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21.3.2 菱形
第 1 课时 菱形的性质
A组·基础达标
知识点1 菱形的概念与性质
1 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则
菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3 如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定
△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE=DF B．∠BAE=∠DAF
C．AE=AD D．∠AEB=∠AFD
4 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD.若∠1=20∘ ，则∠2的度数为（ ）
A．20∘ B．60∘ C．70∘ D．80∘
5 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=66∘ ，则∠BAC=______.6 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线的交点坐标是O(0,0)，点B的坐标
是(0,1)，且BC=√5，则点A的坐标是________.
知识点2 菱形的面积
7 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=5，则菱形
ABCD的面积是____.
8 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.
若OA=2，OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为____.
易错点 点的位置不确定导致漏解
9 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘ ，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上.
若OE=√3，则CE的长为______________.
B组·能力提升
10 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱形的边长为13cm，当
挂钩B，D间的距离是30cm时，则挂钩A，C间的距离是____cm.11 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1） 求证：△ABE≌△ADF；
（2） 若AE=4，CF=2，求菱形ABCD的边长.
12 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作
CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
（1） 求证：△ODE≌△FCE；
（2） 试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.
C组·核心素养拓展
13 【推理能力】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以点C为圆心，
BC长为半径画弧交BC的延长线于点E，连接DE.
（1） 求证：AC//DE；
（2） 若AB=4，∠ABC=60∘ ，求△BDE的周长和面积.第 2 课时 菱形的判定
A组·基础达标
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1 如图，在 ▱ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段
EF.当四边形ECDF为菱形时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F.求证：
四边形AEDF是菱形.
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的
周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：____________
__________，使四边形ABCD成为菱形.知识点3 四条边相等的四边形是菱形
6 在四边形ABCD中，AB=BC=CD，AC，BD是它的两条对角线.下列条件中，不能判定
四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB//DC D．AC⊥BD
易错点 对菱形的判定方法掌握不透彻导致出错
7 下列命题中：①四条边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱
形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一
条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是____（填序号）.
B组·能力提升
8 如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下条件不能证明 ▱ABCD是菱形的是
（ ）
A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBD
C．OA2+OB2=AD2 D．AD2+OA2=OD2
9 按如下步骤作四边形ABCD:（1）作∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径
画弧，分别交AE，AF于点B，D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径
画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，DC，BD.若∠A=40∘ ，则∠BDC的度数是（ ）
A．64∘ B．66∘ C．68∘ D．70∘
10 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且
AF⊥AB，CE⊥CD.（1） 求证：△ABF≌△CDE；
（2） 连接AE，CF，若∠ABD=30∘ ，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
C组·核心素养拓展
11 【推理能力】在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入地研究.
他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点
和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.
根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1） 如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别
交AB，CD于点E，F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 已知：在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，
且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD.
∴①____________，∠OCF=∠OAE.
∵O是AC的中点，
∴ ②________，
∴△CFO≌△AEO(AAS)，
∴ ③________.
又∵OA=OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴ 四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④____________________.
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
A组·基础达标
知识点1 菱形的概念与性质
．
1．A
2．A
3．C
4．5 C 7∘
5．(2,0)
6知识点2 菱形的面积
．
7．15
8易错1点 点的位置不确定导致漏解
．4√3或2√3
9B组·能力提升
10．24
11．（1） 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D
∵AE⊥BC，AF⊥CD， .
∴∠AEB=∠AFD=90∘
. {∠AEB=∠AFD,
在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D,
AB=AD,
.
∴△ABE≌△ADF(AAS)
.（ ） 解：设菱形ABCD的边长为x，
则2AB=CD=x
∵CF=2，∴D.F=x−2.
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF=x−2.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AE2+BE2=AB2，
即42+(x−2)❑ 2=x2，解得x=5，
∴ 菱形ABCD的边长是
．（ ） 证明：∵E5是.CD的中点，
∴12CE=DE1
∵CF//B.D，
∴∠ODE=∠FCE
在△ODE和△FCE.中，
{∠ODE=∠FCE,
DE=CE,
∠DEO=∠CEF,
.
∴△ODE≌△FCE(ASA)
（ ） 解：四边形OD. FC为矩形 证明如下：
∵△2ODE≌△FCE， .
∴OE=FE
又∵CE=D. E，
∴ 四边形ODFC为平行四边形
∵ 四边形ABCD为菱形， .
∴AC⊥BD，即∠DOC=90∘ ，
∴ 四边形ODFC为矩形
C组·核心素养拓展 .
．（ ） 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴
13AD=BC1，AD//BC，即AD//CE
∵ 以点C为圆心，BC长为半径画.弧交BC的延长线于点E，
∴BC=CE=AD
.∵AD//CE，
∴ 四边形ACED是平行四边形，
∴AC//DE
（ ） 解：. ∵ 四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60∘ ，
∴C2E=BC=AB=4，∠CBD=30∘ ，∠BAC=∠CAD=60∘ ，
∴△ABC为等边三角形，BE=BC+CE=8，
∴AC=AB=4，
∵ 四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=4，∠CED=∠CAD=60∘ ，
∴∠BDE=180∘−∠CBD−∠CED=90∘
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD .=√BE2−DE2=√82−42=4√3，
∴△BDE的周长为C =DE+BE+BD=4+8+4√3=12+4√3，
△BDE
1 1
S = DE⋅BD= ×4×4√3=8√3.
△BDE 2 2
第2课时 菱形的判定
A组·基础达标
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．B
2．C
3．证明：∵DE//AC，DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴ 四边形AEDF是菱形
知识点2 对角线互相垂.直的平行四边形是菱形
．
4．CAD//BC（答案不唯一）
5知识点3 四条边相等的四边形是菱形
．
6 A易错点 对菱形的判定方法掌握不透彻导致出错
．①③⑤
7B组·能力提升
．
8．D
9 ．D（ ） 证明：∵AB//CD，∴∠ABF=∠CDE
∵10AF⊥A1B，CE⊥CD， .
∴∠BAF=∠DCE=90∘
∵BE=EF=FD， .
∴BE+EF=FD+EF，即BF=DE，
在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE，
∠BAF=∠DCE，BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS)
（ ） 解：四边形A.ECF是菱形 理由如下：
如2答图 .
∵∠ABD . =30∘ ，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=30∘
∵BE=EF，∠BAF=90 .∘ ，
∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线，
1
∴AE= BF
2
.
在Rt△ABF中，∠ABD=30∘ ，
1 1
∴AF= BF，∴AE=AF= BF，
2 2
1
同理，CE=CF= DE，
2
∵BF=DE，∴AE=AF=CE=CF，
又∵∠EAF≠90∘ ，∴ 四边形AECF是菱形
.第 题答图
C组·核心素养拓展 10
．（ ） 解：作图如答图所示
11 1 .
第 题答图
（ ） ∠OFC=∠OEA； OC=OA； OF=1O1E； 四边形AECF是菱形
2
