文档内容
第一次月考数学压轴题（3 月份）（考查范围：第 16~17 章）
【人教版】
【类型一 选择压轴题】.............................................................................................................................................2
【题型1 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................2
【题型2 勾股定理】..................................................................................................................................................5
【题型3 勾股定理的逆定理】................................................................................................................................10
【题型4 勾股定理的简单应用】............................................................................................................................14
【类型二 填空压轴题】...........................................................................................................................................17
【题型5 根据二次根式性质求值】........................................................................................................................17
【题型6 利用勾股定理解决面积问题】................................................................................................................20
【题型7 利用勾股定理解决翻折问题】................................................................................................................27
【题型8 判断能否构成直角三角形】....................................................................................................................35
【题型9 勾股定理的应用】....................................................................................................................................39
【类型三 解答压轴题】...........................................................................................................................................43
【题型10 利用勾股定理证明线段平方关系】.....................................................................................................43
【题型11 利用勾股定理在网格中作图】..............................................................................................................51
【题型12 勾股定理的应用】..................................................................................................................................58
【题型13 复合二次根式的化简求值】..................................................................................................................66
【类型一 选择压轴题】
【题型1 二次根式的化简求值】
1
【例1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把x=❑√2024+❑√2023代入所
求式子进行化简求值是解题的关键．
先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
1
【详解】解：∵x= ，
❑√2024−❑√20231 ❑√2024+❑√2023
∴x= = =❑√2024+❑√2023，
❑√2024−❑√2023 (❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)
∴x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024+❑√2023−2❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024+❑√2023−2❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)(❑√2024+❑√2023)x+2x−❑√2024
=−x+2x−❑√2024
=x−❑√2024
=❑√2024+❑√2023−❑√2024
=❑√2023．
故选：C．
【变式1-1】（24-25八年级·浙江嘉兴·开学考试）化简❑√3−2❑√2−❑√3+2❑√2的结果是（ ）
A．❑√2 B．−❑√2 C．2 D．−2
【答案】D
【分析】先将根号内整理为(1−❑√2) 2 和(1+❑√2) 2 ，再化简，并计算即可．
【详解】原式=❑√1−2❑√2+2-❑√1+2❑√2+2=❑√ (1−❑√2) 2 −❑√ (1+❑√2) 2=❑√2−1−(1+❑√2)=−2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解3±2❑√2=(1±❑√2)2是解题的关键．
【变式1-2】（24-25八年级·重庆北碚·期中）已知 ，将 的整数部分加上 的小数部分的倒数得到
a =❑√3 a a
0 0 0a ，再将a 的整数部分加上a 的小数部分的倒数得到a ，以此类推可得到a ，a ，……，a ．如❑√3的整数
1 1 1 2 3 4 n
1 ❑√3+1
部分为1，小数部分为❑√3−1，所以a =1+ =1+ ．根据以上信息，下列说法正确的有
1 ❑√3−1 2
（ ）
9+❑√3 ❑√3−1 3+❑√3
①a = ；②a 的小数部分为 ；③a −a = ；④
3 2 2022 2 20 19 2
1 1 1 47
+ +⋯⋯+ =
；⑤
(a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) 450
2 4 4 6 98 100
a +a +a +⋯⋯+a =1230+30❑√3．
1 2 3 40
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据定义找到a 的规律，再逐个判断即可．
n
1 ❑√3+1 ❑√3+3 ❑√3−1
【详解】解：由题意得，a =1+ =1+ = ，它的整数部分为2，小数部分为 ；
1 ❑√3−1 2 2 2
2
a =2+ =2+❑√3+1=❑√3+3，它的整数部分为4，小数部分为❑√3−1；
2 ❑√3−1
1 ❑√3+1 ❑√3+9 ❑√3−1
a =4+ =4+ = ，它的整数部分为5，小数部分为 ；
3 ❑√3−1 2 2 2
2
a =5+ =5+❑√3+1=❑√3+6，它的整数部分为7，小数部分为❑√3−1；
4 ❑√3−1
1 ❑√3+1 ❑√3+15 ❑√3−1
a =7+ =7+ = ，它的整数部分为8，小数部分为 ；
5 ❑√3−1 2 2 2
2
a =8+ =8+❑√3+1=❑√3+9，它的整数部分为10，小数部分为❑√3−1；
6 ❑√3−1
❑√3+3n n−1 3n+1 ❑√3−1
∴n为奇数时，a = ，它的整数部分为2+3× = ，小数部分为 ；
n 2 2 2 2
3 n−2 3n+2
n为偶数时，a =❑√3+ n，它的整数部分为4+3× = ，小数部分为❑√3−1；
n 2 2 2
9+❑√3
∴①a = ，正确；
3 2
②a 的小数部分为❑√3−1，错误；
202257+❑√3 3+❑√3
③a −a =❑√3+30− = ，正确；
20 19 2 2
1 1 1
④
+ +⋯⋯+
(a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3)
2 4 4 6 98 100
1 1 1
= + +⋯⋯+
3×6 6×9 49×3×50×3
1 ( 1 ) 49
= × 1− = ，错误；
9 50 450
⑤a +a +a +⋯⋯+a
1 2 3 40
=(a +a +⋯+a )+(a +a ⋯+a )
1 3 39 2 4 40
(❑√3+3 ❑√3+6 ❑√3+127)
= + +⋯++ +(❑√3+3+❑√3+6⋯+❑√3+60)
2 2 2
=(10❑√3+600)+(20❑√3+630) =30❑√3+1230，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是
解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级·江苏南通·期中）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值
为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将
2m+❑√2mn+n=2变形为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，配方得到(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，根据
(❑√2m−❑√n) 2 ≥0得到2−3❑√2mn≥0，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，∴2m+❑√2mn+n=2可化为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，
∴(❑√2m) 2 −2❑√2mn+(❑√n) 2=2−3❑√2mn，
即(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，
∵(❑√2m−❑√n) 2 ≥0，
∴2−3❑√2mn≥0，
❑√2
∴❑√mn≤ ，
3
❑√2
∴❑√mn的最大值为 ．
3
故选：B
【题型2 勾股定理】
【例2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，△ABC的角平分线AF,BE相交于点P，若
AP
AB=AC=13,BC=10，则 的值为（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据AB=AC=13,BC=10
，AF平分∠BAC，利用勾股定理求出AF，如图，过点P作PD⊥AB交AB于点D，证明
Rt△BPD≌Rt△BPF(HL)，得到BD=BF=5，AD=AB−BD=8，设PD=x，则AP=12−x，利用勾
股定理求出AP,PD，即可求出结果．
【详解】解：∵ AB=AC=13,BC=10，AF平分∠BAC，1
∴∠BAF=∠CAF,AF⊥BC,BF=CF= BC=5，
2
∴∠AFB=90°，
∴AF=❑√AB2−BF2=12，
如图，过点P作PD⊥AB交AB于点D，
∵ △ABC AF,BE PD⊥AB AF⊥BC
的角平分线 相交于点P， ， ，
∴PF=PD，
∵ BP=BP，
∴Rt△BPD≌Rt△BPF(HL)，
∴BD=BF=5，AD=AB−BD=8，
设PD=x，则AP=12−x，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，
∴(12−x) 2=82+x2，
10
解得：x= ，
3
10 26
∴PD=PF= ,AP= ，
3 3
26
AP 3 13
∴ = = ，
PF 10 5
3
故选：A．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b
5
．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD= BD．连接
6
AF,DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）4 6 5
