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第19章 一次函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）星期一学校举行升国旗仪式，开始国旗与小旗手的肩同高，
下列图象能反映国旗距离地面高ℎ与升旗时间t关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】国旗距离地面高
ℎ
与升旗时间t关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，时间仍然增
加，得出符合要求的图象即可．
【详解】解：国旗距离地面高
ℎ
与升旗时间t关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，
只有A符合要求，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问
题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
2．（3分）（24-25八年级·广东潮州·期中）如果一个正比例函数y=kx的图象经过不同象限的两点
(−2,m)、(n,2)，那么一定有（ ）
A．m>0，n>0 B．m<0，n<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n>0
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在
象限，从而确定正比例函数y=kx的图象所过的象限，再由(−2,m)、(n,2)两点不在同一个象限即可得到
答案，熟练掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵点(−2,m)的横坐标为−2<0，
∴此点在二、三象限；
∵点(n,2)的纵坐标为2>0，
∴此点在一、二象限，
∴此函数的图象一定经过一、三象限，∴点(−2,m)在第三象限，点(n,2)在第一象限，
∴m<0，n>0，
故选：D．
3．（3分）（24-25八年级·黑龙江大庆·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与y=−kx−k的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据k的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两
者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当k>0时，一次函数y=−kx−k的图象经过第二、三、四象限，正比例函数y=kx的图象经
过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当k<0时，一次函数y=−kx−k的图象经过第一、二、三象限，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象
限，B选项的图象符合要求；
故选：B．
4．（3分）（24-25八年级·山东泰安·期中）已知二元一次方程x+ y=3与3x−y=5有一组公共解，那么
一次函数y=3−x与y=3x−5的图象在直角坐标系内的交点坐标为（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(2,1) D．(−2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系．熟练掌握一次函数与二元一次方程的关系是解题的
关键．
{ x+ y=3 ) {x=2)
联立 ，可求 ，进而可求两条直线的交点坐标．
3x−y=5 y=1
{ x+ y=3 )
【详解】解：联立 ，
3x−y=5
{x=2)
解得， ，
y=1
∴一次函数y=3−x与y=3x−5的图象在直角坐标系内的交点坐标为(2,1)，
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级·广西贺州·期中）已知一次函数y=(3m−7)x−1+m（m为整数）的图象与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小，当00
∴m>1
∵y随x的增大而减小
∴3m−7<0
7
∴m<
3
7
∴10，则 m>3 B．若 k>0，则 m<0
C．若k<0，则 m>3 D．若k<0，则 m<0
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意得到k=m−3，再
结合一次函数的增减性，分k>0，以及k<0两种情况讨论m的取值并判断，即可解题．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(2,3)，(3,m)，
{2k+b=3)
∴ ，解得k=m−3，
3k+b=m
若k=m−3>0，即m>3时，则y随x的增大而增大，
∵3>2，
∴m>3，
故若k>0，则 m>3；
若k=m−3<0，即m<3时，则y随x的增大而减小，∵3>2，
∴m<3，
若k<0，则m有可能大于0，也可能小于0；
综上所述，若k>0，则 m>3；
故选：A．
9．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1)，点P是第一象限内
1
直线y=− x+2上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积（ ）
2
A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变
【答案】D
【分析】根据点A、B的坐标求出AB所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出S 是定值，AB
△AOB
是定值，P到直线AB的距离是定值，进而得出答案．
【详解】解：连接AB，
∵ A B (2,0) (0,1)
点 、 的坐标分别为 、 ，
∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
{2k+b=0)
∴ ，
b=1
{ k=− 1 )
解得： 2 ，
b=1
1
∴AB所在直线解析式为：y=− x+1，
21 1
将直线AB：y=− x+1向上平移1个单位即可得直线y=− x+2，
2 2
∴两直线平行，
1
∵点P是第一象限内直线y=− x+2上的一个动点，
2
∴P到直线AB的距离是定值，
∵S 是定值，AB是定值，P到直线AB的距离是定值，
△AOB
∴S 是定值，
△APB
∴S +S =S 是定值，
△APB △AOB 四边形OAPB
∴当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积不变．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知
识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．
n 1
10．（3分）（24-25·湖南常德·二模） 已知：直线y= x+ （n为正整数）与两坐标轴围成的三角
