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第一次月考押题培优卷（2）
（考试范围：第十六-十七章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．
【详解】解：A． 与 不能合并，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项正确 ，符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的
乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
2．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
【答案】C
【分析】先将代数式 变形为 ，再代入即可求解．
【详解】解： ．
故选：C
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的
值直接代入计算．3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1
【答案】A
【分析】先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化
简即可
【详解】由数轴可知0＜a＜1，
所以， ＝1，选A．
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a的大小
4．下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法
则计算即可．
【详解】解：A、 ，
故选项A错误；
B、
，
故选项B错误；
C、，
故选项C错误；
D、
，
故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运
算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
5．已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为 ，若点A在数轴上表示的数时
，则点B表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点B表示的数为x，由A、B两点之间的距离为4 ，根据两点间的距离
公式列出方程|x-3 |=4 ，解方程即可．
【详解】设点B表示的数为x，由题意，
得|x-3 |=4 ，
则x-3 =4 ，或x-3 = -4 ，所以x=7 或- ．
故选C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．
6．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC
沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利
用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在
Rt DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【△详解】解：∵△ACD与 AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，△∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=△10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得△x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt DEB
的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． △
7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋
MN的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．9
【答案】C
【分析】要使DN＋MN最小,首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对
角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最
小值及时BM的长．
【详解】根据题意，连接BN，BM，
三点共线时，DN＋MN取得最小值，
则BM就是DN＋MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，
根据勾股定理得： ，
即DN＋MN的最小值是10，
故选C
【点睛】本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关
键．
8．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则 的度
数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC
的度数 ．
【详解】解：如图，连结AC，
由题意可得：
∴AC=BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
故选：A ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形
的性质是解题关键．
9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 沿着AD翻折，
得到 ，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若 ， ，
， 的面积为2，则点F到BC的距离为( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距
离为h，根据 •BD•h＝ •BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S ADG＝S AEG＝2，
△ △
∴S ADE＝4，
△
由翻折可知， ADB≌ ADE，BE⊥AD，
∴S ABD＝S ADE＝4，∠BFD＝90°，
△ △
∴ (AF+DF)BF＝4，
∴ (3+DF)2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝ ＝ ＝ ，
设点F到BD的距离为h，
则 •BD•h＝ •BF•DF，
∴h＝ ，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A．10 B．15 C．30 D．50
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知
=25，因此可知 =25×2=50.
故选D.
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理列出直角三角形三
边关系的式子，然后化简代换即可.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．当x______时， 在实数范围内有意义
【答案】
【分析】式子中主要有二次根式和分式两部分，根据二次根式的非负性和分母不为0
列出不等式解出即可.
【详解】由题知 ，解得 ，则x的取值范围为 .
【点睛】本题是对式子有意义的考查，熟练掌握二次根式的非负性和分母不为0是解
决本题的关键.
12．已知 ， ，则 的值为__________.
【答案】
【分析】由 ， ，计算可得a+b=4，ab=1，再把 因式分解可
得ab（a+b），整体代入求值即可.
【详解】∵ ， ，
∴a+b=4，ab=1
∴ =ab（a+b）=4.
故答案为4.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确把 进行因式分解是解决问题的关
键.
13．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计
中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．
【答案】96
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S ＝SRt ABC−SRt ACD，利用三角形的面积公式计算即可求
阴影
△ △
解．
【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
S ＝SRt△ABC SRt△ACD
阴影 −
＝ ×10×24− ×8×6
＝96．
故答案为：96．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据
勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
14．已知1＜x＜2， ，则 的值是_____．
【答案】-2
【详解】∵x+ =7，∴x-1+ =6，∴（x-1）-2+ =4，
即 =4，
又∵1＜x＜2,
∴ =-2，
故答案为-2.
【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据
所求的式子对已知的式子进行变形.