A．a= b B．a= b C．a= b D．a=❑√2b
3 5 3
【答案】A
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，先根据等腰三角形的性质可得
1 a 1 b 2
EM= AC= ，BN= BD= ，利用勾股定理可得FN= b，再利用三角形的面积公式可得△ABF与
2 2 2 2 3
△CDE的面积之差，然后根据“当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变”建立等式，
化简即可得．
【详解】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，
∵△ACE AC=a
是等腰直角三角形，且 ，
1 a
∴EM= AC= ，
2 2
∵△BDF是等腰三角形，且BD=b，
1 b
∴BN= BD= ，
2 2
5 5
∵FB=FD= BD= b，
6 6
2
∴FN=❑√FB2−BN2= b，
3
1 1
∴△ABF与△CDE的面积之差为 FN⋅AB− EM⋅CD
2 2
1 2 1 a
= × b(AC−BC)− × (BD−BC)
2 3 2 2
1 a
= b(a−BC)− (b−BC)
3 41 (a b)
= ab+ − BC，
12 4 3
∵当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，
a b
∴ − =0，
4 3
4
∴a= b，
3
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
【变式2-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点
D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
7 3 5 14
A． B． C． D．
5 2 3 5
【答案】D
【分析】延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角
三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．
在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10．
∵D为AB的中点，
1
∴AD=BD=DC= AB=5．
21 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CF，
ΔABC 2 2
1 1
∴ ×6×8= ×10×CF，
2 2
24
解得CF= ．
5
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
∴CH⊥AE，
∴AH=HE．
1 1
∵DC=AD，S = AD⋅CF= DC⋅AH，
△ADC 2 2
24
∴HE=CF= ．
5
48
∴AE=2HE= ．
5
根据折叠的性质有：AD=DE，
∴AD=DE=BD，
∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，
又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE为直角三角形．
∴BE=❑√AB2−AE2=❑
√
102−
(48) 2
=
14
．
5 5
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面
积法求高，属于中考常考题型．
【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是
△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:OE:OF=1:4:4，则AO的长度为
（ ）160 80
A．7 B．5 C． D．
17 17
【答案】D
【分析】连接OA，OB，OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x ，OE=4x，证明
Rt△AOF≌Rt△AOE，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合
一及勾股定理求出AD=4，再根据S =S +S −S ，得到方程求解即可．
△ABC △ABO △ACO △BCO
【详解】解：连接OA，OB，OC，如图，
由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x ，OE=4x，
∵OE=OF，AB⊥OF，AC⊥OE，AO=AO，
∴Rt△AOF≌Rt△AOE，即∠OAF=∠OAE，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∵BC⊥OD，
∴A、D、O三点共线，
1
∴BD=CD= BC=3，
2
在Rt△ABD中，AD=❑√AB2−BD2=❑√52−32=4，
∴S =S +S −S
△ABC △ABO △ACO △BCO∴12=10x+10x−3x，
12
∴x= ，
17
12 80
∴AO=AD+DO=4+ = ，
17 17
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的
面积公式是解题的关键．
【题型3 勾股定理的逆定理】
【例3】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块
正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块
（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直
角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大
小，即可解答本题．
【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，❑√2，❑√3，❑√4，❑√5，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是
1
×1×❑√4=1，
2
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是
1 ❑√6
×❑√2×❑√3= ；
2 2当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是
1
×❑√2×❑√2=1，
2
❑√6
∵ ＞1，
2
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
【变式3-1】（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图已知△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，BC边上的中
线AD=12cm，则△ABC的面积为（ ）cm2．
A．30 B．130 C．60 D．120
【答案】C
【分析】根据中线，得到BD=13cm，再根据勾股定理的逆定理，得到△BAD是直角三角形，进而得到
S =30cm2 ，再根据三角形中线得到S =S =30cm2 ，即可求出△ABC的面积．
ABD △ADC △ABD
【详解】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC中点，
∵BC=26cm，
1
∴BD=CD= BC=13cm，
2
∴BD2=169cm2，
∵AB=5cm， AD=12cm，
∴AB2+AD2=25cm2+144cm2=169cm2，
∴BD2=AB2+AD2，
∴∠BAD=90°，
1 1
∴S = AB⋅AD= ×5×12=30cm2 ，
ABD 2 2∵D为BC中点，
∴S =S =30cm2 ，
△ADC △ABD
∴S =S +S =60cm2 ，
△ABC △ABD △ADC
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【变式3-2】（24-25八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°
成△ABC ，则CC 的长等于（ ）
1 1
12 5 5 24
A． B． C． D．
5 12 6 5
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，根据翻转得出AB垂直平分CC ，根据三角形面
1
积公式求出CD，即可求出答案．
【详解】连接CC ，交AB于点D，
1
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵△ABC沿最长边翻转180°成△ABC ，
1
∴AB垂直平分CC ，
1AC⋅BC 12
∴CD= = ，
AB 5
24
∴CC =2CD= ，
1 5
故选∶D．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平
分∠CAB，则△ABD的面积为（ ）
35
A．14 B．15 C．16 D．
2
【答案】B
【分析】过D作DP⊥AB于P，证明 ABC为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出CD=DP，然后
利用等面积法求出DP，即可求得 A△BD的面积．
【详解】解：如图，作DP⊥AB于△P．
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DC=DP，设DC=DP=x，
∵S =S +S ，
△ABC △ACD △ABD
1 1 1
∴ ⋅AC⋅BC= ⋅AC⋅DC+ ⋅AB⋅DP，即AC⋅BC=AC⋅DC+AB⋅DP，
2 2 2
∴6×8=6x+10x，
∴x=3，
1 1
∴S = ×AB×DP= ×10×3=15．
△ABD 2 2故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理．能根据角平分线性质和等面积法求出
CD=DE=3是解此题的关键．
【题型4 勾股定理的简单应用】
【例4】（24-25八年级·全国·课后作业）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．
它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D
为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（
）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
【答案】B
【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距
离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定
理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．
【详解】把两地价格看为是两点间的距离，
则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．
∵16002+12002=20002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB是直角，
∵2500＝1600+900，
即AD=AC+CD，
∴A，C，D在一条直线上，
∴∠BCD是直角，
∴BD=❑√BC2+CD2＝❑√12002+9002＝1500，
即B﹣D的机票价格为1500元.
故选B.
【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解
题的关键.
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，
若PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
米A．❑√22 B．❑√23 C．5 D．❑√26
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展
开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常
要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，
∵PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，
∴PG=4米，
∴AG=❑√PA2−PG2=❑√(❑√17) 2 −42=1（米），
∴BG=GA+AB=1+2=3（米），
∴PB=❑√GB2+PG2=❑√32+42=5（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米．
故选：C．
6
【变式4-2】（24-25八年级·全国·课后作业）如图，已知圆柱的底面直径BC= ，高AB=3，小虫在圆柱
π
侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）A．18 B．48 C．120 D．72
【答案】D
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求
解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A，C的最短距离为线段AC的长.
