文档内容
2024-2025 学年八年级（下）第一次月考数学试卷（培优卷）
【人教版】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
❑√x+1
1．(3分)（24-25八年级·山东菏泽·期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x
A．x≥−1 B．x≥−1且x≠0 C．x>−1且x≠0 D．x≤−1
2．(3分)（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角
形是直角三角形，若正方形A、B的边长分别是5，3，则最大正方形的面积是（ ）
A．8 B．34 C．❑√8 D．❑√34
3．(3分)（24-25八年级·重庆丰都·期末）估计❑√8(❑√3−❑√2)的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
4．(3分)（24-25八年级·山东济南·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不
符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10
5．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·期末）若 ，把√−4a3化成最简二次根式为（ ）
a>0 ❑
b2a 2a 2a
A． ❑√−ab B．− ❑√ab C．−2ab❑√−ab D．− ❑√−ab
b b b
6．(3分)（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．
帐篷一边AC=❑√3，绳长AD=2，AD与地面的夹角∠D=45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为
（ ）
A．❑√2 B．❑√2−1 C．❑√3−❑√2 D．2−❑√3
7．(3分)（24-25八年级·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混
合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计
算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
8．(3分)（24-25八年级·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的．若AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，
得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．4+4❑√15 B．8+4❑√17 C．4+4❑√17 D．8+4❑√15
9．(3分)（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如
，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在
(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令 （n为非负数），则
A =❑√n
n
(A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n ；
m n m n
1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n．
= = =
A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n
m n
下列选项中正确的有（ ）个．
2
①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√6+2；
6 a
b c
②若 − =4❑√3+4（其中b、c为有理数），则b=3c；
A −A A +A
4 3 3 4
1 1 1 1 ❑√2023
③ + + +⋯+ =1− ．
2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023
1 2 2 3 3 4 2022 2023
A．0 B．1 C．2 D．3
10．(3分)（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H
是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG
，∠ECG=2∠GBC，AE=5❑√2，AG=4❑√2，则CF的长为（ ）
A．9❑√2 B．8❑√2 C．7❑√2 D．9
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（24-25八年级·江西抚州·期末）若y=❑√x−2+❑√2−x+1，求xy的值是 ．
12．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，根据图中标注在点A所表示的数为 ．
13．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我
们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值
A+B+C+D= ．
A B 5❑√2
5 ❑√10 C
❑√2 10 D
14．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的
拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人
员通过测量确定了∠ABC=90°．则这片绿地的面积是 m2．
15．(3分)（24-25八年级·山东淄博·期中）有如下一串二次根式： ； ；
① ❑√52−42 ② ❑√172−82 ③
； ，仿照 ，写出第 个二次根式 ．
❑√372−122 ④ ❑√652−162 ⋯ ①，②，③，④ ⑤
16．(3分)（24-25八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中．点D是AC边上的一点．连接BD并延长到
点E，使得BE=BA．若DA=DC=DB=5，AB=8，BC=6，则AE的长为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．(6分)（24-25八年级·四川眉山·期末）计算：
(1)❑√48÷❑√3−❑
√1
×❑√12+❑√24+(❑√2+❑√3) 2
2❑√3+❑√6
(2)❑√18−(❑√3−2)(❑√3+2)− +❑√ (1−❑√2) 2
❑√3
18．(6分)（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤
离底座的垂直高度DE=5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF=7cm，且与摆锤在最低
点时的水平距离为BC=10cm，求钟摆AD的长度．
19．(6分)（24-25八年级·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称
a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与❑√3是关于4的因子二次根式，则a=________________；
(2)若❑√3−1与m−❑√3是关于2的因子二次根式，求m的值．
20．(8分)（24-25八年级·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示
意图，测得支架AC=24cm，BC=18cm，两轮中心之间的距离AB=30cm．
(1)求点C到AB的距离；
(2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得AB所在的直线为x轴，点C在y轴上，请求A，B，C三
点的坐标．
21．(8分)（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格
的顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形，
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为❑√10、2❑√5、❑√10
22．(9分)（24-25八年级·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图
形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从
而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且 ，求 的最小值．通过分析，小明想到
m+n=4 ❑√m2+1+❑√n2+4
了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=4，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段
AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．
①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出 的最小值是 ；
❑√m2+1+❑√n2+4
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是 ；
❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且 ，试运用构图法，画出图形，并写出 的
a+b+c=1 ❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√a2+c2
最小值；
②若a，b为正数，写出以 ， ， 为边的三角形的面积是 ．
❑√a2+b2 ❑√4a2+4b2 ❑√9a2+b2
23．(9分)（24-25八年级·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2若设 （其中 、 、 、 均为整数），则有 ，
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2 a b m n a=m2+2n2
b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解
决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
a+b❑√7=(m+n❑√7) 2 a b m n m n a b a=
______，b=______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
a+6❑√3=(m+n❑√3) 2 a m n a
(3)化简下列各式：
①❑√5+2❑√6
②❑√7−2❑√10
③ ．
❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5
24．（10分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体
木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
25．(10分)（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，若动
点M从点C出发，沿着△ABC的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t
秒．(1)当t＝ 时，BM平分∠ABC；
(2)求t为何值时，△BCM为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，
当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？