n+1 n+1
形面积为S，则S+S +S +…+S （ ）
n 1 2 3 2019
2018 2019 2018 2019
A． B． C． D．
2019 2020 2038 4040
【答案】D
1 1
【分析】依次求出S、S、S，就发现规律：S= × ，然后求其和即可求得答案．注意
1 2 3 n 2 n(n+1)
1 1 1
= − ．
n(n+1) n n+1
1 1
【详解】解：∵当n=1时，直线为y= x+ ，
2 2
1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（-1，0），
2
1 1 1
∴S= ×1× = ；
1 2 2 4
2 1
当n=2时，直线为y= x+ ，
3 3
1 1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（- ，0），
3 21 1 1 1 1
∴S= × × = × ；
2 2 2 3 2 2×(2+1)
3 1
当n=3时，直线为y= x+ ，
4 4
1 1
∴直线与两坐标轴的交点为（0， ），（- ，0），
4 3
1 1 1 1 1
∴S= × × = × ；
3 2 3 4 2 3×(3+1)
…，
1 1
S= × ，
n 2 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019
∴S+S +S +…+S = ×（1- + − + − +…+ - ）= ×（1- ）=
1 2 3 2019 2 2 2 3 3 4 2019 2020 2 2020 4040
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）已知直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积为4，则
此直线的解析式为 ．
【答案】y=2x+4或y=2x−4
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据平方的定义解方程．
先求出该直线与x轴和y轴的交点坐标，再根据该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，列出方程，根据
平方根的定义求解即可．
【详解】解：把x=0代入得：y=b，
∴该直线与y轴交点坐标为(0,b)，
把y=0代入得：0=2x+b，
b
解得：x=− ，
2
( b )
∴该直线与x轴交点坐标为 − ,0 ，
2
∵该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，
1 | b)
∴ ×|b)× − =4，
2 2
b2
即 =4，
4解得：b=±4，
∴此直线的解析式为y=2x+4或y=2x−4．
故答案为：y=2x+4或y=2x−4．
12．（3分）（24-25八年级·全国·课后作业）一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图像如图所
示，则方程kx+b=0的解为 ．
【答案】x=−2
【分析】结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．
【详解】∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为x=−2，
∴kx+b=0的解为x=−2．
故答案为：x=−2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
13．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交
于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x
于C、D两点，若S =5，则m的值为 ．
△ACD
【答案】❑√10−1或−❑√10−1
|y −y )|m−x )
【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据S = C D A ，利用坐标列式计算即可．
△ACD 2
【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，
∴点A坐标（－1，2），∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．
|y −y )|m−x ) |1−m+2m)|m+1) |m+1)|m+1) (m+1) 2
∴S = C D A = = = =5，
△ACD 2 2 2 2
解得m =❑√10−1,m =−❑√10−1
1 2
故答案为❑√10−1或−❑√10−1．
【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解
决本题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而
行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返
回甲地后停止．已知两车距甲地的距离（km）与所用的时间(h)的关系如图所示．当两车相距80km时，两
车出发了 小时．
【答案】4或14或16
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：①当0≤x≤10时，当
10−
5
【分析】（1）根据点C是点A、B的“双减点”的定义可求点B坐标；
（2）点D(2,−4)，E(3m,−2m−7)的“双减点”是点F，可表示出点F的坐标，根据点F在直线
y=x−1下方可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点A(−3,2)，B(a,b) “双减点” M的坐标是(1,−4)，
−3−a 2−b
∴ =1， =−4，
2 2
∴a=−5，b=10，
∵点M坐标(−5,10)，
故答案为：(−5,10)；
（2）∵点D(2,−4)，E(3m,−2m−7)的“双减点”是点F，
2−3m −4+2m+7 2−3m 2m+3
∴F( ， )，即F( ， )，
2 2 2 2
∵点F在直线y=x−1上方，
2−3m 2m+3
∴ −1> ，
2 2
3
解得m>− ，
5
3
故答案为：m>− ．
5
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的
坐标是解题的关键．16．（3分）（24-25八年级·江西鹰潭·期末）腰长为4的等腰直角ΔABC放在如图所示的平面直角坐标系
中，点A、C均在y轴上，C(0，2)，∠ACB=90°，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D，
点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方，当S =4时，以PB为直角边作等腰直角ΔBPM，则所有
ΔABP
符合条件的点M的坐标为 ．
【答案】(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0)
【分析】根据等腰直角三角形存在性问题的求解方法，通过分类讨论，借助全等的辅助，即可得解.