6
∵已知圆柱的底面直径BC= ，
π
6
∴AD=π⋅ ÷2=3，
π
在RtΔADC中，∠ADC=90° ，CD=AB=3，
∴AC2=AD2+CD2=18，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为(2AC) 2=4 AC2=72.
故选D.
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
【变式4-3】（24-25八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为12cm的长方
体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）A．13cm B．❑√241cm C．❑√193cm D．19cm
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理−最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定
理求解即可，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
【详解】解：如图1:
AB=❑√162+32=❑√265cm，
如图2:
AB=❑√152+42=❑√241cm，
如图3:
AB=❑√122+72=❑√193cm，
∵ ❑√265>❑√241>❑√193，
∴它所行的最短路线的长是❑√193cm，
故选：C．【类型二 填空压轴题】
【题型5 根据二次根式性质求值】
1
【例5】（24-25八年级·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，
4
则xy−z的值是 ．
【答案】14
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都
有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于0的形
式，从而可以分别求出x、y、z的值，即可求解．
【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得
x−4❑√x+ y−4❑√y−1+z−4❑√z−2+9=0 ，
∴ (x−4❑√x+4)+(y−1−4❑√y−1+4)+(z−2−4❑√z−2+4)=0 ，
∴ (❑√x−2) 2+(❑√y−1−2) 2+(❑√z−2−2) 2=0，
∴ ❑√x−2=0 ，❑√y−1−2=0，❑√z−2−2=0，
∴ ❑√x=2，❑√y−1=2，❑√z−2=2，
∴x=4 y−1=4 z−2=4
∴x=4 y=5 z=6
∴xy−z=20−6=14．
故答案为：14．
【变式5-1】（24-25八年级·浙江宁波·开学考试）已知实数x，y满足
(x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018，则x2+ y2的值为 ．
【答案】4036
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出x−❑√x2−2018和y−❑√y2−2018 ．然后再求
出x−y和y−x．两式子相加，即可得出❑√y2−2018+❑√x2−2018=0，然后利用二次根式的非负性质可得
出y2−2018=0，x2−2018=0，即可得出x2和y2，然后代入计算即可．
【详解】解： (x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018
∵2018
2018(y+❑√y2−2018)
x−❑√x2−2018= = = y+❑√y2−2018
y−❑√y2−2018 y2−(y2−2018)
∴ ①
同理可得出y−❑√y2−2018=x+❑√x2−2018 ，
②
x−y=❑√x2−2018+❑√y2−2018
∴ ①
y−x=❑√y2−2018+❑√x2−2018 ，
②
由 + 得：2(❑√y2−2018+❑√x2−2018)=0，
① ②
❑√y2−2018+❑√x2−2018=0 ，
∴
❑√y2−2018≥0 ，❑√x2−2018≥0，
∵
y2−2018=0，x2−2018=0，
∴y2=2018，x2=2018，
∴故x2+ y2=2018+2018=4036，
故答案为：4036．
【变式5-2】（24-25八年级·重庆九龙坡·期中）若m是正整数，m除以13的余数为2，则称m是“阿二
数”．例如：15是正整数，15÷13=1......2，则15是“阿二数”；52是正整数，且52÷13=4，则52不
是“阿二数”，对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．
有一个四位正整数p是“阿二数”，p的千位数字比百位数字少1，十位数字与个位数字的和为9，且
√5c+7d
F(p)=❑ 为有理数，则满足条件的p的值为 ．
2a+b
【答案】8972
【分析】根据题意得出p=1100b+9c−991，得出b=9,c=7符合题意，代入F(p)验证即可求解．
【详解】解：依题意，p=1000a+100b+10c+d，a=b−1，c+d=9，
则p=1000(b−1)+100b+10c+9−c
=1100b+9c−991
∵正整数p是“阿二数”
∴1100b+9c−991−2=84b×13+8b+9c−76×13−5能被13整除
∴8b+9c−5能被13整除，设8b+9c−5=13k
13k+1−8b
∵c= 是正整数，则13k+1−8b是9的倍数，
9
∴b=9,c=7符合题意，
√5c+7d √5c+7(9−c) √63−2c
∵F(p)=❑ =❑ =❑ 是有理数
2a+b b+2(b−1) 3b−2
63−2c
∴ 是平方数，
3b−2
63−2c 49
当c=7，b=9时， = 符合题意，
3b−2 25
∴a=b−1=8,d=9−7=2
则p=8972
故答案为：8972．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二元一次方程组的应用，根据题意分析，掌握整除的应用解题
的关键．
【变式5-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）已知正实数a，b，c满足a+b+c=6，则
❑√a2+18+❑√b2+32+❑√c2+50的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查二次根式的最值问题，勾股定理，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是
解决问题的关键．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即Rt△ABC，Rt△CDE，
Rt△EFG，则由勾股定理可知AC=❑√AB2+BC2，即AC=❑√a2+18，同理可得：CE=❑√b2+32，
EG=❑√c2+50，进而得到❑√a2+18+❑√b2+32+❑√c2+50=AC+CE+EG，可知当A，C，E，G四点共线
时，AC+CE+EG最小，即为AG长，根据勾股定理求出AG，即可求解．
【详解】解：构造图示的三个直角三角形，即Rt△ABC，Rt△CDE，Rt△EFG，
满足AB=a，CD=b，EF=c，BC=3❑√2，DE=4❑√2，FG=5❑√2，
则由勾股定理可知AC=❑√AB2+BC2，即AC=❑√a2+18，
同理可得CE=❑√b2+32，EG=❑√c2+50，
∴ ❑√a2+18+❑√b2+32+❑√c2+50=AC+CE+EG，
即可知当A，C，E，G四点共线时，AC+CE+EG最小，即最小值为AG的长，
当A，C，E，G四点共线时AO=a+b+c=6，OG=3❑√2+4❑√2+5❑√2=12❑√2．
∴在Rt△AOG中，AG=❑√AO2+OG2=❑√62+(12❑√2) 2=18．
故答案为：18．
【题型6 利用勾股定理解决面积问题】
【例6】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，AB=1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为
边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．
5
【答案】
4
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用．
向两端延长AB，交EM于点P，交GN于点Q，过点C作CO⊥AB于点O，证明△APE≌△COA(AAS)，
得到S =S ，AP=CO，同理得到S =S ，BQ=CO，从而S =S +S
△APE △COA △GBQ △BCO 阴影 梯形EMKA 梯形BHNG1 5
=S +S +S = AB⋅OC+AK⋅AP+BH⋅BQ = OC．设BC=a，AC=b，则
△ABC 长方形APMK 长方形BHNQ 2 2
a2+b2 1 1
a2+b2=1，根据完全平方公式可得ab≤ = ，再根据△ABC的面积得到OC=ab≤ ，即可解答．
2 2 2
【详解】解：向两端延长AB，交EM于点P，交GN于点Q，过点C作CO⊥AB于点O，
由题意可得，AE=AC，BC=BG，∠APE=∠BQG=90°，AK=BH=AB=1，
∠EAC=∠CBG=90°，
∵∠PAE+∠CAO=180°−∠EAC=90°，
∠PAE+∠PEA=180°−∠APE=90°，
∴∠PEA=∠CAO，
∴在△APE和△COA中
{∠APE=∠COA
)
∠PEA=∠OAC ，
AE=CA
∴△APE≌△COA(AAS)，
∴S =S ，AP=CO，
△APE △COA
同理可证△GBQ≌△BCO，
∴S =S ，BQ=CO，
△GBQ △BCO
∴S =S +S
阴影 梯形EMKA 梯形BHNG
=S +S +S +S
△APE 长方形APMK △GBQ 长方形BHNQ
=S +S +S
△ABC 长方形APMK 长方形BHNQ
1
= AB⋅OC+AK⋅AP+BH⋅BQ
2
1
= ×1⋅OC+1⋅OC+1⋅OC
2
5
= OC
2∴当OC取得最大值时，阴影面积和为最大．
设BC=a，AC=b，
∵在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
∴a2+b2=1，
∵(a−b) 2≥0，即a2+b2−2ab≥0，
a2+b2 1
∴ab≤ =
2 2
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅OC，
△ABC 2 2
1
∴OC=ab≤ ，
2
1
∴OC的最大值为 ，
2
5 5 1 5
此时阴影面积的和最大为 OC= × = ．
2 2 2 4
5
故答案为：
4
【变式6-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，点D、E分别
在AC、BC上，且AD=BE，连接DE，若四边形BADE的面积是5，AB=6，则DE的长为 .
