第19章 一次函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）星期一学校举行升国旗仪式，开始国旗与小旗手的肩同高，
下列图象能反映国旗距离地面高ℎ与升旗时间t关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】国旗距离地面高
ℎ
与升旗时间t关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，时间仍然增
加，得出符合要求的图象即可．
【详解】解：国旗距离地面高
ℎ
与升旗时间t关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，
只有A符合要求，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问
题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
2．（3分）（24-25八年级·广东潮州·期中）如果一个正比例函数y=kx的图象经过不同象限的两点
(−2,m)、(n,2)，那么一定有（ ）
A．m>0，n>0 B．m<0，n<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n>0
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在
象限，从而确定正比例函数y=kx的图象所过的象限，再由(−2,m)、(n,2)两点不在同一个象限即可得到
答案，熟练掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵点(−2,m)的横坐标为−2<0，
∴此点在二、三象限；
∵点(n,2)的纵坐标为2>0，
∴此点在一、二象限，
∴此函数的图象一定经过一、三象限，∴点(−2,m)在第三象限，点(n,2)在第一象限，
∴m<0，n>0，
故选：D．
3．（3分）（24-25八年级·黑龙江大庆·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与y=−kx−k的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据k的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两
者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当k>0时，一次函数y=−kx−k的图象经过第二、三、四象限，正比例函数y=kx的图象经
过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当k<0时，一次函数y=−kx−k的图象经过第一、二、三象限，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象
限，B选项的图象符合要求；
故选：B．
4．（3分）（24-25八年级·山东泰安·期中）已知二元一次方程x+ y=3与3x−y=5有一组公共解，那么
一次函数y=3−x与y=3x−5的图象在直角坐标系内的交点坐标为（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(2,1) D．(−2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系．熟练掌握一次函数与二元一次方程的关系是解题的
关键．
{ x+ y=3 ) {x=2)
联立 ，可求 ，进而可求两条直线的交点坐标．
3x−y=5 y=1
{ x+ y=3 )
【详解】解：联立 ，
3x−y=5
{x=2)
解得， ，
y=1
∴一次函数y=3−x与y=3x−5的图象在直角坐标系内的交点坐标为(2,1)，
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级·广西贺州·期中）已知一次函数y=(3m−7)x−1+m（m为整数）的图象与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小，当0<y<4时，x的取值范围是（ ）．
A．−1<x<0 B．−3<x<1 C．0<x<4 D．1<x<3
【答案】B
【分析】根据一次函数图象的性质，即y=kx+b中k与b的性质先求出m的值，再根据函数图象的增减性
即可求出x的取值范围.
【详解】∵一次函数图象与y轴正半轴相交
∴−1+m>0
∴m>1
∵y随x的增大而减小
∴3m−7<0
7
∴m<
3
7
∴1<m<
3
∵m为整数
∴m=2
∴一次函数解析式为y=−x+1
∴当0<y<4时，x的取值范围是−3<x<1，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，准确求出函数解析式是解决本题的关键.
6．（3分）（24-25八年级·安徽马鞍山·期中）将直线y=kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，
得到直线y=2x，则（ ）
A．k=2，b=−8 B．k=−2，b=2 C．k=1，b=−4 D．k=2，b=4
【答案】A
【分析】根据直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=(k+2)x+b，再向上平移4个单位，变为
y=k(x+2)+b+4，然后结合得到直线y=2x，即可解出k和b的值．
【详解】解：直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=(k+2)x+b，
再向上平移4个单位，变为y=k(x+2)+b+4，
∵得到直线y=2x，
∴k=2，2k+b+4=0，
∴k=2，b=−8，
故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的
关键．
7．（3分）（24-25八年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象
限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A．a<b B．a<3 C．b<3 D．c<−2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点(−2,3)，得出y随x
的增大而增大，则3<b<a，再根据点(c,−1)在直线l上，得出c<−2，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点(−2,3)，