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=−2交线段AB于点D，C(0,2)
∴D(−2,4)
∵S =4
ΔABP
1
∴ PD⋅BC=4
2
∴PD=2
∴P(−2,6)
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
1
如下图，作M R⊥PD于R
1
∵PM =PB
1
∠M RP=∠PSB=90°,
1
∠RM P=90°−∠RPM ＝∠SPB
1 1
∴ΔRM P≅ΔSPB(AAS)
1
∴M R=PS=4，RP=BS=2
1
∴M (−6,8)；
1
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
2
同理可得M (2,4)；
2
以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
3
同理可得M (−8,4)；
3以PB为直角边作等腰直角ΔBPM
4
同理可得M (0,0)，
4
∴M的坐标为(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0)，
故答案为：(−6,8)或(2,4)或(−8,4)或(0,0).
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的存在性问题，通过面积法及三角形全等的判定和性质进行求解
是解决本题的关键.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期中）2023年6月20−21日，由深圳市文化广电旅游体育局和大鹏
新区管委会主办的粤港澳大湾区（深圳南澳）海上龙舟赛在深圳大鹏南澳月亮湾举行，参赛队伍有29支．
若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中0≤x≤6）之
间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)甲队划行的速度为 ；当0≤x≤2时，乙队划行的速度为 ；当20，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y =20×75+3000=4500(元)．
最大
（3）解：∵a−b=4，
∴b=a−4，
由题意得：y=(210−160−a)x+(150−120+b)(100−x)
=(50−a)x+(30+b)×100−(30+b)x
=(24−2a)x+100a+2600．
∵60≤x≤75，00，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y =(24−2a)×75+100a+2600=4000，
最大
∴a=8，符合题意．
当a=12时，y=100×12+2600=3800≠4000， 不合题意．
当121时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
（3）解：观察图象可知：y ≤ y时x的取值范围为x≤−2或x≥2
1
故答案为：x≤−2或x≥2
23．（8分）（24-25八年级·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，对于点P(x,y)
给出如下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移|a)个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）
平移|b)个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
(x +x y + y )
【已知A(x ,y )，B(x ,y )，则AB中点坐标为 1 2, 1 2 】
1 1 2 2 2 2
(1)①若A(3,2)，B(1,0)，则AB中点坐标为______；②若M(2,1)，P(2,4)，则点Q的坐标为______
(2)已知M(1,1)，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为(5,5)，点P(x,y)为正方形ABCD
上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点M(a,b)在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则
a的取值范围是______．
【答案】(1)① (2,1) ② (3,3)
(2)t>−1
5 7
(3)①1 ② ≤a≤
6 6
【分析】（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P′的坐标，再由中点坐标公式求出Q的坐
标．
( t )
（2）根据题意可得P′(t+1,2t+1)，再根据“平移中点”的定义，可得Q 1+ ,t+1 ，再由点Q在第一象
2
限，可得到关于t的不等式组，即可求解．
(x y)
（3）①根据“平移中点”的定义，可得Q , ，从而得到Q点形成的正方形边长为1，即可求解；②
2 2
( x y)
根据题意可得Q a+ ,3a+ ，从而得到3≤x≤5，3≤ y≤5，再求出临界值，即可求解．
2 2
【详解】（1）解：①解： ∵ A(3,2),B(1，0)
(3+1 2+0)
∴ AB中点坐标公式为 ， ，即(2，1)
2 2
故答案为：(2，1)
②解：∵ P(2，4)向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到P′(4，5)
(4+2 1+5)
∴ P′(4，5)与M(2，1)的中点坐标为Q ， ，即(3，3)
2 2
故答案为：(3，3)
（2）解：∵点P在直线l：y=3x上，M(1,1)，
∴P′(t+1,2t+1)，
( t )
∴Q 1+ ,t+1 ，
2∵点Q在第一象限，
{ 1+ t >0)
∴ 2 ，
t+1>0
∴t>−1
（3）解：①：当a=b=0时，M(0,0)
∵ P(x,y)
∴ P′(x,y)
(x y)
∴Q ,
2 2
∵ P点在正方形ABCD上
∴Q点的运动形成的图形也是正方形
∵正方形ABCD的边长为2
∴Q点形成的正方形边长为1
∴点Q形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：∵点M(a，b)在直线：y=3x上
∴ M(a,3a)
∵点P(x，y)
∴ P′(x+a,y+3a)
( x y)
∴Q a+ ,3a+
2 2
∵正方形的中心是(5,5)，边长为2
∴3≤x≤5，3≤ y≤5，
x
当a+ =3时，x=6−2a，
2
∴3≤6−2a≤5，
3
∴−1≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
2
y
当3a+ =5时，y=10−6a，
2
∴3≤10−6a≤5，
5 7
∴ ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部；
6 65 7
综上所述： ≤a≤ 时，存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部．
6 6
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐
标公式，数形结合解题是关键．