【答案】4
【分析】作DF⊥AB交AB于F，EH⊥AB交 AB于H，DG⊥EH交EH于G，可得四边形 DFHG为
矩形，设EH=a，DF=b，则有EG=EH−DF=a−b，容易证得 △AFD≅△EHB(AAS)，可得
DG=6−a−b，根据S ❑ =5，得到 S +S ❑ +S =5，即有
四边形 BADE △ADE 梯形 DFHE △EHB
1 1 1
ab+ (a+b)(6−a−b)+ ab=5，化简得 a2+b2=6(a+b)−10，根据DE=❑√DG2+EG2
2 2 2
=❑√(6−a−b) 2+(a−b) 2化简后可得结果．【详解】解：如图示，
作DF⊥AB交AB于F，EH⊥AB交 AB于H，DG⊥EH交EH于G，
∴四边形DFHG为矩形，
∴DF=GH，DG=FH，
设EH=a，DF=b，
∴EG=EH−DF=a−b，
在△ABC中，∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°，
在△ADF中，∠AFD=90°
∴∠A+∠ADF=90°，
∴∠B=∠ADF
又∵AD=BE，∠AFD=∠EHB=90°
∴△AFD≅△EHB(AAS)
∴AF=EH=a，DF=BH=b
∴FH=AB−AF−BH=6−a−b
∴DG=FH=6−a−b
∵S ❑ =5，
四边形 BADE
∴S +S ❑ +S =5
△ADE 梯形 DFHE △EHB
1 1 1
即： ab+ (a+b)(6−a−b)+ ab=5
2 2 2
∴a2+b2=6(a+b)−10
Rt△DGE中，
DE=❑√DG2+EG2
=❑√(6−a−b) 2+(a−b) 2=❑√36−12(a+b)+12(a+b)−20
=4
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式6-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，在△ABC中，
∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿
A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t= ， APE的面积等于12．
△
【答案】3或18或22
【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上
运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．
【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√162+122=20，
∵点E是BC的中点，
1
∴CE＝BE= BC＝8cm，
2
1 1 1
S =S = S = × ×12×16=48cm2 ．
△ACE △ABE 2 △ABC 2 2
当点P在线段AC上运动时，
1
∵△APE的面积等于12，即S = S ，
△APE 4 △ACE
1
∴AP= AC=3，
4
∴t=3÷1=3秒；
当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，
1
同理可知BP= BE=2cm，
4∴t=(12+8+2)÷1=22秒；
当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，
1
同理可知CP= CE=2cm，
2
∴t=(12+8−2)÷1=18秒；
故答案为∶3或18或22．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的数学思想，解答
时分类讨论是是关键．
【变式6-3】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， 分别以
AB、BC、AC为边向上作正方形， 已知Rt△ABC的面积为6，则图中阴影部分面积之和是
．
【答案】12
【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得S +S =S ，利用正方形的性质
四边形ABHL 四边形ACMN 四边形BCEG
证明Rt△ABC≌Rt△HBG(HL)和△DBC≌△FCE(ASA)，根据全等三角形的面积相等，从而得出
S =6，S =6，再根据三个正方形面积的关系可得出S +S =6，从而可得阴影面
△HBG 四边形ADEF △FGL 四边形DCMN积之和．
【详解】解：如图，设AC=a，AB=b，BC=c，
Rt△ABC ∠BAC=90° S =6
△ABC
∵在 中， ，
∴a2+b2=c2，
∵四边形BCEG，四边形ABHL和四边形ACMN都是正方形，
∴S =c2 ，S =b2 ，S =a2 ，
四 边 形BCEG 四 边 形ABHL 四 边 形ACMN
∴S +S =S ，
四 边 形ABH四L 边 形ACM四N 边 形BCEG
∵四边形BCEG和四边形ABHL是正方形，
∴BC=BG，BA=BH，∠H=90°，
∴△HBG是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△HBG中，
{BC=BG)
，
BA=BH
∴Rt△ABC≌Rt△HBG(HL)
∴S =S =6，
△HBG △ABC
∵四边形BCEG和四边形ABHL是正方形，
∴BC=CE，∠BCD=∠CEF=90°，
∵∠DBC+∠BCA=90°，∠FCE+∠BCA=90°，
∴∠DBC=∠FCE，
在△DBC和△FCE中，
{∠DBC=∠FCE
)
BC=CE ，
∠BCD=∠CEF
∴△DBC≌△FCE(ASA)，
∴S =S ，
△DBC △FCE
∴S +S =S +S ，
△ABC △ACD △ACD 四 边 形ADEF
∴S =S =6，
四 边 形ADE△FABC∵S +S =S ，
四 边 形ABH四L 边 形ACM四N 边 形BCEG
又∵S =S +S +S =6+S +S ，
四 边 形ABH△LHBG △FGL 四 边 形ABGF △FGL 四 边 形ABGF
S =S +S ，
四 边 形ACM△NACD 四 边 形DCMN
S =S +S +S +S
四 边 形BCE△GABC △ACD 四 边 形ADE四F 边 形ABGF
=6+S +6+S
△ACD 四 边 形ABGF
=12+S +S ，
△ACD 四 边 形ABGF
∴S +S =6，
△FGL 四 边 形DCMN
∴S +S +S =6+6=12，
△HBG △FGL 四 边 形DCMN
∴图中阴影部分面积之和为12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了
等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键．
【题型7 利用勾股定理解决翻折问题】
【例7】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，长方形ABCD中：AB=CD=8，AD=BC=5．点E为射
线AB上的一动点，将△ADE沿DE折叠，得到△A′DE（点A的对应点为A′）并连接A′ A、A′B，当
△A′ AB为等腰三角形，AE的长是 ．
5 20
【答案】8或 或
2 3
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨
论，当A′ A=AB=8、A′ A=A′B和AB=A′B，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：设DE与A′ A交于点O，由折叠知DE是线段A′ A的垂直平分线，AD=A′D=5，AE=A′E
，
1
∴A′ A⊥DE，AO=A′O= A A′ ，
2
当△A′ AB为等腰三角形时，分三种情况讨论，
当A′ A=AB=8时，1
∠AOD=90° AO=A′O= A A′=4
2
， ，
∴OD=❑√52−42=3，
设AE=x，则DE=❑√25+x2，
1 1
∵S = AE×AD= DE×AO，
△ADE 2 2
∴16(25+x2)=25x2，
20 20
解得x=± （舍去负值），即AE= ；
3 3
当A′ A=A′B时，如图，过点A′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，
∴MN=AD=BC=5=A′D，DM=AN，
∵A′ A=A′B，
∴AN=BN=4=DM，
在Rt△A′DM中，由勾股定理得A′M=❑√52−42=3，
∴A′N=5−3=2，
设AE=x，则A′E=x，
在Rt△A′EN中，由勾股定理得x2=(4−x) 2+22，
5 5
解得x= ，即AE= ；
2 2当AB=A′B时，点B在线段A′ A的垂直平分线上，
∵点D、E都在线段A′ A的垂直平分线上，