∴y随x的增大而增大．
∵−2<−1<0，
∴3<b<a，
∴A、B、C均错；
∵点(c,−1)在直线l上，
∴c<−2．
故选D．
8．（3分）（24-25·浙江温州·二模）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(2,3)，(3,m)，则下列结
论正确的是（ ）
A．若k>0，则 m>3 B．若 k>0，则 m<0
C．若k<0，则 m>3 D．若k<0，则 m<0
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意得到k=m−3，再
结合一次函数的增减性，分k>0，以及k<0两种情况讨论m的取值并判断，即可解题．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(2,3)，(3,m)，
{2k+b=3)
∴ ，解得k=m−3，
3k+b=m
若k=m−3>0，即m>3时，则y随x的增大而增大，
∵3>2，
∴m>3，
故若k>0，则 m>3；
若k=m−3<0，即m<3时，则y随x的增大而减小，∵3>2，
∴m<3，
若k<0，则m有可能大于0，也可能小于0；
综上所述，若k>0，则 m>3；
故选：A．
9．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1)，点P是第一象限内
1
直线y=− x+2上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积（ ）
2
A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变
【答案】D
【分析】根据点A、B的坐标求出AB所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出S 是定值，AB
△AOB
是定值，P到直线AB的距离是定值，进而得出答案．
【详解】解：连接AB，
∵ A B (2,0) (0,1)
点 、 的坐标分别为 、 ，
∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
{2k+b=0)
∴ ，
b=1
{ k=− 1 )
解得： 2 ，
b=1
1
∴AB所在直线解析式为：y=− x+1，
21 1
将直线AB：y=− x+1向上平移1个单位即可得直线y=− x+2，
2 2
∴两直线平行，
1
∵点P是第一象限内直线y=− x+2上的一个动点，
2
∴P到直线AB的距离是定值，
∵S 是定值，AB是定值，P到直线AB的距离是定值，
△AOB
∴S 是定值，
△APB
∴S +S =S 是定值，
△APB △AOB 四边形OAPB
∴当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积不变．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知
识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．
n 1
10．（3分）（24-25·湖南常德·二模） 已知：直线y= x+ （n为正整数）与两坐标轴围成的三角
n+1 n+1
形面积为S，则S+S +S +…+S （ ）
n 1 2 3 2019
2018 2019 2018 2019
A． B． C． D．
2019 2020 2038 4040
【答案】D
1 1
【分析】依次求出S、S、S，就发现规律：S= × ，然后求其和即可求得答案．注意
1 2 3 n 2 n(n+1)
1 1 1
= − ．
n(n+1) n n+1
1 1
【详解】解：∵当n=1时，直线为y= x+ ，
2 2
1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（-1，0），
2
1 1 1
∴S= ×1× = ；
1 2 2 4
2 1
当n=2时，直线为y= x+ ，
3 3
1 1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（- ，0），
3 21 1 1 1 1
∴S= × × = × ；
2 2 2 3 2 2×(2+1)
3 1
当n=3时，直线为y= x+ ，
4 4
1 1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（- ，0），
4 3
1 1 1 1 1
∴S= × × = × ；
3 2 3 4 2 3×(3+1)
…，
1 1
S= × ，
n 2 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019
∴S+S +S +…+S = ×（1- + − + − +…+ - ）= ×（1- ）=
1 2 3 2019 2 2 2 3 3 4 2019 2020 2 2020 4040
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）已知直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积为4，则
此直线的解析式为 ．
【答案】y=2x+4或y=2x−4
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据平方的定义解方程．
先求出该直线与x轴和y轴的交点坐标，再根据该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，列出方程，根据
平方根的定义求解即可．
【详解】解：把x=0代入得：y=b，
∴该直线与y轴交点坐标为(0,b)，
把y=0代入得：0=2x+b，
b
解得：x=− ，
2
( b )
∴该直线与x轴交点坐标为 − ,0 ，
2
∵该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，
1 | b)
∴ ×|b)× − =4，
2 2
b2
即 =4，
4解得：b=±4，
∴此直线的解析式为y=2x+4或y=2x−4．
故答案为：y=2x+4或y=2x−4．
12．（3分）（24-25八年级·全国·课后作业）一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图像如图所
示，则方程kx+b=0的解为 ．
【答案】x=−2
【分析】结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．
【详解】∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为x=−2，
