文档内容
期中易错题压轴题专项复习【24 大题型】
（考试范围：第16~18章）
【人教版】
【易错篇】.....................................................................................................................................................................2
【考点1 二次根式】................................................................................................................................................2
【考点2 根据二次根式的性质化简】....................................................................................................................2
【考点3 二次根式的乘除】....................................................................................................................................2
【考点4 二次根式的加减】....................................................................................................................................3
【考点5 勾股定理与网格】....................................................................................................................................3
【考点6 利用勾股定理求值】................................................................................................................................5
【考点7 赵爽弦图】................................................................................................................................................6
【考点8 勾股定理逆定理的应用】........................................................................................................................8
【考点9 勾股定理的应用】....................................................................................................................................9
【考点10 与平行四边形有关的证明与计算】.....................................................................................................10
【考点11 与矩形有关的证明与计算】..................................................................................................................11
【考点12 与菱形有关的证明与计算】..................................................................................................................12
【考点13 与正方形有关的证明与计算】..............................................................................................................14
【考点14 与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】.................................................................................15
【考点15 与三角形中位线有关的证明与计算】.................................................................................................16
【压轴篇】...................................................................................................................................................................18
【考点16 化简含字母的二次根式】......................................................................................................................18
【考点17 求立体图形的最短路径问题】..............................................................................................................18
【考点18 几何动点问题】......................................................................................................................................19
【考点19 几何最值问题】......................................................................................................................................21
【考点20 几何探究问题】......................................................................................................................................23
【考点21 多结论类问题】......................................................................................................................................25
【考点22 新定义类问题】......................................................................................................................................26
【考点23 规律类问题】..........................................................................................................................................28
【考点24 阅读理解类问题】..................................................................................................................................30【易错篇】
【考点1 二次根式】
【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，❑√28n是整数，则n的最小值是( )
A．0 B．2 C．3 D．7
❑√x−2024
【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围
x
是（ ）
A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024
【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式❑√6−3x的值为 .
【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=❑√2x−1+❑√1−2x+2，那么xy= ．
【考点2 根据二次根式的性质化简】
【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果❑√ (x−2)(x2−4)=(2−x)❑√x+2，那么x的取值范围
．
【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合2❑√(a−3) 2=6−2a的正整数a的所有值的平方和为
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
❑√a2+❑√b2+❑√(a−b) 2= ．
√ 6
【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将x❑− 根号外的因式移到根号内得 ．
x
【考点3 二次根式的乘除】
【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成
纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们
给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值
A+B+C+D= ．A B 5❑√2
5 ❑√10 C
❑√2 10 D
【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算(❑√3+❑√2) 2024 (❑√3−❑√2) 2023的结果为 ．
【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式
√1
❑ ，❑√12，❑√30，❑√x+2，❑√40x2，❑√x2+ y2中最简二次根式是 ．
2
【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了❑√a2=|a)后，数学老师出了一道化简题：
a+❑√(1−a) 2 (a>1)．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=a+1−a=1；
小芳：解：原式=a+|1−a)，
∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，
(1)________的解法是不正确的；
( √b)
(2)化简： ❑√ab−❑ ⋅❑√ab，其中a<0，b<0．
a
【考点4 二次根式的加减】
【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若a=❑√1003+❑√997，b=❑√1001+❑√999，c=2❑√1001，则
a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 ．
【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与❑√12进行合并的二次根式是（ ）
A．❑√3 B．❑√6 C．❑√18 D．❑√24
2
【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知x= ，则代数式x2−2x+3的值为 ．
❑√3−1
√ x √ y
【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知xy=2,x+ y=4，则❑ +❑ = .