∴点B、E重合，
此时，AE=8；
5 20
综上，AE的长是8或 或 ，
2 3
5 20
故答案为：8或 或 ．
2 3
【变式7-1】（24-25·浙江宁波·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是
AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE=1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′
重合，B与B′重合，若A′E∥B′F，则BF= ．
【答案】3
【分析】连接CD，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到CD的长，进而得出
△CDE是等腰三角形；再根据平行线的性质得出∠CDB′与∠B′相等，进而得到△CDF是等腰三角形，即
可得出BF的长．
【详解】解：如图所示，连接CD，设∠ADE=∠A′DE=α，∠BDF=∠B′DF=β，
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
Rt△ABC中，D是AB的中点，
1
∴CD= AB=5，
2
又∵CE=AC−AE=6−1=5，
∴CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，即α+∠CD A′=α+∠A，
∴∠CD A′=∠A，
又∵∠A=∠A′，
∴∠CD A′=∠A′，
∴A′E∥CD，
又∵A′E∥B′F，
∴CD∥B′F，
∴∠B′=∠CDB′，
又∵∠B′=∠B，
∴∠CDB′=∠B，
∴∠CDB′+β=∠B+β，即∠CDF=∠CFD，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC−FC=8−5=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运
用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式7-2】（24-25·辽宁铁岭·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A′DE的位置，A′D交AB于点F
，若△BA′F为直角三角形，则AE的长为 ．
6
【答案】1或
5
【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得AB=4，AC=2❑√3，结合题意可得
CD=AD=A′D=❑√3，分两种情况：当∠BF A′=90°时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得
❑√3
∠A=∠EDA=30°，根据等角对等边可得EA=ED，根据直角三角形的性质和勾股定理求得DF= ，
2
3 1
AF= ，EF= AE，即可求出AE=1；当∠BA′F=90°时，作EH⊥BA′交AB′的延长线于H，设
2 2
AE=x，则BE=4−x，根据全等三角形的判定和性质可得BC=BA′=2，结合直角三角形的性质和勾股
1 ❑√3 6
定理求得A′H= x，EH= x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出x= ．
2 2 5
【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，AC=❑√AB2−BC2=2❑√3，
∵点D是AC的中点，
1
∴CD=AD=A′D= AC=❑√3，
2
当∠BF A′=90°时，如图：
∵∠AFD=90°，
∴∠ADF=60°，∴∠EDA=∠EDF=30°，
即∠A=∠EDA=30°，
∴EA=ED，
1 ❑√3 3
在Rt△AFD中，DF= AD= ，AF=❑√AD2−DF2= ，
2 2 2
1 1
在Rt△EFD中，EF= DF= AE，
2 2
1 3
即 AE+AE= ，
2 2
∴AE=1；
当∠BA′F=90°时，作EH⊥BA′交AB′的延长线于H．如图：
设AE=x，则BE=4−x，
∵BD=BD，CD=DA′，
∴Rt△BDC≌Rt△BDA′(HL)，
∴BC=BA′=2，
∵∠DA′E=30°，
∴∠EA′H=60°，
1 1 ❑√3
在Rt△EHA′中，A′H= A′E= x，EH=❑√A′E2−A′H2= x，
2 2 2
在Rt△BEH中，EH2+BH2=BE2，
即 (❑√3 x ) 2 + ( 2+ 1 x ) 2 =(4−x) 2 ，
2 2
6
解得：x= ；
5
6
综上所述，满足条件的AE的值为1或 ．
5
6
故答案为：1或 ．
5【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定
和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键．
【变式7-3】（24-25八年级·广东·专题练习）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上
点A′处，点D的对应点为D′，连接A′D′交边CD于点E，连接CD′，若AB=9，AD=6，A′点为BC的中
点，则线段ED′的长为 ．
9
【答案】
4
【分析】连接N A′，勾股定理求得DN，进而证明△A′D′N≌△NC A′，设EC=a,A′E=b，根据NC=6
，以及Rt△A′EC三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，连接N A′，
∵
折叠
∴DN=D′N，AD=A′D′，∠A′D′N=∠D
∵四边形ABCD是长方形，AB=9，AD=6，
∴DC=AB=9，BC=AD=6，∠D=∠BCD=90°
设DN=x
则NC=DC−DN=9−x
∵ A′是BC的中点，BC=AD=6
1
∴ C A′= BC=3
2在Rt△A′CN中， A′N2=CN2+A′C2
在Rt△A′D′N中，A′N2=N D′2+AD′2
∴ CN2+A′C2 =N D′2+AD′2
即(9−x) 2+32=x2+62
解得x=3
∴ND=N D′=A′C =3，NC=A′D′=6
又∵∠N D′ A′=∠A′CD=90°
∴△A'D'N≌△NC A' (SAS)
∴∠N A′D′=∠A′NC
∴A′E=NE
∵A′D′=CN
∴CE=ED′
设EC=a,A′E=b
在Rt△A′EC中
A′E2−EC2=A′C2
即b2−a2=32①
又CE+EN=CN=6
∴EC+A′E=EC+EN=a+b=6②
由①可得(b+a)(b−a)=9③
3
将②代入③得b−a= ④
2
9
②-④得2a=
2
9
解得a=
4
9
即EC=
4
9
∴ED′=CE=
4
9
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．
【题型8 判断能否构成直角三角形】
【例8】（24-25·河南郑州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC
上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP
的长是 ．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可
得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
1
∴PC= AC=4，
2
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
【变式8-1】（24-25八年级·全国·课后作业）在△ABC 中，若a2+b2=25,a2−b2=7，c=5，则最长边上
的高为 ．
12
【答案】
5
【分析】解方程a2+b2=25,a2−b2=7可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的
面积转化得到斜边上的高.
【详解】解：∵a2+b2=25,a2−b2=7，
将两个方程相加得：2a2=32，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：42+b2=25，
∵b＞0，∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
1 1
S = ⋅AC⋅BC= ⋅AB⋅CD
△ABC 2 2
，
1 1
即： ⋅3⋅4= ⋅5⋅CD，
2 2
12
解得：CD= ，
5
12
故答案为： .
5
【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底
乘对应高等于另一个底乘对应高.
