文档内容
21.3.3 正方形（第 2 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了正方形的概念和性质的基础上，探索正方形的判定方法。
2. 内容分析
正方形的判定是在掌握正方形性质、矩形和菱形判定方法的基础上展开的，是特殊平行四边形判定体
系的收官内容，既依托平行四边形、矩形、菱形的判定逻辑，又体现“矩形+菱形特征”的双重判定本质，
是对四边形判定知识的整合与综合应用。本节课从平行四边形、矩形、菱形、一般四边形四个维度探索正
方形的判定方法，体现“一般到特殊”“层层递进”的几何研究思路，能让学生进一步厘清特殊平行四边
形之间的转化关系，提升几何推理和综合应用能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：正方形判定的探索、证明和应用。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
（2）掌握正方形的判定方法，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算，发展推理能力和应
用意识。
2. 目标解析
（1）学生能进一步明晰正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系，准确掌握从不同图形出发判
定正方形的条件，理解正方形判定的“双重性”（兼具矩形和菱形的判定特征），构建完整的特殊平行四
边形判定知识体系。
（2）学生能熟练掌握正方形的多种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定思路，规范完成推理证
明和计算，发展逻辑推理能力和几何知识综合应用意识。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
1.解题时不能根据题干条件选择最优判定思路，如已知菱形条件时仍先证平行四边形，增加解题复杂
度；或证明正方形时仅证得矩形或菱形特征，遗漏另一重关键条件。
2.对判定定理的综合应用能力不足，解决与全等、折叠、中点相关的正方形判定综合题时，难以提取
有效条件、梳理推理逻辑。
应对策略：1.设计“条件匹配判定思路”的专项练习，引导学生分析题干中的基础图形特征，提炼最优判定路径；
板书不同判定思路的规范证明步骤，形成解题模板。
2.由浅入深设计综合判定例题，从基础的条件证明到实际情境的判定、再到与全等结合的综合证明，
引导学生拆解问题、提取有效条件，逐步提升综合应用能力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：应用正方形的判定方法解决问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 填写相关内容
设计意图：通过梳理四边形到平行四边形、矩形、菱形再到正方形的特殊化过程，唤醒学生对特殊平
行四边形之间转化关系的记忆，为后续从不同图形出发探索正方形判定方法做好知识铺垫；同时以填空形
式引导学生回顾核心特征，激发探究兴趣，明确本节课的研究主题。
（二）合作探究
探究 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结
论.
①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③两组对角分别相等 ④对角线互相平分
⑤一组对边平行且相等 ⑥一个角为直角 ⑦对角线相等 ⑧一组邻边相等
⑨对角线互相垂直 ⑩三个角为直角 ⑪四条边相等
追问1 满足什么条件的平行四边形是正方形？
⑥⑧；⑦⑨；⑥⑨等（答案不唯一）
追问2 满足什么条件的四边形是正方形？①⑥⑧；②⑦⑨；⑩⑧等（答案不唯一）
设计意图：从一般四边形、平行四边形、矩形、菱形四个维度展开判定方法探究，符合学生的认知规
律和几何研究的层层递进思路；通过追问和交流，让学生自主归纳不同前提下的正方形判定条件，培养自
主探究和合作交流能力；用数字标注图形特征，让学生直观感受判定条件的组合规律，突破判定条件混淆
的难点，同时强化正方形与其他特殊平行四边形的内在联系。
（三）典例分析
例6 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形
EFGH是正方形.
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是 菱形 ，也是 矩形 ，也就是要先证明它的 四
条边相等 ，再证明它的 一个角是直角 ，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴ EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴ HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵ △AEH≌△BFE，∴ ∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴ ∠1+∠3=90°.
∴ ∠HEF=180°−(∠1+∠3)=90°.
∴ 四边形EFGH是正方形.
设计意图：通过例题综合考查全等三角形证明、菱形判定、矩形判定与正方形判定的衔接，让学生掌
握“先证菱形，再证有一个角是直角，进而判定正方形”的核心思路；通过详细的分析和证明步骤，规范
学生的几何推理书写，让学生体会不同判定方法的综合应用，为后续解决复杂判定问题奠定基础。
（四）巩固练习
1.满足下列条件的四边形是不是正方形?为什么?
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；（ 是 ）
(2)对角线互相垂直的矩形； （ 是 ）
(3)对角线相等的菱形； （ 是 ）
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. （ 是 ）
2.下列命题中，是假命题的是（ D ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是
AC = BD ．（或AB⊥BC）
D
A C
O
B
4.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边
形CEDF是正方形.
解：∵∠ACB= 90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形.
∵CD平分∠ACB，
A
∴∠DCE=1∠ACB=45°，
2
∴∠CDE=90°−∠DCE=45°，
F D
∴∠DCE=∠CDE，
∴CE=DE， C E B
∴四边形CEDF是正方形.
5.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝
巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对
折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾
是正方形样式吗？为什么？
结论 王芳买的这条丝巾不一定是正方形样式.
设计意图：五道练习题分层设计，基础判定辨析题强化对正方形判定条件的理解和辨别能力；选择题巩固正方形判定命题的真假判断；填空题考查菱形、矩形转化为正方形的关键条件；证明题锻炼“先证矩
形，再证邻边相等判定正方形”的思路；实际情境题让学生感受正方形判定在生活中的应用，同时理解
“仅菱形特征不能判定为正方形”，培养几何建模和实际应用能力。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2022年山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（ D ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．（2022年广西玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的
两条对角线AC,BD一定是（ D ）
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
3．（2025年四川乐山）如图，在▱ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使
得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°．则正确的
组合是 ①②或①③ （只需填一种组合即可）．4．（2022年湖南邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，
且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF.
即OE=OF .
∵OE=OA，
∴OA=OC=OE=OF且AC=EF，
又∵AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是正方形．
5．（2024年内蒙古呼和浩特）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAF，
∵AB∥DF，
∴∠EFD=∠BAF，
∴∠CAB=∠EFD，在△ACB和△FED中，
¿，
∴△ACB≌△FED(ASA)，
∴AB=FD，
由∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2）四边形BGED是正方形．
过点B作BG⊥AE于点G，∴∠BGE=∠DEG=90°，
∵四边形ABDF是平行四边形．∴BD∥AE，BD=AF，
∴∠GBD+∠BGE=180°，∠DEG+∠EDB=180°，
∴∠GBD=90°，∠EDB=90°，
由（1）△ACB≌△FED，∴CB=ED，
∵CB=AF，∴ED=AF，∴BD=ED，
∴四边形BGED是正方形．
设计意图：选取近年中考真题，涵盖命题辨析、对角线特征判定、条件组合判定、综合证明、几何图
形判定与性质结合等多种题型，让学生感受正方形判定在中考中的考查形式和难度；综合考查学生对正方
形判定方法的灵活运用能力，以及与菱形性质、全等证明、平行四边形判定等知识的综合应用能力，提升
学生分析和解决中考型几何问题的能力，体会本节课知识的中考价值。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题21.3 第14题.
2.探究性作业：习题21.3 第7题.
五、教学反思
