文档内容
八年级(下)月考必考题型专项复习(5 月份)【30 大考点】
（考试范围：第16~19章）
【人教版】
【考点1 二次根式的定义】......................................................................................................................................2
【考点2 二次根式的性质与化简】..........................................................................................................................2
【考点3 最简二次根式】..........................................................................................................................................2
【考点4 分母有理化】..............................................................................................................................................2
【考点5 二次根式的运算】......................................................................................................................................3
【考点6 二次根式的应用】......................................................................................................................................4
【考点7 勾股定理】..................................................................................................................................................5
【考点8 勾股定理的证明】......................................................................................................................................5
【考点9 勾股定理的逆定理】..................................................................................................................................7
【考点10 勾股定理的应用】......................................................................................................................................8
【考点11 平行四边形的性质】..................................................................................................................................9
【考点12 三角形的中位线】....................................................................................................................................10
【考点13 平行四边形的判定】................................................................................................................................11
【考点14 平行四边形的判定与性质】....................................................................................................................12
【考点15 直角三角形斜边上的中线】....................................................................................................................13
【考点16 矩形的性质】............................................................................................................................................14
【考点17 矩形的判定】............................................................................................................................................16
【考点18 矩形的判定与性质】................................................................................................................................17
【考点19 菱形的性质】............................................................................................................................................18
【考点20 菱形的判定】............................................................................................................................................19
【考点21 菱形的判定与性质】................................................................................................................................20
【考点22 正方形的性质】........................................................................................................................................21
【考点23 正方形的判定】........................................................................................................................................22
【考点24 正方形的判定与性质】............................................................................................................................24
【考点25 变量与函数】............................................................................................................................................25
【考点26 动点问题的函数图象】............................................................................................................................26
【考点27 一次函数的图象】....................................................................................................................................28
【考点28 一次函数的性质】....................................................................................................................................30
【考点29 一次函数与方程、不等式】....................................................................................................................31
【考点30 一次函数的应用】....................................................................................................................................33【考点1 二次根式的定义】
【例1】（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）下列各式：①❑√y；②❑√a+2；③❑√x2+5；④❑√3a；⑤