y x
【考点5 勾股定理与网格】
【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学
们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹
果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树．
【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给
定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，❑√5，❑√13的三角形；
(2)画一个腰长为❑√10的等腰直角三角形．
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD
的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（ ）
A．45° B．75° C．120° D．135°
【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A
，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【考点6 利用勾股定理求值】
【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折
叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CE的长为（ ）
13 7 25 16
A． B． C． D．
4 2 8 5
【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一
名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中
给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，
∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线
HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．❑√5 D．2
【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所
示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2+CD2=
．【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=❑√61．求：
(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【考点7 赵爽弦图】
【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代
数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在
一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为(b−a)的小正方形组成，即面积表示为：1
4× ab+(b−a) 2=a2+b2，即a2+b2=c2，进而勾股定理得到了验证．
2
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的
面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一
个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂
足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的
“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连
接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（ ）
A．a+b B．a2+b2 C．❑√a+b D．❑√a2+b2
【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC
，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等
的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+4❑√5，则图1中的点C到AB的距离为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长
DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝ ；
S S
（2）如图2，若 四边形AEHN =k，则 四边形FGHK ＝ （用含k的代数式表示）．
S S
四边形BMHP 四边形BCNK
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速
30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定
【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．
其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H
（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线
AC＝ 千米．
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测
得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意
图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm．
(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．
(2)点C到AB的距离是__________cm．
【考点9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之
一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如
图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC
，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支
渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．
(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？
【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生
其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰
好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；（2）求芦苇的长度．
【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位
同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆
轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，
∠BPO=45°．
(1)求AB的距离，（❑√3取1.73）
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？
【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如
图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水
平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【考点10 与平行四边形有关的证明与计算】
【例10】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列
不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AO=OC，OB=OD B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．AB=DC，AD∥BC D．AB=DC，AD=BC
【变式10-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的
任意一点（不与点A重合），连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点F．(1)求证：△APE≌△CPF；
(2)如图2，连接EC、AF，是否有EC∥AF，如不是，请说明理由，如果是，请证明．
【变式10-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D作CB
的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
【变式10-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过
点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=❑√6，求AB的长．
【考点11 与矩形有关的证明与计算】
【例11】（24-25八年级·天津西青·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外
角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)DF与AB之间的关系是什么？请说明理由．
【变式11-1】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC与BD相交于
点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED=3BE，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．3❑√3 D．6