∴kx+b=0的解为x=−2．
故答案为：x=−2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
13．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交
于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x
于C、D两点，若S =5，则m的值为 ．
△ACD
【答案】❑√10−1或−❑√10−1
|y −y )|m−x )
【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据S = C D A ，利用坐标列式计算即可．
△ACD 2
【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，
∴点A坐标（－1，2），∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．
|y −y )|m−x ) |1−m+2m)|m+1) |m+1)|m+1) (m+1) 2
∴S = C D A = = = =5，
△ACD 2 2 2 2
解得m =❑√10−1,m =−❑√10−1
1 2
故答案为❑√10−1或−❑√10−1．
【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解
决本题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而
行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返
回甲地后停止．已知两车距甲地的距离（km）与所用的时间(h)的关系如图所示．当两车相距80km时，两
车出发了 小时．
【答案】4或14或16
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：①当0≤x≤10时，当
10<x≤14时，当14<x≤24时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决
问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：500÷10=50(km/h)，
50
大客车的速度为：500÷ =30(km/h)．
3
设两车出发xh后两车相距80km．
①当0≤x≤10时，50x−30x=80，解得x=4；
②当10<x≤14时，500−30x=80，解得x=14；③当14<x≤24时，30x+50(x−14)=500+80，解得x=16．
∴当两车相距80km时，两车出发了4小时或14小时或16小时．
故答案为：4或14或16．
15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点
x −x y −y
A(x ,y ),B(x ,y )，如果点M(x,y)满足：x= 1 2, y= 1 2，那么称点M是点A，B的“双减
1 1 2 2 2 2
点”．
（i）若点A(−3,2)，B(a,b)的“双减点”M的坐标是(1,−4)，则点B的坐标是 ；
（ii）若点D(2,−4)，E(3m,−2m−7)的“双减点”是点F，当点F在直线y=x−1的上方时，则m的
取值范围是 ．
3
【答案】 (−5,10) m>−
5
【分析】（1）根据点C是点A、B的“双减点”的定义可求点B坐标；
（2）点D(2,−4)，E(3m,−2m−7)的“双减点”是点F，可表示出点F的坐标，根据点F在直线
y=x−1下方可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点A(−3,2)，B(a,b) “双减点” M的坐标是(1,−4)，
−3−a 2−b
∴ =1， =−4，
2 2
∴a=−5，b=10，
∵点M坐标(−5,10)，
故答案为：(−5,10)；
（2）∵点D(2,−4)，E(3m,−2m−7)的“双减点”是点F，
2−3m −4+2m+7 2−3m 2m+3
∴F( ， )，即F( ， )，
2 2 2 2
∵点F在直线y=x−1上方，
2−3m 2m+3
∴ −1> ，
2 2
3
解得m>− ，
5
3
故答案为：m>− ．
5
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的
坐标是解题的关键．16．（3分）（24-25八年级·江西鹰潭·期末）腰长为4的等腰直角ΔABC放在如图所示的平面直角坐标系
中，点A、C均在y轴上，C(0，2)，∠ACB=90°，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D，
点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方，当S =4时，以PB为直角边作等腰直角ΔBPM，则所有
ΔABP
符合条件的点M的坐标为 ．
【答案】(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0)
【分析】根据等腰直角三角形存在性问题的求解方法，通过分类讨论，借助全等的辅助，即可得解.
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=−2交线段AB于点D，C(0,2)
∴D(−2,4)
∵S =4
ΔABP
1
∴ PD⋅BC=4
2
∴PD=2
∴P(−2,6)
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
1
如下图，作M R⊥PD于R
1
∵PM =PB
1
∠M RP=∠PSB=90°,
1
∠RM P=90°−∠RPM ＝∠SPB
1 1
∴ΔRM P≅ΔSPB(AAS)
1
∴M R=PS=4，RP=BS=2
1
∴M (−6,8)；
1
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
2
同理可得M (2,4)；
2
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
3
同理可得M (−8,4)；
3以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
4
同理可得M (0,0)，
4
∴M的坐标为(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0)，
故答案为：(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0).