❑√y2+6 y+9；⑥❑√3，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（24-25八年级·湖北咸宁·期末）代数式❑√n2+4的最小值为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·江西南昌·期末）已知y=❑√x−5+2❑√5−x+6，则(x−y) 2025= ．
【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·期末）已知实数a满足|2020−a)+❑√a−2021=a，那么a−20202
的值是 ．
【考点2 二次根式的性质与化简】
1 1
【例2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=3，那么 ❑√x3y+ ❑√x y3 的值为
x y
（ ）
A．❑√3 B．±❑√3 C．2❑√3 D．±2❑√3
【变式2-1】（24-25八年级·湖北十堰·期末）已知1，<，≥或≤中的一种）
( 1 1 1 1 )
(3)计算： + + +…+ (❑√2025+1)
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2025+❑√2023
(4)已知❑√2025+x+❑√2023+x=2，求❑√2025+x−❑√2023+x的值．
【变式4-1】（24-25八年级·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（ ）
m−n (m−n)(❑√m+❑√n)
A． = =❑√m+❑√n
❑√m−❑√n (❑√m−❑√n)(❑√m+❑√n)
m−n (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)
B． = =❑√m+❑√n
❑√m−❑√n ❑√m−❑√n
m−n (m−n)(❑√m−❑√n)
C． = =❑√m−❑√n
❑√m+❑√n (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)
m−n (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)
D． = =❑√m−❑√n
❑√m+❑√n ❑√m+❑√n
2
【变式4-2】（24-25八年级·广东东莞·期中）设❑√3的整数部分为a，小数部分为b，则 −a的值为（ ）
b
❑√3 ❑√3−1
A． B． C．2❑√3+1 D．❑√3
2 2
【变式4-3】（24-25八年级·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分
母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达1 1×(❑√2−1)
到化去分母中根号的目的．如： = =❑√2−1，观察此算式规律回答问题，已知
1+❑√2 (❑√2+1)(❑√2−1)
2024
m= ，则m2−2m−2024的值是 ．
❑√2025−1
【考点5 二次根式的运算】
【例5】（24-25八年级·山东济宁·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“9”则输出的结果是（ ）
A．11−6❑√2 B．1 C．11−3❑√2 D．7
a−b a−4❑√ab+4b 1
【变式5-1】（24-25八年级·上海浦东新·期中）先化简，后求值： + ，其中a=
❑√a+❑√b ❑√a−2❑√b 2
，b=2．
【变式5-2】（24-25八年级·四川宜宾·期中）已知a=❑√3+1，b=❑√3−1，则a2+ab+b2= ．
❑√x2−4+❑√8−2x2+12
【变式5-3】（24-25八年级·四川乐山·期中）已知x，y为实数，且满足y= ，求
x+2
√ y √ x
❑ +❑ 的值．
x y
【考点6 二次根式的应用】
【例6】（24-25八年级·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而
闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，记
a+b+c
p= ，则三角形的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，此公式称为“海伦公式”．
2
思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB=7m,AC=5m,BC=8m，你能求出李大爷
这块菜地的面积吗？试试看．【变式6-1】（24-25八年级·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离
估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮
滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d=20m，f =1.2，则肇事汽车
的车速大约是多少？（❑√6≈2.45，结果精确到1km/h）
【变式6-2】（24-25八年级·山东临沂·期中）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻
R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt．已知导线的电阻为
2Ω，2s时间导线产生50J的热量，电流I的值是（ ）
5❑√2 25
A．5 B． C．5❑√2 D．
2 2
【变式6-3】（24-25八年级·全国·专题练习）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵
制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和下落高度ℎ(m)近似满足公式t=❑
√ℎ
（不考
5
虑空气阻力的影响）．
(1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s
（结果保留根号）；
(2)某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度ℎ = m；
(3)资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式
E=mgℎ计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判
断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼
下无防护的行人吗？请说明理由．
【考点7 勾股定理】
【例7】（24-25八年级·河南郑州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1,1,❑√2 B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15
【变式7-1】（24-25八年级·重庆·期中）若一个直角三角形的两直角边的长为3和4，则第三边的长为（
）
A．5或❑√7 B．5 C．❑√7 D．5或❑√6
【变式7-2】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以这个三角形的三
边为边长作正方形，面积分别记为S ，S ，S ，如果S +S −S =16，则阴影部分的面积为（ ）
1 2 3 2 1 3A．6 B．4 C．5 D．8
【变式7-3】（24-25八年级·广东茂名·期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点
B到线段AC的距离为（ ）
7❑√10 7❑√5 5❑√5 3❑√5
A． B． C． D．
5 5 5 10
【考点8 勾股定理的证明】
【例8】（24-25八年级·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与
形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的
发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，
西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们
冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常
见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网
友是 （填写数字序号即可）．
【变式8-1】（24-25八年级·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，大正方形的边长是
❑√41,b−a=1，那么ab= ．
【变式8-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为
a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾
股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当a=3，b=4时，求空白部分的面积．
【变式8-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜
边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，OC=5，求该
飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT
的面积分别为S 、S 、S ，若S +S +S =27，求S ．
1 2 3 1 2 3 2【考点9 勾股定理的逆定理】
【例9】（24-25八年级·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，
B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA的度数是
．
【变式9-1】（24-25八年级·广西来宾·期中）下列选项中的三条长度的线段首尾顺次连接能围成一个直角
三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，6cm D．2cm，4cm，5cm
【变式9-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，D为BC延
长线上一点，BE⊥AD．若CD=6，则BE的长为 ．