【变式11-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）已知：如图，点P为矩形ABCD的边AD上一点，连接BP，
将矩形ABCD的一部分DPBC沿BP翻折180°得D′PBC′，且点C′落在DA的延长线上．
(1)求证：C′B=C′P；
(2)若BC=10，DC=6，求折痕BP的长．
【变式11-3】（24-25八年级·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点E处，
DE
已知AB=6cm， BC=10cm， 则CF= cm， = ．
AF
【考点12 与菱形有关的证明与计算】
【例12】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分
∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AC=12，BD=16，求OP的长．
【变式12-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板，等腰直角三角板
DEF的一条直角边DE在菱形边AD上，直角顶点E为AD的中点，含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形
ABCD的边AB上．连接AC，若DF=4，则AC的长为（ ）
A．8 B．4❑√2 C．8❑√2 D．4❑√6
【变式12-2】（24-25八年级·广东梅州·期中）如图，矩形ABCD和矩形AECF有公共顶点A 和C，
CD=CE, AE与BC相交于点G，AD与CF相交于点H．
(1)求证：四边形AGCH是菱形．
(2)连接AC,GH，若 AC=10,GH=4,求四边形AGCH的面积．
【变式12-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以
BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=（ ）❑√7 ❑√5+1 5
A． B．❑√3 C． D．
2 2 3
【考点13 与正方形有关的证明与计算】
【例13】（24-25八年级·四川泸州·期中）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直
角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与
∠CBM的平分线BF相交于点F．
(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时，若DE=EF，连接点E与AD边的中点N，请猜想NE与BF的数
量关系，并加以证明．
(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明你的猜想．
【变式13-1】（24-25八年级·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的
中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．60°
【变式13-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边
CD,AD的中点，连接AE,BF，点G,H分别是AE,BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．【变式13-3】（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，
把△DEC沿DE折叠得到△≝¿，延长EF交AB于点G，连接DG．
(1)求证△ADG≌△FDG；
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF，求线段AG的长；
(3)在（2）的条件下求出△BEF的面积．
【考点14 与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】
【例14】（24-25八年级·广东梅州·期中）在正方形ABCD中，AD=2，E，F分别为边DC，CB上的
点，且始终保持DE=CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为（ ）
❑√5
A．❑√5−1 B．❑√5 C． D．❑√2
2
【变式14-1】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC
．若DE=5，AE=8，EC=❑√7，则BC的长度是 ．【变式14-2】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
∠BAD=130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【变式14-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上
的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
(1)证：MN⊥DE；
(2)若∠ABC=75°，∠ACB=40°，连接DM、ME，求∠DME的度数．
【考点15 与三角形中位线有关的证明与计算】
【例15】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边
AB,BC,CD,DA的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是（ ）
A．AC=BD且AB=AD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AC⊥BD
【变式15-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）如图，在菱形ABCD 中，AE⊥BC于点E，
BE=EC,AC=2，则菱形 ABCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．12
【变式15-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，点E为OD的
中点，连接AE并延长至点F使EF=AE，连接FD、FC，试判断四边形OCFD的形状并说明理由．
【变式15-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）【观察与发现】
如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边
形．
同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对
边中点的两条线段EG和HF剪开，将四边形ABCD分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重
合，可以得到，新四边形OLKJ是平行四边形．
【类比与探究】
（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形．
①图3是将△ABC剪开拼成矩形BCH H 的一种方法的一种方法．
2 1
依据图中呈现的操作方法，可知：DE与BC的数量关系为_______；AH与DE的位置关系为_________；
②如图4，请你再设计一种将△ABC剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出
剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图．
【实践与应用】
（2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种
方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形．【压轴篇】
【考点16 化简含字母的二次根式】
❑√−x y2
【例16】（24-25八年级·上海静安·期中）已知xy<0，化简二次根式 的值是（ ）．
y
A．❑√x B．−❑√x C．❑√−x D．−❑√−x
【变式16-1】（24-25八年级·湖北黄石·期中）已知a<0，则二次根式❑√−a2b化简后的结果为（ ）．
A．a❑√b B．a❑√−b C．−a❑√b D．−a❑√−b
√−a
【变式16-2】（24-25八年级·上海·期中）已知a>0，那么❑ 可化简为（ ）
b
1 1 1
A．b❑√−ab B．− ❑√ab C．− ❑√−ab D． ❑√−ab
b b b
m √ n
【变式16-3】（24-25八年级·北京顺义·期末）当m<0时，化简二次根式 ❑ ，结果正确的是（ ）
n m
1 1
A．n❑√mn B．−n❑√mn C． ❑√mn D．− ❑√mn
n n
【考点17 求立体图形的最短路径问题】
【例17】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为
10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点
B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）A．12cm B．2❑√3cm C．6❑√2cm D．10cm
【变式17-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ❑√2cm，沿其相邻三个
面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A
爬行到顶点 B的最短距离为（ ）
A．(❑√2+1)cm B．(❑√2+❑√3)cm C．❑√3cm D．(❑√3+1)cm
【变式17-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，
若PA=❑√13米，AB=2米，点P到AF的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
米
A．5 B．❑√18 C．❑√13 D．3
【变式17-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体
纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【考点18 几何动点问题】
【例18】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一