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的存在性问题，通过面积法及三角形全等的判定和性质进行求解
是解决本题的关键.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期中）2023年6月20−21日，由深圳市文化广电旅游体育局和大鹏
新区管委会主办的粤港澳大湾区（深圳南澳）海上龙舟赛在深圳大鹏南澳月亮湾举行，参赛队伍有29支．
若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中0≤x≤6）之
间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)甲队划行的速度为 ；当0≤x≤2时，乙队划行的速度为 ；当2<x≤6时，乙队划行的速度为
；
(2)当x= 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
(3)当x= 分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
【答案】(1)200米/分，300米/分，100米/分
(2)4
(3)1，3或5【分析】本题考查函数的图象，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键．
（1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在0≤x≤2时和2<x≤6时的
速度；
（2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可；
（3）结合图象，可知在0≤x≤2和2<x≤6两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情
况，分两种情况讨论即可．
1200
【详解】（1）由图象可知，甲队划行的速度为： =200（米/分）；
6
600
当0≤x≤2时，乙队划行的速度为： =300（米/分）；
2
1000−600
当2<x≤6时，乙队划行的速度为： =100（米/分）；
6−2
（2）设时间为x时，甲、乙两队划行的路程相等，
由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，
∴ 200x=600+100(x−2)，
解得x=4，
即x=4分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
（3）根据甲、乙的函数图象可知，
1）当0≤x≤2，乙比甲快，在x=2时，两者划行的路程相差最大为600−200×2=200，
∴ 在0≤x≤2存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x，
则300x−200x=100，
解得x=1，符合题意；
2）当2<x≤6，由于在x=2时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在x=6时，
两者划行的路程相差为1200−1000=200，
∴ 在2<x≤6存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x，
则[600+100(x−2)]−200x=100或200x−[600+100(x−2)]=100
解得x=3或x=5，符合题意；
综上所述，即当x=1，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
18．（6分）（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过
A(−2,−2),B(1,4)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求一次函数的解析式；
(2)求△DOB的面积；
(3)点P在x轴上，当△CBP的面积为6时，请求出点P的坐标（要求写过程）．
【答案】(1)y=2x+2
(2)1
(3)P(−4,0)或P(2,0)
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和
步骤．
（1）把A(−2,−2),B(1,4)代入y=kx+b(k≠0)，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；
1
（2）先求出点D的坐标，再根据△DOB的面积= OD⋅|x )，即可解答；
2 B
1
（3）设P(t,0)，先求出点C的坐标，再根据△CBP的面积为6，得出 CP⋅|y )=6，求出CP=3，即可
2 B
得出点P的坐标．
【详解】（1）解：把A(−2,−2),B(1,4)代入y=kx+b(k≠0)得：
{−2k+b=−2)
，
k+b=4
{k=2)
解得： ，
b=2
∴一次函数的解析式为y=2x+2；
（2）解：把x=0代入y=2x+2得：y=2，
∴D(0,2)，则OD=2，1 1
∴△DOB的面积= OD⋅|x )= ×2×1=1；
2 B 2
（3）解：设P(t,0)，
把y=0代入y=2x+2得：0=2x+2，
解得：x=−1，
∴C(−1,0)，
∵△CBP的面积为6，
1 1
∴ CP⋅|y )=6，即 CP×4=6，
2 B 2
解得：CP=3，
当点P在点C左边时：t=−1−3=−4，
当点P在点C右边时：t=−1+3=2，
∴P(−4,0)或P(2,0)．
19．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价
160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服
装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装
每件进价减少b元，售价不变，且a−b=4，若最大利润为4000元，求a的值．
【答案】(1)y=20x+3000
(2)当x=75时取最大值4500元
(3)a=8
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系
式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．
【详解】（1）解：y=(210−160)x+(150−120)(100−x)
=20x+3000
（2）解：由题意得：¿，∴60≤x≤75，
∵y=20x+3000中，20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y =20×75+3000=4500(元)．
最大
（3）解：∵a−b=4，
∴b=a−4，