【变式9-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图所示，已知AD=CD=2❑√10，BD=2，BC=3BD，则
AB的长为 ．
【考点10 勾股定理的应用】
【例10】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之
一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如
图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC
，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支
渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？
【变式10-1】（24-25八年级·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台
阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知∠C=90°，AC=3m，AB=5m．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，需要购买________m2的地毯才能铺满所有台阶．
【变式10-2】（24-25八年级·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲
船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时
后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
(1)求港口A到海岛B的距离；
(2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果
保留一位小数❑√2=1.414，❑√3=1.732，❑√6=2.45）
【变式10-3】（24-25八年级·河南驻马店·期中）如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高
AD=20cm，点M在CH上．且CM=5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬
行的最短距离是多少?【考点11 平行四边形的性质】
【例11】（24-25八年级·山西临汾·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【变式11-1】（2025·广东潮州·一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点E，
∠ABC的角平分线BF交CD于点F．若AB=11，AD=7，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式11-2】（24-25八年级·广西来宾·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若
AC=6，BD=10，CD=4，则∠BAC= 度．
【变式11-3】（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上运
动，以AB为对角线作平行四边形AEBF，使得边AE在x轴上，点E在A的右侧，且AE=4，连接EF交
AB于点M，当OM⊥EF时，若FA−OA=8，则点A的坐标为（ ）A．(1,0) B．(❑√3,0) C．(2,0) D．(4❑√3,0)
【考点12 三角形的中位线】
【例12】（24-25八年级·浙江衢州·期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且
1
∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于（ ）
2
3 3
A．AB B．AC C． AB D． AC
2 2
【变式12-1】（24-25八年级·江苏南通·期中）如图，AD、BE、CF分别是△ABC三边中线，交于点O
，FM∥BE，EM∥BA．求证：四边形ADCM是平行四边形．
【变式12-2】（24-25八年级·广东珠海·期中）如图，△ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1
个三角形△A B C ，再以△A B C 的三边中点为顶点，组成第2个三角形△A B C ，…，则第n个三角
1 1 1 1 1 1 2 2 2
形的周长为（ ）1 1 2 1
A． B． C． D．
2n−1 2n 2n−2 2n+1
【变式12-3】（24-25八年级·北京·期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE=DF，
连接EF与对角线AC相交于点O．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接CE，G为CE的中点，连接OG．若OG=2，求AE的长．
【考点13 平行四边形的判定】
【例13】（24-25八年级·广东汕头·期中）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，
AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【变式13-1】（24-25八年级·广东汕头·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，
下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD D．AB∥DC，AD=BC
【变式13-2】（24-25八年级·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（
）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个【变式13-3】（24-25八年级·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点
A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为
（1，1）、（4，3）、（6，﹣2），在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶
点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
【考点14 平行四边形的判定与性质】
【例14】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）如图，在四边形ABCD中(AB≠BC),AB∥CD,AB=CD，
连接AC、BD，直线EF经过AC和BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线
于点E、F，下列结论：①BO=OD；②△AOD的周长−△ODC的周长=AD−CD；③AD∥BC；④
图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【变式14-1】（24-25八年级·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°
，AB长为4，射线CD∥AB，点E为射线CD上一点，过点E作EF⊥BC于点F，连接AE，点M为AE
中点，则MF的最小值为 ．
【变式14-2】（24-25八年级·广西来宾·期中）如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、BC的中点，连接
AF，过点C作CD∥FA交EF的延长线于点D，连接BD．(1)求证：CD=AF．
(2)直接写出EF与DF的数量关系．
(3)若∠EFB=90°，EF=1，BF=3，求CD的长．
【变式14-3】（24-25八年级·重庆江津·阶段练习）如图，已知AF∥BD，AC=BD，AE=CF，给出下
面四个结论：①AB=CD;②BE=DF;③S =S ;④S =S ．其中正确的有
四边形ABDC 四边形BDFE △ABE △CDF
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点15 直角三角形斜边上的中线】
【例15】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AC为斜边作Rt△ADC．
使∠ADC=90°，∠CAB+2∠CAD=90°，E、F分别是BC、AC的中点，连接EF、DE、DF，则
DE的长为（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．❑√2 D．2❑√2
【变式15-1】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，线段
DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最
小值（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式15-2】（24-25八年级·湖北宜昌·期中）△ABC中，AD是高，E是AC的中点，且线段DE平分
△ABC的周长，若∠C=32°，则∠B= ．
【变式15-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，
E、F分别是BD、AC的中点．
(1)求证：EF⊥AC；
(2)当AC=24，BD=26，时，求EF的长．
【考点16 矩形的性质】
【例16】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接
PA，PB，PC，PD，得到△PDA，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是
S ，S ，S ，S ，给出如下结论：①S +S =S +S ；②S +S =S +S ；③若S =2S ，则S =2S ；
1 2 3 4 1 4 2 3 2 4 1 3 3 1 4 2
④若S =S ，则S =S ，其中正确结论有（ ）
1 2 3 4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式16-1】（24-25八年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，