动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为
（ ）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【变式18-1】（24-25八年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且
AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；
动点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，
设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1)BC= cm；
(2)当t= 秒时，四边形PQBA成为矩形．
(3)当t为多少时，PQ∥CD？
(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【变式18-2】（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC，BD
相交于点O，P为线段OB上一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，交AB延长线于点Q．
(1)求证：AP=PQ；
(2)在P点运动过程中，∠CPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
(3)判断线段DP与线段BQ的数量关系，并证明．
【变式18-3】（24-25八年级·山东日照·期中）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、
DC上运动．【尝试探究】
（1）如图1，当点E、F分别在边BC、DC上运动，∠EAF=45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，
并说明理由；
【模型建立】
（2）如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF=45°时，（1）中的结论是否成立？若成
立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明；
【模型应用】
（3）如图3，已知△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°
角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长．
【考点19 几何最值问题】
【例19】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图1．在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得
到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)当AC⊥BD时，四边形EFGH是_________；
(3)如图2．四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC=6、BD=10．则AD+BC的最小值为________．
【变式19-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为5，面积为15，点E是对角
线AC上的动点（不与点A重合），以AB为对角线作平行四边形AEBF，则EF的最小值为 ．【变式19-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活
动，将边长为❑√3的正方形ABCDD与边长为❑√6的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线
上，AB与AG在同一直线上．连接DG，BE，易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α(15°<α<165°)．
①连接DG，BE，判断DG与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接BG，GE，ED，DB，求四边形BGED面积的最大值．
(2)如下图，分别取BG，GE，ED，DB的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形
MNPQ的形状为______，四边形MNPQ面积的最大值是______．【变式19-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片
使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填
“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【考点20 几何探究问题】
【例20】（24-25八年级·陕西汉中·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的两
条直线EF，GH分别交边AB，CD，AD，BC于点E，F，G，H．
【问题发现】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF，则S =_____S ；
四边形AEOG 正方形ABCD
【问题探究】
1
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且满足S = S ，设AB=a，AD=b，BE=m，
四边形AEOG 4 矩形ABCD
求AG的长（用含a，b，m的代数式表示）；
【问题解决】
（3）如图3，张大伯有一块平行四边形ABCD菜地，且AB=6米，AD=10米，点E处是一口水井，且
BE=2米，EF是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形ABCD菜地的对角线的交点O，张大伯准备再
修建一条经过点O的沟渠GH，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定
点G的位置．【变式20-1】（24-25八年级·广东阳江·期末）【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE
绕点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤180°)点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
(2)若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长．
【变式20-2】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，
AP，AQ分别交边BC，CD于点P，Q．
(1)【感知】如图1，若P是边BC的中点，则线段AP与AQ之间的数量关系是______；
(2)【探究】如图2，若P为边BC上任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)【应用】在如图3所示的菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，在边BC上取一点P，连接AP，
在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=2❑√7时，求线段CQ的长．
【变式20-3】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【问题情景】如图1，在菱形ABCD中，AB=2❑√5，点N为菱形ABCD外部一点，连接AN交对角线BD于点M，且满
足∠AMD+∠ANC=180°．
【初步探究】
（1）求证：AM=MN；
【解决问题】
（2）如图2，连接DN，当AM=❑√13，CN=6时，
①求线段BM的长；
②求∠BDN的度数；
【类比探究】
（3）如图3，在菱形ABCD中，当∠BCD=90°时，AN交CD于点E，连接BE，DN，并延长BE交DN
DM ❑√2
于点F．若 = ，请直接写出线段NF的长____________．
AD 3
【考点21 多结论类问题】
【例21】（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC
，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连接BF．下列五句判
断：①AO=2BO；②EF∥AD；③AG=2BF；④连接DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤
FB=2≥¿．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④【变式21-1】（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动
点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③
1
△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤EF的最小值等于 BD．其中正确结论的序号是
2
．
【变式21-2】（24-25八年级·安徽·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC边的中点，沿DE对折矩形，使点
C落在C′处，折痕为DE，延长DC′交AB于点F，连接BC′并延长交AD于点G，连接CC′．给出以下结
论：①四边形BEDG为平行四边形；②∠EC′C=∠BC′F；③GC′=GD；④C′为BG的中点．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式21-3】（24-25八年级·吉林长春·期末）知图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，AC=8，BD=6，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF
分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①AC平分四边形BEDF的周长；②四边形
AE 7
BEDF是矩形；③BD平分∠PDQ；④当DE⊥AB时， = ．上述结论中，所有正确结论的序号是
ED 24
．【考点22 新定义类问题】