由题意得：y=(210−160−a)x+(150−120+b)(100−x)
=(50−a)x+(30+b)×100−(30+b)x
=(24−2a)x+100a+2600．
∵60≤x≤75，0<a<20，
∴当0<a<12时，24−2a>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y =(24−2a)×75+100a+2600=4000，
最大
∴a=8，符合题意．
当a=12时，y=100×12+2600=3800≠4000， 不合题意．
当12<a<20时，24−2a<0， y随x的增大而减小．
∴当x=60时，y =(24−2a)×60+100a+2600=4000， ∴a=2，不合题意，舍去．
最大
综上，a=8．
20．（8分）（24-25八年级·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =k x+6的图象（
1 1
k 是常数且k ≠0）分别与x轴和y轴交于点B和点A，一次函数y =k x−6的图象（k 是常数且k ≠0）分
1 1 2 2 2 2
别与x轴和y轴交于点E和点C，直线AB与CE交于点D(4,2)．
(1)求k 和k 的值；
1 2
{k x−y +6=0)
(2)不等式k x+6≥k x−6的解集为________；方程组 1 1 的解为________；
1 2 k x−y −6=0
2 23
(3)若点P是直线AB上一点，且S = S ，求点P的坐标．
△BPE 2 △BDE
{k =−1)
【答案】(1) 1
k =2
2
{x=4)
(2)x≤4，
y=2
(3)点P的坐标为(3,3)或(9,−3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题、三角形面
积公式，熟练掌握以上知识点并采用数形结合的思想是解此题的关键．
{4k +6=2)
（1）将点D(4,2)分别代入一次函数y =k x+6和y =k x−6得 1 ，求解即可得出答案；
1 1 2 2 4k −6=2
2
（2）根据两函数的交点坐标为点D(4,2)并结合图象即可得出答案；
1 1
（3）先求出B(6,0)，E(3,0)，求出S = BE⋅y = ×3×2=3，设P(t,−t+6)，得出
△BDE 2 D 2
1 3 3 3 3
S = BE×|y )= |−t+6)，结合S = S ，得出 |−t+6)= ×3，求解即可得出答案．
△BPE 2 P 2 △BPE 2 △BDE 2 2
{4k +6=2)
【详解】（1）解：将点D(4,2)分别代入一次函数y =k x+6和y =k x−6得： 1 ，
1 1 2 2 4k −6=2
2
{k =−1)
解得： 1 ；
k =2
2
（2）解：∵两函数的交点坐标为点D(4,2)，
∴结合图象可得：不等式k x+6≥k x−6的解集为x≤4；方程组
{k
1
x−y
1
+6=0)
的解为
{x=4)
，
1 2 k x−y −6=0 y=2
2 2
{x=4)
故答案为：x≤4， ；
y=2
（3）解：由（1）可得：直线AB的表达式为y =−x+6，直线CD的表达式为y =2x−6，
1 2
在y =−x+6中，令y =0，则−x+6=0，解得x=6，
1 1
∴B(6,0)，
在y =2x−6中，令y =0，则2x−6=0，解得x=3，
2 2∴E(3,0)，
∴BE=6−3=3，
1 1
∴S = BE⋅y = ×3×2=3，
△BDE 2 D 2
∵点P是直线AB上一点，
∴设P(t,−t+6)，
1 3
∴S = BE×|y )= |−t+6)，
△BPE 2 P 2
3
∵S = S ，
△BPE 2 △BDE
1 3 3
∴S = BE×|y )= |−t+6)= ×3，
△BPE 2 P 2 2
解得：t=3或t=9，
∴点P的坐标为(3,3)或(9,−3)．
21．（8分）（24-25·河北石家庄·模拟预测）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑
车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别
保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5 km，下坡的速度比在平路上的速度每
小时多5 km，设小冲出发x h后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关
系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85ℎ，求丙地与甲地之间的路程．
【答案】（1）15km/h，0.1h；（2）y =−10x+6.5(0⩽x⩽0.2)，y =20x−13.5(0.9⩽x⩽1)；
AB EF
（3）1千米
【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km/h求
出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息
的时间=1h-小明上坡所用的时间0.2h-平路上所用的时间-下坡所用的时间；（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：
y =6.5−10x，线段EF所对应的函数关系式为y =4.5+20(x−0.9)，即可解答；
AB EF
（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5−10a=20(a+0.85)−13.5，求出a的值，即
可解答．
【详解】解：（1）小冲骑车上坡的速度为：(6.5−4.5)÷0.2=10km/h，
平路上的速度为：10+5=15km/h；
下坡的速度为：15+5=20km/h，
平路上所用的时间为：2(4.5÷15)=0.6h，
下坡所用的时间为：(6.5−4.5)÷20=0.1h，
所以小冲在乙地休息了：1−0.1−0.6−0.2=0.1h；
（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，
所以线段AB所对应的函数关系式为：y=6.5−10x，
即y =−10x+6.5(0⩽x⩽0.2)．
AB
线段EF所对应的函数关系式为y =4.5+20(x−0.9)．
EF
即y =20x−13.5(0.9⩽x⩽1)；
EF
（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后(a+0.85)小时第二次经过丙地，
6.5−10a=20(a+0.85)−13.5，
1
解得：a= ．
10
1
×10=1（千米）．
10