【变式8-2】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，AB=2.5cm，AC=6cm，BC=6.5cm，
∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为D，则线段PD的长度为 cm
．
【答案】1
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得出PE=PD=PF是解题的关键．根据角平分线
的性质得出PE=PD=PF，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接PA，∵∠ABC ∠ACB P P PD⊥BC
与 的角平分线相交于点 ，过点 作 ，
PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PD=PF，
∵△ABC中，AB=2.5cm，AC=6cm，BC=6.5cm，
AB2+AC2=BC2，
∴△BAC是直角三角形，
1
∴S =S +S +S = (AB+BC+AC)·PD，
△ABC △PAB △PBC △PAC 2
1
又∵ S = ×AB×AC=7.5cm2 ，AB+AC+BC=15cm，
△ABC 2
1
∴ ×15×PD=7.5(cm2)，
2
∴PD=1cm，
故答案为：1
【变式8-3】（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，
使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形
中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转
180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端
点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠ MCN相等
的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
【详解】解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，则△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD,CM =CD,∠MCN=∠NCD =45°
，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，
∴MN=ND=n,AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2，
∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【题型9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，
如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在
正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD
上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
cm
【答案】16
【分析】将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD ，过点M在正方形ABCD内部作
MM'⊥BC，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，此时
AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，运用勾股定理求解即可．【详解】
如图，将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD ，过点M在正方形ABCD内部作MM'⊥BC
，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，则四边形MM'NB'是矩形，四边形
PQMM'是平行四边形，
∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，
此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，
∵点M是BC中点，
1
∴CM= BC=4cm，
2
∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'−B'N=5cm，
在Rt△A'M'N中，A'M'=❑√A'N2+M'N2=❑√52+122=13cm，
∴A'M'+PQ=16cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定
理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计
算．
【变式9-1】（24-25八年级·山东滨州·阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到
正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【答案】52cm【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长
时，借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，
则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为x，则易拉罐底面周长是12，高
是20
∴х2=(12×4) 2+202
解得：x=52
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩
形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
【变式9-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一
根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只
蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米．
【答案】2.6
【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出展开图得到最短路径是解题的关键；展开图的对角线长即为所
求，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将木块展开如图所示，则AB=2+2×0.2=2.4米，BC=1米，
∴AC=❑√2.42+12=2.6米，
∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.6米，
故答案为：2.6
【变式9-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
24dm、4dm、2dm，点A和点B是这个三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去
吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 ．
【答案】30dm
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，先将图形平面展开，再由勾股定理根据两
点之间线段最短进行解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为24dm，宽为(2+4)×3=18dm，则蚂蚁沿台阶面
爬行到B点最短路程是此长方形的对角线AB长，
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=242+182=302,
解得：x=30(dm)，
故答案为：30dm．【类型三 解答压轴题】
【题型10 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例10】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，
且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方
法．小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，点E，F在边BD上，且∠EAF=45°，请
写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)EF=BE+DF
(2)EF2=BE2+DF2，理由见解析
【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE(SAS)，得到¿=EF，等量代换即可证明EF=BE+DF；
（2）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知BE′=FD，
AE′=AF，∠D=∠ABE′，∠FAD=∠E′ AB，在Rt△ABD中，AB=AD，可求得∠E′BD=90°，所
以E′B2+BE2=E′E2，证△AEE′≌△AEF(SAS)，利用EE′=FE得到EF2=BE2+DF2．
【详解】（1）解：证明：由旋转可得GB=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAG+∠BAE=45°，
∴∠GAE=∠EAF，
在△AGE和△AFE中，{
AG=AF
)
∠GAE=∠EAF ，
AE=AE
∴△AGE≌△AFE(SAS)，
∴≥=EF，
∵≥=GB+BE=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）猜想：EF2=BE2+DF2，
证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，如图3，
∴BE′=FD AE′=AF ∠D=∠ABE′ ∠FAD=∠E′ AB
， ， ， ，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ABD+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BE2=E′E2，
又∵∠FAE=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠E′ AB+∠BAE=45°，即∠E′ AE=45°，
在△AEE′和△AEF中
{
AE=AE
)
∠E′ AE=∠FAE
AE′=AF
∴△AEE′≌△AEF(SAS)，
∴EE′=FE，
∴EF2=BE2+DF2．
【变式10-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外
作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AC=AE，再证AB=AE，得到∠ABE=∠AEB，然后由三角
形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，再由SAS推出△BAF≌△CAF，得出∠ABF=∠ACF
，由（1）得，∠ABE=∠AEB，从而即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得BF=CF，由三角形外角的性质可得∠CFG=∠EAG=90°，然后由勾股
定理得EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵ ∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=50°+90°=140°，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
180°−∠BAE 180°−140°
∴∠ABE=∠AEB= = =20°；
2 2
（2）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF，
在△BAF和△CAF中，{
AB=AC
)
∠BAF=∠CAF ，
AF=AF
∴△BAF≌△CAF(SAS)，
∴∠ABF=∠ACF，
由（1）得，∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）证明：由（2）得：△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AGF=∠AEB+∠EAG，∠AGF=∠ACF+∠CFG，∠AEB=∠ACF，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴在Rt△CFE中，EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，
∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，
∴EF2+BF2=2AC2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股
定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式10-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=6
，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．
（1）求证：△ECA≌△DCB；
（2）探究AE、AD、AB的数量关系，并证明；
（3）若AE:AD=1:3，求两个三角形重叠部分的面积．
27
【答案】（1）见详解；（2）AD2+AE2=AB2；（3） ．
2
【分析】（1）由题意，先得到∠BCD=∠ACE，然后由SAS，即可证明结论成立；（2）由（1）得BD=AE，∠BDC=∠AEC=∠ADC=45°，则∠ADB=90°，再由勾股定理，即可得
到答案；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到BO:AO=1:3，再利用面积
3
公式，得到S = •S ，即可求出答案．
ΔAOC 1+3 ΔACB
