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2024-2025 学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拔尖卷）
【人教版】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·四川宜宾·期末）若 ，化简 的结果是
❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x ❑√(x+1) 2+|x−4)
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
2．（3分）（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，以DE为
折痕将∠A翻折，使点A与点C重合，则BD的长为（ ）
7 25 7
A． B．1 C． D．
8 8 2
3．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式
的值为（ ）
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
4．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，则BD，CD，AD三者
的关系为（ ）
A．BD=CD+AD B．BD+CD=2AD
C．BD2+CD2=2AD2 D．BD2+CD2=AD25．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（
）．
A． B． C． D．
❑√n2−1 ❑√n2−2 ❑√n2−3 ❑√n2−4
√ 2 √5
6．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若❑ +❑ 是整数，则满足条件的有序
m n
数对（m，n）为（ ）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
7．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正
方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形
EF<AB，则点F的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
8．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得
∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=15❑√2米，AB=40米，则BD的长为（ ）A．50 B．40 C．40❑√2 D．40❑√3
9．（3分）（24-25八年级·重庆铜梁·期末）若a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b是可以合并的二次根式，
下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得❑√a+❑√b=❑√18；
②只存在两组a和b使得❑√a+❑√b=❑√75；
③不存在a和b使得❑√a+❑√b=❑√260；
c
④若只存在三组a和b使得❑√a+❑√b=❑√c，则 的值为49或64
a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、
②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9❑√3与7❑√3
，则斜边BC的长为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．16
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
❑√x2−16+❑√16−x2−9
11．（3分）（24-25八年级·四川甘孜·期末）已知x、y满足y= ，则−16 y+4x=
8
．
12．（3分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD
为长方形，AD=8分米，AB=6分米，该管道底面是周长为4分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，
需要走的最短路程是 分米．13．（3分）（24-25八年级·四川成都·阶段练习）若m=❑√7−2，那么2m3+9m2−2m−5的值为 ．
14．（3分）（2024·河南郑州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一
动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长
是 ．
15．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知a+b+c+3=2❑√a+4❑√b−1+2❑√c−2，则a+b+c的值是
．
16．（3分）（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，
使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·福建三明·期中）先化简，再求值： ，其中 ．如图是
a+❑√1−2a+a2 a=1007
小亮和小芳的解答过程．(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值： ，其中 ．
a+2❑√a2−6a+9 a=−2024
18．（6分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
①√ 1 1 1 1 1；
❑1+ + =1+ − =1
12 22 1 1+1 2
②√ 1 1 1 1 1；
❑1+ + =1+ − =1
22 32 2 2+1 6
③√ 1 1 1 1 1 ；
❑1+ + =1+ − =1
32 42 3 3+1 12
(1)根据上面三个等式，请猜想√ 1 1 的结果（直接写出结果）
❑1+ +
42 52
(2)根据上述规律，解答问题：
设 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，求不超过 的最大整数是多少？
m=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + m
12 22 22 32 32 42 20232 20242
19．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点P(3a+1,6a−5)是第一象限
角平分线上的点，点C(0,m)，(m≠0)，点D(n,0)，n≠0，且∠CPD=90°．
(1)以下两个结论：①m+n是一个定值；②m−n是一个定值．其中有且只有一个结论正确，请选出来，并
求出这个定值．(2)求四边形OCPD的面积．
20．（8分）（24-25八年级·云南楚雄·期中）小明家正在装修，电视背景墙ABCD是矩形，其中
BC=❑√27m，AB=❑√8m，中间要镶一个长为2❑√3m，宽为❑√2m的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)矩形ABCD的面积是多少m2？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元/m2，大理石的造价为150元/m2，则整
个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
21．（8分）（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个
喷泉间的距离AB的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM,BM，供水点M在小路AC上，供水点M到
AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离．
22．（9分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1简： 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理
= = = = ❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得
a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知 ，求 的值．
❑√15+x2−❑√26−x2=1 ❑√15+x2+❑√26−x2
23．（9分）（24-25八年级·河南郑州·期中）探究一：如图1，P，Q，M均为正方形．
问题：（1）若图1中的△≝¿为直角三角形，P的面积为3，Q的面积为10，则M的面积为________；
（2）若P的面积为15cm2，Q的面积为45cm2，同时M的面积为60cm2，则△≝¿为________三角形．
探究二：图形变化：
（3）如图2，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么
关系，并说说你的理由；
（4）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为6和8，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上
面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
24．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，∠DAB=∠B=90°，已知AB=AD=a，
AE=BC=b，DE=AC=c，AC⊥DE，试证明a2+b2=c2．
【知识运用】
（2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=23千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为 千
米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求AP的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81
25．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中
线和这边一半的平方差．如图1，在ΔABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于
AO2−BO2的值，可记为AB∇ AC=OA2−BO2
（1）在ΔABC中，若∠ACB=90°，AB∇ AC=81，求AC的值．
（2）如图2，在ΔABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，求AB∇ AC，BA∇ BC的值．
（3）如图3，在ΔABC中，AO是BC边上的中线，S =24，AC=8，AB∇ AC=−64，求BC和AB
ΔABC
的长．