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，行程问题数量关系的运用，一次函数解析式的确定，一元一次方程
的运用．解决本题的关键是读懂函数图象，求出一次函数的解析式．
22．（8分）（24-25八年级·河南郑州·期中）在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数
图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=2|x−1)−3性质及其应用的部分过程，
请按要求完成下列各小题．
(1)如表是x与y的对应值：
x … −2 −1 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ 3 1 −1 −3 −1 1 a …①a=______；
②若点A(m,c)、B(n,c)都在该函数图象上，则m+n=______；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的两条性质：
①__________________
②__________________
(3)已知函数y =−x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出y ≤ y时x的取值范围______．
1 1
【答案】(1)①3；②2
(2)见详解
(3)x≤−2或x≥2
【分析】（1）①将x=4代入函数y=2|x−1|−3即可求解出a；
②根据表格中数据即可求得结论；
（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；
（3）根据图象，可直接写出不等式的解集．
本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是
解题的关键．用图象解不等式，找到两个图象交点坐标，是解决（3）题的突破口．
【详解】（1）解：①将x=4代入函数y=2|x−1|−3得，
y=2×|4−1|−3=3，
∴a=3，
故答案为：3；②由表格中数据可知：若A(m,c)，B(n,c)为该函数图象上不同的两点，则m+n=2；
故答案为：2；
（2）解：画出函数图象如图，
观察图象可知：当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
（3）解：观察图象可知：y ≤ y时x的取值范围为x≤−2或x≥2
1
故答案为：x≤−2或x≥2
23．（8分）（24-25八年级·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，对于点P(x,y)
给出如下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移|a)个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）
平移|b)个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
(x +x y + y )
【已知A(x ,y )，B(x ,y )，则AB中点坐标为 1 2, 1 2 】
1 1 2 2 2 2
(1)①若A(3,2)，B(1,0)，则AB中点坐标为______；②若M(2,1)，P(2,4)，则点Q的坐标为______
(2)已知M(1,1)，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为(5,5)，点P(x,y)为正方形ABCD
上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点M(a,b)在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则
a的取值范围是______．
【答案】(1)① (2,1) ② (3,3)
(2)t>−1
5 7
(3)①1 ② ≤a≤
6 6
【分析】（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P′的坐标，再由中点坐标公式求出Q的坐
标．
( t )
（2）根据题意可得P′(t+1,2t+1)，再根据“平移中点”的定义，可得Q 1+ ,t+1 ，再由点Q在第一象
2
限，可得到关于t的不等式组，即可求解．
(x y)
（3）①根据“平移中点”的定义，可得Q , ，从而得到Q点形成的正方形边长为1，即可求解；②
2 2
( x y)
根据题意可得Q a+ ,3a+ ，从而得到3≤x≤5，3≤ y≤5，再求出临界值，即可求解．
2 2
【详解】（1）解：①解： ∵ A(3,2),B(1，0)
(3+1 2+0)
∴ AB中点坐标公式为 ， ，即(2，1)
2 2
故答案为：(2，1)
②解：∵ P(2，4)向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到P′(4，5)
(4+2 1+5)
∴ P′(4，5)与M(2，1)的中点坐标为Q ， ，即(3，3)
2 2
故答案为：(3，3)
（2）解：∵点P在直线l：y=3x上，M(1,1)，
∴P′(t+1,2t+1)，
( t )
∴Q 1+ ,t+1 ，
2∵点Q在第一象限，
{ 1+ t >0)
∴ 2 ，
t+1>0
∴t>−1
（3）解：①：当a=b=0时，M(0,0)
∵ P(x,y)
∴ P′(x,y)
(x y)
∴Q ,
2 2
∵ P点在正方形ABCD上
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2
∴Q点形成的正方形边长为1
∴点Q形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：∵点M(a，b)在直线：y=3x上
∴ M(a,3a)
∵点P(x，y)
∴ P′(x+a,y+3a)
( x y)
∴Q a+ ,3a+
2 2
∵正方形的中心是(5,5)，边长为2
∴3≤x≤5，3≤ y≤5，
x
当a+ =3时，x=6−2a，
2
∴3≤6−2a≤5，
3
∴−1≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
2
y
当3a+ =5时，y=10−6a，
2
∴3≤10−6a≤5，
5 7
∴ ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
6 65 7
综上所述： ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
6 6
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐
标公式，数形结合解题是关键．