【详解】解：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACO=∠DCE−∠ACO，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵CA=CB=6，CE=CD，
∴△ECA≌△DCB；
（2）由（1）△ECA≌△DCB，
∴∠BDC=∠AEC，BD=AE，
∵∠AEC=∠ADC=45°，
∴∠BDC=∠AEC=∠ADC=45°，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD2+AE2=AB2；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，
∵BD=AE，AE:AD=1:3，
∴BD:AD=1:3，
∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，
∴OM=ON，∴S :S =BD:AD=1:3，
ΔBOD ΔAOD
(1 ) (1 )
∵S :S = BO·ℎ : AO·ℎ =1:3，
ΔBOD ΔAOD 2 2
∴BO:AO=1:3，
3
∴S = •S ，
ΔAOC 1+3 ΔACB
1 1
∵S = AC•BC= ×6×6=18，
ΔAOC 2 2
3 27
∴S = ×18= ．
ΔAOC 4 2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定
理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
【变式10-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，
∠BAC=∠DAE=α，AB=AC，AD=AE．
(1)如图1，当α=90°时，连接EC，写出DB，DC，DE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当α=60°时，过点A作DE的垂线并延长，交BC于点F，若BC=10，BD=2，求线段CF的
长．
【答案】(1)DB2+DC2=DE2，理由见详解
10
(2)
3
【分析】（1）依题意得△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，则∠B=∠ACB=45°，证△ABD和
△ACE全等得DB=CE，∠B=∠ACE=45°，则∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，然后在Rt△DCE中
由勾股定理可得出DB，DC，DE之间的数量关系；
（2）连接CE，FE，过断E作EG⊥BC交BC的延长线于G，依题意得△ABC和△ADE均为等边三角
形，则∠B=∠ACB=60°，同理可证△ABD和△ACE全等得DB=CE=2，∠B=∠ACE=60°，则
∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，进而得∠ECG=60°，∠CEG=30°，由此可求出CG=1，EG=❑√3
，设CF=x，则FG=x+1，DF=8−x，根据等边三角形性质得AF是线段DE的垂直平分线，则EF=DF=8−x，然后在Rt△FEG中由勾股定理求出x即可得CF的长．
【详解】（1）解：DB，DC，DE之间的数量关系是：DB2+DC2=DE2，理由如下：
当α=90°时，则∠BAC=∠DAE=α=90°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴DB=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+DC2=DE2，
即DB2+DC2=DE2；
（2）解：连接CE，FE，过E作EG⊥BC交BC的延长线于G，如下图所示：
当α=60°时，∠BAC=∠DAE=α=60°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴DB=CE=2，∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，
∴∠ECG=180°−∠BCE=180°−120°=60°，
∵EG⊥BC∴∠CEG=30°，
在Rt△CEG中，CE=2，∠CEG=30°，
1
∴CG= CE=1，由勾股定理得：EG=❑√CE2−CG2=❑√3，
2
设CF=x，则FG=CF+CG=x+1，
∵BC=10，BD=2，
∴DC=BC−BD=8，
∴DF=DC−CF=8−x，
∵△ADE为等边三角形，AF⊥DE，
∴AF是线段DE的垂直平分线，
∴EF=DF=8−x，
在Rt△FEG中，由勾股定理得：EF2=FG2+EG2，
即(8−x) 2=(x+1) 2+(❑√3) 2 ，
10
解得：x= ，
3
10
∴CF=x= ．
3
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握
全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
【题型11 利用勾股定理在网格中作图】
【例11】（24-25八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称
为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．
(1)在图1中．点A、B都是格点，则AB的长度是______；
(2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以AB为腰的等腰△ABC；(3)在图2中，△ABC是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使BD平分∠ABC不写画法，保
留画图痕迹
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可；
（3）在BC的延长线上取格点E，使BE=AB=5，连接AE，取AE的中点D，连接BD，BD即为所求．
【详解】（1）解：由勾股定理得，AB=❑√32+42=5．
故答案为：5；
（2）解：如图，等腰△ABC即为所求(答案不唯一)
（3）解：如图，BD即为所求．
【变式11-1】（24-25八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个
面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸
中每个小方格的边长为1）【思考尝试】（1）如图（1），线段AB的长为6，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并
直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）
【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝
隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．
【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为a、b的两个正方形ABCD和BEFG摆放到一起，剪一剪，并
把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．
【答案】（1）❑√26，❑√2；（2）图见解析，边长为❑√5；（3）见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键．
（1）线段AB为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长；
（2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为❑√22+12=❑√5的大正方形，如图（2）②；
（3）将两个正方形分割为1个边长为(a−b)的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图，△ABC即为所作，
1
S = ×6×1=3 AC=❑√52+12=❑√26 BC=❑√12+12=❑√2
△ABC 2
， ， ，
故答案为：❑√26，❑√2；
（2）拼成的大正方形的面积是5，边长为❑√22+12=❑√5；
剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示：
（3）拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为❑√a2+b2；剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示：
．
【变式11-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫
做格点，△ABC三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示．
(1)如图1中，点P是线段AB上一点，先画出△ABC的高BN；再在BC上画出一点E，使BE=BP．
(2)如图2中，先在边AC上画出一点Q，使∠ABQ=45°；再在△ABC内画出一点O，使OA=OB=OC．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）取格点N，连接BN，BN即为△ABC的高，连接CP交BN于点O，作射线AO交BC于点E
，点E即为所求；
（2）取点N、D、E、G、H，连接BD，GE，BD交AC于Q，交GE于点F，连接HF交BN于点O，则点
O即为所求．
【详解】（1）解：如图，BN，点E即为所求；理由如下：如图，
∵AT=CS=1，TN=SN，∠ATN=∠CSN=90°，
∴△ATN≌△CSN(SAS)，
∴AN=SN，
∵AB=❑√32+42=5=BC，
∴BN⊥AC，∠ABO=∠CBO，
∴BN是△ABC的高，
∵∠ABO=∠CBO，BO=BO，AB=BC，
∴△ABO≌△CBO（SAS），
∴∠BAE=∠BCP，
∵∠ABE=∠CBP，AB=BC，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE=BP；（2）解：如图，点O，点Q即为所求．
理由如下：连接OA、OC，
同（1）可证AH=BH，由（1）得AN=CN，BN⊥AC，
∴OA=OC，
∵AB2+AD2=32+42+32+42=50，BD2=72+12=50，
∴AB2+AD2=BD2，AB=BD，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB，
∴∠ABQ=45°，
∵BG∥DE，
∴∠FGB=∠FED，∠FBG=∠FDE，
∵BG=DE=1，
∴△FGB≌△FED(ASA)，
∴BF=DF，
∵∠BAD=90°1
∴AF⊥BD，AF=BF=DF= BD,
2
∵BH=AH，
∴FH⊥AB，
∴FH垂直平分AB，
∴OA=OB=OC．
【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角
形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式11-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格
点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
25
【答案】见解析；S=10；S= ；S=12
2
【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
1 1
∴S= BC×BD= ×4×5=10；
2 2
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC=❑√32+42=5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB=❑√32+42=5，
1 1 25
∴S= BA×BC= ×5×5 = ；
2 2 2
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC=❑√32+42=5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，1
∴S= ×4×6=12；
2
【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间
的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
【题型12 勾股定理的应用】
【例12】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受
到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆
心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市
的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为5.6h，则台风中心的移动速度是多少？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析
(2)台风中心的移动速度是25km/h
【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程
速度时间的关系，是解题的关键．
（1）作AD⊥BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，求出BC长，由面积关系求得AD的长，即可求解；
（2）以点A为圆心以250km为半径画弧交BC于点E，F，AE=AF=250，可知台风在EF段移动时A受
到影响，根据勾股定理求出EF的长，即可计算台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：作AD⊥BC于点D，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°；
∵AB=400，AC=300，
∴BC=❑√AB2+AC2=500；
1 1
∵S = BC⋅AD= AB⋅AC，
△ABC 2 2AB·AC
∴AD= =240<250，
BC
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：以点A为圆心以250km为半径画弧交BC于点E，F，
则AE=AF=250，