【例22】（24-25八年级·广东梅州·期中）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运
动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定
义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方
形．
(1)操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为18，BC=6，则此完美长方
形的边长FG=_____，面积为_____．
(2)类比探究：
如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为40，BC=8，求完美长
方形AEFG的周长．
(3)拓展延伸：
如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF:EH=3:4，AD=25，求此完美长方形
EFGH的周长与面积．
【变式22-1】（24-25八年级·江苏·期中）定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（m≤n），
m
将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中k= ；若“距离比”k=1，则称点P为
n
这个角的“平衡点”．(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是__________（填序号）
①平行四边形 ②矩形 ③菱形
(2)在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是平行四边形，A(10,0)，对角线AC、OB相交于点P，
PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M、N；
①如图，点C在第一象限，且坐标为(4,3)，求点P关于∠AOC的“距离比”k的值；
②若点P为∠AOC的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．
【变式22-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻
边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应
点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，过点B作
BE⊥AD于点E，作BF⊥DC交DC延长线于点F．
①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长．
②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
【变式22-3】（24-25八年级·广东揭阳·期中）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形
叫做等腰直角四边形．(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长；
②若AC⊥BD，求证：AD=CD；
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD中点，过点P作直线分别交边AD，BC于
点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求四边形DPFC的面积．
【考点23 规律类问题】
【例23】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B
在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2023次，点B的落
点依次为B ，B ，B ，…，则B 的坐标为（ ）
1 2 3 2023
( ❑√3) ( ❑√3)
A．(1349,0) B．(1350,0) C． 1349.5, D． 1350.5,
2 2
【变式23-1】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图
象，点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂线交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点
1 1 1 1 1 1 1 1 1
C 作直线l的垂线，垂足为A ，交x轴于点B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
线，垂足为A ，交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；…；按此规律操作下所得到的正方
3 3 3 3 3 3 3 3
形A B C D 的面积是（ ）
n n n n(9) n (3) n (9) n−1 (3) n−1
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式23-2】（24-25八年级·四川内江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对
角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC B ，使矩形ACC B ∽矩形ADCB；再连接AC ，以对角线
1 1 1 1 1
AC 为边，按逆时针方向作矩形AC C B ，使矩形AC C B ∽矩形ACC B ，⋯，按照此规律作下
1 1 2 2 1 2 2 1 1
去，则边AC ❑ 的长为（ ）
2 023
(❑√5) 2023 (❑√5) 2022 (❑√5) 2021
A．❑√5× B．2× C．❑√5× D．❑√5×22022
2 2 2
【变式23-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A B C D （记为
1 1 1 1
第1个正方形）的顶点A 与原点重合，点D 在x轴上，点C 的坐标为(1,1)，以C 为顶点作等边三角形
1 1 1 1
C A B ，点A 落在x轴上，A B ⊥x轴，再以A B 为边向右侧作正方形A B C D （记为第2个正方
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第2025个正方形的边长为 ．【考点24 阅读理解类问题】
【例24】（24-25八年级·广东惠州·期末）阅读下列材料：
在数学课上，老师要求学生探究如下问题：
(1)【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内有一点P且PA=2，PB=❑√3，PC=1．求∠BPC的度数．
李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角
形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′ A，连接PP′，易得
△P′PB是等边三角形，△PP′ A是直角三角形．请帮李华同学求出∠BPC的度数．
(2)【类比问题】如图3，在正方形ABCD内有一点P且PA=❑√5，BP=❑√2，PC=1．求∠BPC的度数；
(3)【探索问题】如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P且PA=2❑√13，PB=4，PC=2，则∠BPC=
______．
【变式24-1】（2024·北京海淀·一模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，
CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决
（如图2）．请回答：BC+DE的值为 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
【变式24-2】（24-25八年级·山西大同·期中）阅读与思考：
小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明
思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1
如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD= AC．
2
分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得
DE=BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角
1
形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD= AC．
2
证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD=CD
又∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形（①依据：__________）
任务：
(1)①依据为：______________
(2)请补小明的全证明过程；
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想(4)将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，点A、B、D在一直线上，
分别取AC和DE的中点F和G，连接GF．若AB=3，BC=4，BD=BE=1，则GF=______．
【变式24-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG
中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究
PG与PC的位置关系．
(1)请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系，并说明理由；
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一
条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并
加以证明，
(3)将菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如图3，P为DF的中点，此时PG与PC的位置关系和数量
关系分别是什么？直接写出答案．
