 ，过 作 ，交 于 ，交 于 ，作 于 ，得到 ，因此
， ，由平行四边形的性质推出， ， ，得到 ，求
出 ，由 ，即可求出 的最小值．
【解答】解：过 作 ，过 作 ，交 于 ，交 于 ，作 于 ，
，
，
， ，
， ，
由题意得： ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，，
，
，
，
，
点 与点 之间距离的最小值是8．
故选： ．
【点评】本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到 ，求出
即可解决问题．
9．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ．若要使平行四边形 成为矩形，需
要添加的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解： 、 四边形 是平行四边形， ，
平行四边形 是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
、 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，平行四边形 是矩形，符合题意；
、 四边形 是平行四边形， ，
平行四边形 是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
、 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知
矩形的判定是解答的关键．
10．直角三角形 中， ， 是 边上的中线，若 ， ，则 的长为
A．5 B． C． D．
【分析】由 构造 ，使得 ，于是延长 至点 ，使 ，连接 ，
，则 ，利用相似三角形的性质得出 ，再由 ， ，
，利用双勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，是 边上的中线，若 ，
，
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
， ，
，即 ，
在 中， ，即 ①，
在 中， ，即 ②，
① ②得 ，
解得： 或 （舍去）．
故选： ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理，
解题关键是根据易知已知条件 ，联想到利用三角形外角性质构造等腰三角形，进而可利用
相似三角形的性质解决问题．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
【解答】解： ① ， ， ，
② ， ， ，
③ ， ， ， ，第 组勾股数为：
， ， ，
第⑤组勾股数为 ， ， ，即11，60，61．
故答案为：11，60，61．
【点评】考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律
即可解答．
12．如图所示，在边长为2的菱形 中， ，点 为 中点，点 是 上一动点，则
的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）
【分析】首先连接 ， ，设 交 于 ，连接 ， ．证明只有点 运动到点 时，
取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解答】解：连接 ， ，设 交 于 ，连接 ， ，
四边形 是菱形，
， 互相垂直平分，
点 关于 的对称点为 ，
，
．
只有当点 运动到点 时，取等号（两点之间线段最短），
中， ， ，
是等边三角形．为 的中点，
，
， ，
的最小值为 ．
【点评】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点 的运动状态不清楚，无法
判断什么时候会使 成为最小值．
13．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
14．在二次根式① ，② ，③ ，④ 中，与 是同类二次根式的有 ②④ （只需要填写前
面的序号即可）．
【分析】结合同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【解答】解：①、 ，与 不是同类二次根式；
②、 ，与 是同类二次根式；
③、 ，与 不是同类二次根式；
④、 ，与 是同类二次根式．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15．已知实数 和 满足 ，那么 ．
【分析】根据 ，可以得到 ， ，然后求出 、 的值，再代入所求式子
计算即可．
【解答】解： ，
， ，
解得 ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出 、 的值．
16．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形 的面积为25，正方形
的面积为1，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边 ，下列三个结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的是 ①②③ （填序号）．
【分析】用含有 ， 的代数式分别表示小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出 与 的关
系式，依次判断所给关系式即可．【解答】解：由题意可得小正方形的边长 ，大正方形的边长 ，
斜边 大正方形的面积 ，
故①正确；
小正方形的边长为1，
，
故②正确；
小正方形的面积 四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
，
，
故③正确；
． ， ，
，
故④不正确．
综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用等知识，根据所给图形，利用面积关系判
断 与 的关系是解答本题的关键．
17．如图，平行四边形 中， 于点 ， 为线段 上一点且满足 ， ，
连 并延长交 于点 ，则 的度数为 ．
【分析】连接 ，根据平行四边形的性质证明 ，可得 ， ，
然后证明 是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接 ，
在平行四边形 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决
本题的关键是得到 ．
18．如图，正方形 的边长是6，对角线的交点为 ，点 在边 上且 ， ，连接
，则：（1） ；
（2） ．
【 分 析 】 （ 1 ） 在 上 截 取 ， 根 据 正 方 形 性 质 ， 得 ， ，
，再根据同角的余角相等，得 ，从而证明 ，进
而得到 ；
（2）在 中，根据勾股定理，得 ，再根据等面积法求出 ，再通过两次
勾股定理的应用得出 ．
【解答】解：（1）在 上截取 ，
在正方形 ， ， ， ， ， ， 、
分别平分 、 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，，
，
故答案为： ；
（2）在 中，根据勾股定理，得 ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合
应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．已知 满足 ．
（1） 有意义， 的取值范围是 ；
（2）根据（1）的分析，求 的值．
【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数为非负数，由此即可求解；（2）由（1）的结果可化简 ，由此即可求解．
【解答】解：（1） 有意义，
，
，
故答案为： ．
（2）由（1）得， ，
整理得， ，
，
，
，