∴台风在EF段上移动时A受到影响，
∵AD⊥BC，
1
∴DE=DF= EF，
2
∵DE=❑√AE2−AD2=70，
∴EF=2DE=140，
140
∴台风中心的移动速度v= =25．
5.6
故台风中心的移动速度是25km/h．
【变式12-1】（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱
的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【答案】(1)A
(2)20
(3)8❑√37
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
根据勾股定理计算即可；
1
（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三角形的斜边长
4
的4倍．
【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长12，圆柱的高AB=8，
∴该长度最短的金属丝的长为2AC=2❑
√
82+
(12) 2
=20．
2
（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
1
则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三角形的斜边长的4倍：
44❑
√
122+
(8) 2
=8❑√37．
4
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形
的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾
股定理解决．
【变式12-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂
蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处
所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）13；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是25厘米；（3）蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最
短路程是15厘米
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点
D，连接AB′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得：BC=5，AC=(1+3)×3=12，
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13，
故答案为：13；（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
1
由题意得：AC= ×48=24cm，BC=7cm，
2
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√242+72=25cm，
∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接
AB′，
1
由题意得：DE= BB'=1cm，AE=10−2=8cm，
2
∴ AD=AE+DE=8+1=9cm，
∵底面周长为24cm，
1
∴ B'D= ×24=12cm，
2
∴ AB'=❑√AD2+B'D2=❑√92+122=15cm，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是AB′=15厘米．【变式12-3】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，
AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面
积之间的关系，可得到勾股定理：
S =
梯形ABCD
______，
S =______，
△EBC
S =______，
四边形AECD
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千
米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81的最小值(0❑√13−❑√12，见解析
【分析】（1）把分子分母都乘以(❑√5+❑√2)，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
1 1
（3）由（1）的方法可得，❑√12−❑√11= ， ❑√13−❑√12= ，根据
❑√12+❑√11 ❑√13+❑√12
1 1
❑√12+❑√11<❑√13+❑√12可得 > ，据此判断即可．
❑√12+❑√11 ❑√13+❑√12
1 (❑√n+1−❑√n)
【详解】解：（1） = =❑√n+1−❑√n；
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
1 1 1 1 1
（2） + + +⋅⋅⋅+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2019+❑√2020 ❑√2020+❑√2021
=(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+⋅⋅⋅+(❑√2020−❑√2019)+(❑√2021−❑√2020)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2020−❑√2019+❑√2021−❑√2020
=❑√2021−1
（3）由（1）的方法可得，
1
❑√12−❑√11=
❑√12+❑√11
1
❑√13−❑√12=
❑√13+❑√12∵❑√12+❑√11<❑√13+❑√12
1 1
∴ >
❑√12+❑√11 ❑√13+❑√12
即，❑√12−❑√11>❑√13−❑√12．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次
根式的乘除运算，再合并即可．
【变式13-1】（24-25八年级·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简
❑√7+4❑√3中发现：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12﹐由于4+3=7，4×3=12，即：(❑√4) 2+(❑√3) 2=7
， ❑√4×❑√3=❑√12，所以❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√ (❑√4) 2+2❑√4×3+(❑√3) 2=( ❑√ (❑√4+❑√3) 2=2+❑√3，
问题：
（1）填空：❑√4+2❑√3=__________，❑√5−2❑√6=____________﹔
（2）进一步研究发现：形如❑√m±2❑√n的化简，只要我们找到两个正数a，b（a>b），使a+b=m，
ab=n，即(❑√a) 2+(❑√b) 2=m，❑√a×❑√b=❑√n﹐那么便有： ❑√m±2❑√n=__________．
（3）化简：❑√4−❑√15（请写出化简过程）
❑√10 ❑√6
【答案】（1）❑√3+1，❑√3-❑√2；（2）❑√a±❑√b(a>b)；（3） -
2 2
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
√15 3 5
（3）将❑√15写成2❑ ，4写成 + ，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
4 2 2
【详解】解：（1）❑√4+2❑√3=❑√3+1+2❑√3=❑√(❑√3+1) 2=❑√3+1；
❑√5-2❑√6 =❑√2+3-2❑√2×3 =❑√(❑√3-❑√2) 2 =❑√3-❑√2；
（2）❑√m±2❑√n=❑√(❑√a) 2+(❑√b) 2 ±2❑√a×❑√b=❑√(❑√a±❑√b) 2=❑√a±❑√b(a>b)；
（3）❑√4−❑√15 =❑
√
4−2❑
√15
=❑
√3
+
5
−2❑
√3
×
5
=❑
√ (❑√10
−
❑√6) 2
=
❑√10
-
❑√6
．
4 2 2 2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．【变式13-2】（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）观察下列各式：
1 1×(❑√2−1)
= =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1 1×(❑√3−❑√2)
= =❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 1×(❑√4−❑√3)
= =❑√4−❑√3．
❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)
回答下列问题：
1
(1) =______；
❑√6+❑√5
1
(2)当n为正整数时， = ______；
❑√n+❑√n−1
1 1 1 1 1
(3)计算1+ + + +⋯+ + 的值．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【答案】(1)❑√6−❑√5
(2)❑√n−❑√n−1
(3)10
【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求
解．
本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在
的关系和规律．
1
【详解】（1）
❑√6+❑√5
❑√6−❑√5
=
(❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)
❑√6−❑√5
=
6−5
=❑√6−❑√5．
故答案为：❑√6−❑√51
（2）
❑√n+❑√n−1
❑√n−❑√n−1
=
(❑√n+❑√n−1)(❑√n−❑√n−1)
❑√n−❑√n−1
=
n−(n−1)
=❑√n−❑√n−1．
故答案为：❑√n−❑√n−1
1 1 1 1 1
（3）1+ + + +⋯+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
1 1 1 1 1
= + +⋯+ + + +1
❑√99+❑√100 ❑√98+❑√99 ❑√3+❑√4 ❑√2+❑√3 1+❑√2
=❑√100−❑√99+❑√99−❑√98+⋯+❑√4−❑√3+❑√3−❑√2+❑√2−1+1
=❑√100
=10．
【变式13-3】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到
最后的结果．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
(1)计算： ⋅ =____， + =____
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m是正整数，a= ,b= ,且2a2+1955ab+2b2=2023，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√19−x2=2，求❑√15+x2+❑√19−x2的值．
【答案】(1)1；10
(2)1
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简a,b，从而求出a+b= 4m+2,ab=1，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
2(a+b) 2+1951ab=2023
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【详解】（1）解： ⋅
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(❑√3+❑√2) 2 (❑√3−❑√2) 2
= ⋅
(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
=(❑√3+❑√2) 2 ⋅(❑√3−❑√2) 2
2
=[(❑√3+❑√2)⋅(❑√3−❑√2))
=1.
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
+
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(❑√3+❑√2) 2 (❑√3−❑√2) 2
= +
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
=(❑√3+❑√2) 2+(❑√3−❑√2) 2
=10.
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a= ,b= ,
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2
∴a= =(❑√m+1−❑√m) 2 ,
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
(❑√m+1+❑√m) 2
b= =(❑√m+1+❑√m) 2 ，
(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)
∴a+b=(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2=4m+2,
ab=(❑√m+1−❑√m) 2 (❑√m+1+❑√m) 2=[(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)] 2=(m+1−m) =1,
∵2a2+1955ab+2b2=2023,
∴2(a+b) 2+1951ab=2023,∴(a+b) 2=36,
∴a>0,b>0,
∴a+b=6,
∴4m+2=6,
∴m=1；
（3）∵❑√15+x2−❑√19−x2=2,
2
∴(❑√15+x2−❑√19−x2) =4，
∴15+x2−2❑√15+x2 ⋅❑√19−x2+19−x2=4，
∴❑√15+x2 ⋅❑√19−x2=15，
2
∴(❑√15+x2+❑√19−x2)
2
=(❑√15+x2−❑√19−x2) +4❑√15+x2 ⋅❑√19−x2
=4+4×15
=64，
∵❑√15+x2≥0,❑√19−x2≥0，
∴．