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4 ，AC=4，点D是AB的中点，点E是边
BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，
若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．【答案】 2 或4##4或2
【分析】当△ 为直角三角形时，需要分类讨论，点 ， ， 分别为直角顶点
时，画出图形求解即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，点 是 的中点，
， ， ，
由折叠可知， ，
∴
①由点运动可知点 不可能是直角顶点；
②如图，当点 为直角顶点，即 ，
，
， ，
， ，
；
③如图，当点 是直角顶点时，即 ，连接 ，
在 △ 中，∴ △ ，
，
故答案为： 或4．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图， 圆柱形容器中，高为 底面周长为 在容器内壁离容器底部 的
点 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 与蚊子相对的点
处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___ (容器厚度忽略不计)．
【答案】15
【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最
短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥BC交
BC的延长线于D，则四边形A′ECD为矩形，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距
离．
∵高为8cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点 处有一蚊子，此时
一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝12cm，BD＝BC+CD＝BC+EA′＝8－2＋3＝9cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝ cm，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和
勾股定理进行计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
17．计算
(1) ×
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先进行二次根式的乘除法运算，然后将所得二次根式化为最简即可；
（2）分别进行零指数幂、二次根式的化简、负指数幂的运算，然后合并即可．
【详解】（1）解： ×
（2）解：【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂和负指数幂，熟练化简二次根式
后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接
让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
18．已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算出a+b和a-b的值，再把原式分解为（a+b）（a-b），然后利用
整体代入的方法计算；
（2）先计算出ab的值，再结合（1）计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代
入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算
要与加减运算区分，避免互相干扰．
19．在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(2，0)．四边形AOBC的第四个顶点C在第
一象限，AC＝1， ．（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；
（2）求∠OAC的度数及四边形AOBC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）135°，
【分析】（1）利用数形结合的思想证明 ，分别以 为圆心， 为半径
作弧，两弧在第一象限交于点 ，连接 ,由此即可解决问题；
（2）证明 即可求出 ，利用 即可
计算出．
【详解】解：（1）如图，分别以 为圆心， 为半径作弧，两弧在第一象限交于
点 ，连接 ,四边形AOBC即为所求．
（2）∵AC＝1，BC＝3，
，
∴AC2+AB2＝BC3，
∴∠CAB＝90°，
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，∴∠OAC＝135°，
∴S AOBC＝S AOB+S ABC＝ ．
四边形
△ △
【点睛】本题考查作图能力、坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是：利
用分割为规则图形的思想求解不规则图形的面积．
20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，
由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建
一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米，
千米， 千米．
(1)问 是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2.5米
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得 是直角三角形，然后根据点到直
线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列方程求得x
即可．
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ 是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）（2）设 ，则 ，
∵在 中，
∴ ，即 ，解得 ，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答
本题的关键．21．如图，等腰 是某小区的一块空地， ，开发商准备将其修建成一个
小区居民娱乐中心，在 上取一点D，连接 区域修建为儿童乐园，
区域修建为中老年棋牌室，经测量， 米， 米， 米，求中老年棋
牌室（即 ）的面积．
【答案】中老年棋牌室（即 ）的面积为84平方米
【分析】由勾股定理的逆定理先证明 是直角三角形，且 ，则
是直角三角形，且 ．设 米，则 米，
在 中，由 求得 米，即可得到答案．
【详解】解：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ 是直角三角形，且 ．
设 米，则 米，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 米，
∴ （平方米）．
∴中老年棋牌室（即 ）的面积为84平方米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明 是直角三角形是解题的
关键 ．
22．在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数 时， ；结论②：对于任意实数 ， ．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
(1)若 ，化简： ．
(2)若 ， ，且 ，求 的值．
(3)若 有意义，化简 ．
【答案】(1)5-2m
(2)±12
(3)2m-3
【分析】（1）先根据二次根式性质化简，再根据绝对值意义化简即可；
（2）先根据二次根式性质和绝对值意义求得a=±4，b=±8，再根据ab>0，求得a=4，
b=8或a=-4，b=-8，即可代入求解；
（3）先根据二次根式有意义条件求得m≥2，再化简二次根式与绝对值即可求解．
【详解】（1）解：∵m<2，
∴m-2<0，m-3<0，
∴
=|m-2|+|m-3|
=2-m+3-m
=5-2m；
（2）解：∵ ，
∴|a|=4,
∴a=±4，
∵|b|=8，
∴b=±8，
∵ ，
∴a=4，b=8或a=-4，b=-8，
当a=4，b=8时，则a+b=4+8=12，
当a=-4，b=-8时，则a+b=-4-8=-12，
∴a+b=±12；（3）解：∵ 有意义
∴m-2≥0,
∴m≥2，
∴1-m<0，
∴A=m-2+m-1
=2m-3．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式性质，二次根式的意义的条件，绝对值化简，
熟练掌握相关性质是解题的关键．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 、 ；
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)45°
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为 的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知条件画出所求三角形即可；
（3）连接AC，说明△ACB是等腰直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图1，正方形ABCD即为所求．（2）解：如图2，△DEF即为所求．
（3）解：如图3，连接AC．
∵AC ，BC ，AB＝2 ，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°
∵AC＝CB，
∴∠ABC＝45°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积、直角三角形的
判定的应用，灵活利用勾股定理逆定理成为解答本题的关键．
24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数 对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，
以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ．
(1)请写出一个大小在 之间的无理数：______；
(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数 的点 ；
(3)如图，点 表示 ， ，如果点 表示实数 ，求点 表示的实数；
(4)根据（3）的条件，化简： ．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为 ，则斜边 ，
再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据 ，可得点 所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
（1）
解： ，
，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）
解：如图所示，点 即为所求；∵AM= ，
∴AD=AM= ．
∴点D表示的无理数是 ；
（3）
解： 点 表示 ， ，如果点 表示实数 ，
，
点 表示的实数为 ；
（4）
解：由（3）知： ，
．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的
意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．
25．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，
且使得AB = 4，OB = 3．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若
存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC =
BD．求AC + OD的最小值．【答案】（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）存在点P的坐标为（
， ）或（ ， ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3）
【分析】（1）先求出OA=5，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）分当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时和当∠PBO=90°，
△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时两种情况讨论求解即可；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，可证△HOC≌△OBD得到
OD=HC，则AC+OD=AC+HC，故要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，即当
A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可
知H的坐标为（ ， ），利用两点距离公式求解即可．
【详解】解：（1）∵A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴ ，
∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）如图所示，当∠PBO=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点
B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴OB=OP=3，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠PFO=∠POB=∠OEB=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，∴∠OPF=∠BOE，
在△OPF和△BOE中，
，
∴△OPF≌△BOE（AAS），
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P
作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D
同理可以求出 ， ，
同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS），
∴ ， ，
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
∴综上所述，存在点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）使得△POB是以OB为
腰的等腰直角三角形；（3）如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，
由（2）可知H的坐标为（ ， ），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与
图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形
的性质与判定条件．
