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第 21 章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
【素养目标】
1.掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法.
2.熟练掌握判定平行四边形的五种方法，并会应用它们解决问题.
3.经历探索、猜想、证明的过程，体会归纳、转化的数学思想；学生能感受数学思考过
程中的合理性，数学证明的严谨性；学会用辩证的观点分析事物.
重点：平行四边形判定定理的理解及运用.
难点：根据不同条件能正确选择平行四边形的判定方法.
【情境导入】
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直
铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
思考：为了确保铁轨之间互相平行，工人在铁轨之间加入了什么样的枕木？
想一想：如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行
四边形呢？
【合作探究】
探究点1: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
猜想一：一组对边相等的四边形是平行四边形.
探究：(可提出反例)
猜想二：一组对边平行的四边形是平行四边形.
探究：(可提出反例)
猜想三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
第 1 页同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个平行四边形，然后写出已知和求证的条
件，想一想怎么去证明？
证一证
已知：四边形 ABCD 中，AB = DC，AB∥DC.
求证： 四边形 ABCD 是平行四边形.
知识要点：
平行四边形的判定定理：
几何语言描述：
典例精析
例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.
求证 DE綉BF .
练一练：
1.已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，从
中任选两个，不能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法是 （ ）
A．AB∥CD，AB = CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC = AD
D．AB = CD，BC = AD
2. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，
AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC. 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
E
C
A B D
F
归纳总结：
第 2 页现在你学会了几种平行四边形的判定方法?
边
角
对角线
探究点2: 平行四边形的性质与判定的综合运用
例2 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相
等吗？为什么？ A
F D
B E C
练一练
3. 四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD. 从中任选两个条件，能使四边形
ABCD 为平行四边形的选法有( )
A．3 种 B．4 种
C．5 种 D．6 种
4. 如图，将 ▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点D 落到 AB 边上的点 D′ 处，
折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
l
D E C
A D′ B
归纳总结：
平行四边形判定方法的灵活选择
当堂反馈
第 3 页1.在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边平行且相等
C.两组对边分别平行
D.对角线互相平分
2.在四边形ABCD中，连接对角线AC，已知AB＝CD，现增加一个条件，不能判断该
四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠B＝∠D D.∠BAC＝∠ACD
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，可以添加
的一个条件是 (写出一个即可，不使用图形以外的字母和线段).
第3题图
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，则四边形ABCD
的周长为 .
第4题图
5.如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形.
参考答案
【合作探究】
第 4 页探究点1: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
猜想三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证一证
已知：四边形 ABCD 中，AB = DC，AB∥DC.
求证： 四边形 ABCD 是平行四边形.
证法：如图，连接AC.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SAS）.∴BC＝DA.
又AB＝CD，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
四边形ABCD的两组对边分别平行，它是平行四边形.
典例精析
例1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綉CD.
1 1
又EB＝ AB，DF＝ CD，∴EB綉DF.
2 2
∴四边形EBFD是平行四边形.∴DE綉BF.
练一练：1.C
2. 证明：∵ AB = CD，
∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = BD.
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝BD ，∠A＝∠D， AE＝DF，
∴ △ACE≌△DBF(SAS).
∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.
∴ CE∥BF.
∴ 四边形 BFCE 是平行四边形．
探究点2: 平行四边形的性质与判定的综合运用
例2 解：BF＝CE．理由如下：
∵ DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形 FECD 是平行四边形，
∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE.
∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.
∴ ∠FBD = ∠FDB.
∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.
练一练
3. B
4. 证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，
∵ DE∥AD′，
∴ ∠DEA =∠EAD′，
第 5 页∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′.
∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
∴ DE = AD′.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB = DC，
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
当堂反馈
1. A
2. C
3.AB＝CD(答案不唯一)
4. 18
5.证明：(1)∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB.
又∵AD＝CE，CD＝BE，
∴△ACD≌△CBE(SSS).
(2)∵△ACD≌△CBE，
∴∠ACD＝∠CBE.
∴CD∥BE.
又∵CD＝BE，
∴四边形CBED是平行四边形.
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