文档内容
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
【素养目标】
1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.能区别凸多边形.
2.让学生经历探索多边形内角和公式的过程，掌握多边形内角和公式，并能运用公式解
决简单的问题.
3.培养学生的观察、分析、推理能力，体会化归思想和从特殊到一般的研究问题方法.
4.通过合作交流等活动，激发学生的学习兴趣，增强学生的团队合作意识.
重点：探索并掌握多边形内角和公式与外角和.
难点：多边形内角和公式的推导过程，灵活运用多边形内角和公式与外角和解决有关
问题.
【情境导入】
在实际生活当中，除了三角形、四边形外，还有许多由线段围成的图形.观察
图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
【合作探究】
探究点1：多边形的概念
问题1：类比四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？
问题2：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
第 1 页问题3：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
问题4：请类比四过形，想一想什么是凸多边形.
练一练
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
定义：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形.
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
第 2 页探究点2：多边形的内角和
探究：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多
少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?
从五边形的一个顶点出发，可以作出_____条对角线，它们将五边形分成了_____个三
角形，五边形的内角和等于180°×____.
从六边形的一个顶点出发，可以作出_____条对角线，它们将六边形分成了_____个三
角形，六边形的内角和等于180°×_____.
归纳总结：
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作出 条对角线，它们将 n
边形分成了 个三角形，n 边形的内角和等于 .
多边形的内角和公式： .
问题5：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边
形的内角和公式吗？
第 3 页例1 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的
个数的和为 21，求这个多边形的边数．
练一练：2. 一个多边形的内角和是 1800°，则这个多边形的边数为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
探究点3：多边形的外角和
探究：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作
多边形的外角和. 多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
问题6：还有什么方法可以理解多边形的外角和等于 360°.
例2 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2 倍，求这个多边形的边数.
问题7：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个
内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
第 4 页练一练：
3.(1) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这是正____边形；
(2) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形 是正____边形.
当堂反馈
1.一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形的边数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.在如图所示的五边形中，∠A＝∠B＝∠E＝90°，∠C＝∠D，
则∠C的度数是 .
3.一个多边形从一个顶点可引4条对角线，这个多边形是 边形.
4.[教材变式]若一个正多边形的内角和比外角和多720°.
(1)这个正多边形的边数为 ；
(2)这个正多边形每个内角的度数为 .
第 5 页参考答案
探究点1：多边形的概念
练一练1. B
想一想：答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
探究点2：多边形的内角和
探究： 2 3 3 3 4 4
探究点2：多边形的内角和
例1 解：设这个多边形为 n 边形，则有 (n - 3) 条对角线，
所分得的三角形个数为 (n - 2)，
∴ n - 3 + n - 2 = 21，解得 n = 13．
答：该多边形的边数为 13．
练一练：2. D
问题6：如图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，
再回到点 A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边
形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的
外角和等于 360°.
例2 解： 设多边形的边数为 n.
∵ 它的内角和等于 (n－2) • 180°，外角和等于 360°，
∴ (n－2) • 180°＝2×360°.解得 n＝6.
∴ 这个多边形的边数为 6.
(n−2)×180°
问题7：每个内角的度数是
n
360°
每个外角的度数是
n
练一练：3.(1) 六 (2) 八
当堂反馈
1.D 2.135° 3.七 4. (1)8 (2) 135°
第 6 页