计算结果为2022．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的性质的综合，掌握二次根式中被开方数为非负数，去
绝对值的方法等知识是解题的关键．
20．计算：
（1）
（2） ．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案；
（2）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（2）
．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
21．在学习二次根式的性质时，知道 ，利用这个性质我们可以求 的值．
解：设 ，两边平方， ；
；
；
， ， ；
；
请利用以上方法，解决下列问题：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）设 ，运用平方计算求出 ，根据 求出结果即可；
（2）两边平方后整理得 ，再平方解无理方程得到结果．
【解答】解：（1）设 ，
两边平方得， ，，
，
，
，
，
（2） ，
两边平方， ，
即 ，
，
所以 ，
解得 ．
【点评】本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键．
22．如图，在 中， ， ， ，点 为 边上的动点，点 从点 出发，
沿边 往 运动，当运动点 时停止，若设点 运动的时间为 秒，点 运动的速度为每秒2个单位
长度．
（1）当 时， 4 ， ；（请直接写出答案）
（2）当 时， 是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当 为何值时， 是等腰三角形？并说明理由．
【分析】（1）根据 速度 时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出 ，再根据
代入数据进行计算即可得解；
（2）分① 时，利用 的面积列式计算即可求出 ，然后利用勾股定理列式求解得到 ，再根据时间 路程 速度计算；② 时，点 和点 重合，然后根据时间 路程 速度计算
即可得解；
（3）分① 时，过点 作 于 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，从而得
到 ；② 时， ；③ 时，过点 作 于 ，根据等腰三角形三线
合一的性质可得 ，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1） 时， ，
， ， ，
，
；
（2）① 时， ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
（秒 ；
② 时，点 和点 重合，
（秒 ，
综上所述， 或12.5秒；
故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；
（3）① 时，如图1，过点 作 于 ，
则 ，
，
；
② 时， ， ；
③ 时，如图2，过点 作 于 ，
则 ，
，
，综上所述， 或7.5或9秒时， 是等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况
讨论，作出图形更形象直观．
23．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 （有理数和无理数分别对应相等），
， ．
这样康康就找到了一种把式子 化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ；
（2）若 ，且 、 均为正整数，试化简： ；
（3）化简： ．
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将 变为 即可求解；
（3）将 化为 进行求解即可．【解答】解：（1） ，
， ．
故答案为： ， ．
（2） ，
．
（3）
．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．
24．如图，在 中， ， ， ，过点 作 ，且点 在点 的右侧．
点 从点 出发沿射线 方向以每秒1个单位的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 方向以每秒2
个单位的速度运动，在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，设点 的运动时间为 秒．
（1）若 ，求 的长；
（2）请问是否存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作 于 ，由已知条件得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，由直
角三角形斜边上的中线性质得出 ，证出 和 是等腰直角三角形，得出
， ，由 得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出 ，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作 于 ，设 交 于 ．如图所示：
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
解得： ，所以 ；
（2）存在， 或12；理由如下：
若以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
则 ，
或解得： 或12
存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形， 或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据
题意得出 的方程是解决问题的突破口．
25．如图， 是等边三角形， 是 边上的高．点 在 的延长线上，连接 ， ，
过 作 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ，请直接写出四边形 的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ， ，然后证明 为等边三角
形，可得 ，进而可以证明四边形 为平行四边形；
（2）根据 和勾股定理可得 的长，然后证明 ，进而可得四边形 的周长．
【解答】（1）证明： 是等边 的 边上的高，
， ，
，
， ，
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
四边形 为平行四边形；
（2） ，
， ，
为等边三角形，
，
，
， ，
，
，
四边形 的周长为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是
掌握平行四边形的判定与性质．
26．如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点 作
，交 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）求证：矩形 是正方形；
（2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到 ，然后判断 ，得到 ，则有
即可；
（2）同（1）的方法判断出 得到 ，即： ．
【解答】解：（1）如图，作 于 ， 于 ，
，
点 是正方形 对角线上的点，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是矩形，
矩形 是正方形；
（2） 的值是定值，定值为6，理由如下：
正方形 和正方形 ，
， ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是定值．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等。
