文档内容
第 21 章 四边形
21.3.3 正方形
第1课时 正方形的定义与性质
【素养目标】
1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系.
2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归
纳探究能力和数学表达能力.
3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.
重点：正方形性质的理解及其应用.
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
【复习导入】
前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形
怎样变化而来？
菱形是由什么图形怎样变化而来？
【合作探究】
探究点1: 正方形的定义
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
归纳总结：
知识要点：
正方形的定义：
第 1 页探究点2: 正方形的性质
归纳总结：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有
平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并
证明其中的一些结论。
证一证：
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
思考：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对
称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： .
对称轴： .
归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：
第 2 页典例精析
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证： △ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
A D
E
B C
变式题1：四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求
∠BEC 的大小．
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本
题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．
变式题 2 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接
AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
A D
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
P
B C
第 3 页例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F.
试说明：AP = EF.
归纳：在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，
利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
练一练
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
3.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，
求该正方形的周长与面积．
当堂反馈
1.▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝BC且AB⊥ BC，则 ▱ABCD是( )
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.一般平行四边形
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)∠ABO＝ °，∠AOB＝ °；
(2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝ ，对角线BD的长为 ；
(3)图中共有 个等腰直角三角形.
第 4 页3.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的
度数为 .
第3题图
4.如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE，DE.
(1)求证：AE＝DE；
(2)求∠AED的度数.
第 5 页参考答案
【合作探究】
探究点2: 正方形的性质
证一证：
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
典例精析
例1
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
A D
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
E
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
B C
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90°－75° = 15°.
第 6 页变式题1：
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
变式题2
（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°．
∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC －∠PBC =∠DCB －∠PCB，即∠ABP =∠DCP．
又∵ AB = DC，PB = PC，
∴△APB≌△DPC．
（2）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC =∠DAC = 45°．
∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．
又∵AP = AB = AD，
∴ DP = AP = AD，即 △APD 是等边三角形．
∴∠DAP = 60°．
∴∠PAC =∠DAP －∠DAC = 15°，∠BAP =∠DAB－∠DAP = 30°．
∴∠BAP = 2∠PAC．
例3
解:连接 PC，AC.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ AP = PC.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∴ 四边形 PECF 是矩形.
∴ PC = EF. ∴ AP = EF.
练一练1. B 2. D
第 7 页3.解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
∴ 该正方形的周长为 4AD＝8√2，面积为 AD2＝8.
当堂反馈
1. B
2.(1) 45 ， 90 (2) 3 ， 3√2 ；(3) 8
3. 22.5° .
4.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°.
∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB.
∴∠ABE＝∠DCE.
AB＝DC，
{
在△ABE和△DCE中， ∠ABE＝∠DCE，
BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS).
∴AE＝DE.
(2)解：由(1)得∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°.
又AB＝BC＝BE，
1
∴∠BEA＝∠BAE＝ (180°－∠ABE)＝75°.
2
同理∠CED＝75°.
又∠BEC＝60°，
∴∠AED＝360°－∠AEB－∠BEC－∠CED＝150°.
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