DF⊥AE，，垂足为F．
(1)求证：DF=DC．
(2)若AB=3，AF=4，求四边形CDFE的面积．
【变式16-2】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，矩形ABCD中，AD=12，∠DAC=30°，点P、E
分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是_______．
【变式16-2】（24-25八年级·北京朝阳·期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB0)的正方形ABCD中，点E、F分别
是BC、CD的中点，AE与BF交于点G，记四边形CFGE的面积为S，则S的值是（用含a的代数式表
示）（ ）1 4 2
A．a2 B． a2 C． a2 D． a2
5 5 5
【考点23 正方形的判定】
【例23】（24-25八年级·安徽铜陵·期中）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的条件是（ ）
A．AC=BD,AD=CD
B．AD∥BC,∠A=∠C
C．AO=BO=OC=DO,AB=BC
D．AO=CO,BO=DO,AB=BC
【变式23-1】（2025·甘肃金昌·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC=BD
，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 ．
【变式23-2】（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AB=8cm，AD=15cm，BC=21cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出
发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的
运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t=4s时，四边形PQCD为平行四边形
B．当t=5s时，四边形PQCD为菱形
C．当t=6s时，四边形ABQP为矩形D．当t=8s时，四边形ABQP为正方形
【变式23-3】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O
，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO=45°．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若正方形ABCD的面积为32，BF=1，求点F到线段AE的距离．
【考点24 正方形的判定与性质】
【例24】（24-25八年级·海南海口·阶段练习）【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上的一点，过点D作DF⊥CE，过点D作DG⊥DF，过点A作
AG⊥DG，且AG=CF．
【基础探究】
（1）如图1，求证：AD=CD；
【深入探究】
（2）如图2，当E在BA延长线上时，其他条件不变，请写出AH，FH，CF之间的数量关系，并证明；
【拓展迁移】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BH，HD，当E在BA延长线上的位置发生改变时，判断∠BHD的
大小是否发生变化，请说明理由．
【变式24-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
若∠CAD=∠DBC(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
【变式24-2】（24-25八年级·全国·期末）如图，正方形ABCD中，AB=3❑√2，点E是对角线AC上的一
点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG+AE的值；
(3)若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【变式24-3】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一
点，连接DE，BE．
(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG=3❑√2，求正方形DEFG的边长；
(3)若正方形ABCD的边长为4❑√2，连接CG，如图③，直接写出CE+CG的值．
【考点25 变量与函数】
【例25】（24-25八年级·北京门头沟·期末）下列图象中，y是x的函数的是（ ）A． B．
C． D．
❑√x+2
【变式25-1】（24-25·四川遂宁·阶段练习）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−1
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
【变式25-2】（24-25八年级·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00
先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华
离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s(m)和小明所用时间t(min)的关系图，
则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小
明跑步的平均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．
【变式25-3】（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门匀速放水，水池
中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完．
放水时间（min） 1 2 3 4 …
水池中水量（m3） 48 46 44 42 …
【考点26 动点问题的函数图象】
【例26】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，四边形ABCD是菱形，点P以1cm/s的速度从点A出
发，沿着A−B−C的路线运动，同时点Q以相同的速度从点C出发，沿着C−D−A的路线运动，设运动
时间为x(s)，P，Q两点之间的距离为y( cm2)，y与x的函数关系的图象如图2所示，则y的最小值为（ ）
15
A．2❑√3 B．3 C．3❑√3 D．
4
【变式26-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能
大致反映容器中水的深度（ℎ）与注水量（V）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式26-2】（2023·北京丰台·二模）下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离
开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y
与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x
其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式26-3】（24-25八年级·河南南阳·阶段练习）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线
AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数
关系的图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长度为 ．
【考点27 一次函数的图象】
【例27】（24-25八年级·上海·阶段练习）要使函数y=(2m−3)x+(3n+1)的图象经过x、y轴的正半轴，
则m与n的取值范围应为（ ）
3 1 3 1
A．m> ，n>− B．m> ，n<−
2 3 2 3
3 1 3 1
C．m< ，n<− D．m< ，n>−
2 3 2 3
【变式27-1】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）若❑√(m−2) 2=m−2，则一次函数y=(m−2)x+2−m的图
象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式27-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)，当x=3时y=−1，当x=1时
y=1．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连
线作一次函数的图象．
自变量x … 0 …
函数值y＝kx+b … 0 …
(3)该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得
S =2S 若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
△DAB △OAB
❑√3
【变式27-3】（24-25八年级·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线l：y= x，过点A(0,1)作y轴的
3垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，过点B
1 1 1 1
作直线l的垂线交y轴于点A ；……；按此作法继续下去，则点A 的坐标为
2 2025
【考点28 一次函数的性质】
【例28】（24-25八年级·陕西西安·期中）一次函数y=kx+3中，y的值随x值增大而减小，则该函数图象
经过点的坐标可以是（ ）
A．(−1,−2) B．(0,−3) C．(−1,2) D．(1,2)
【变式28-1】（24-25八年级·海南·阶段练习）若点A(x ,−1)，B(x ,1)，C(x ,5)都在一次函数
1 2 3
y=−2x−1的图象上，则x ，x ,x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x 0的解集是x<4；
②当0
