文档内容
第 21 章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
【素养目标】
1.理解并掌握用两组对边或两组对角或两条对角线的关系判定平行四边形的方法.
2.灵活运用平行四边形的性质和判定解决实际问题.
3.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维
能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形的判定方法的探究，提高学生解决问
题的能力.
重点：平行四边形的判定方法的探究、运用.
难点：平行四边形的判定定理的灵活应用.
【复习导入】
根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形.除了平行四边形的定义，我
们如何寻找其他的判定方法呢？
平行四边形的性质 逆命题
对边相等
对角相等
对角线互相平分
【合作探究】
探究点1: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
证明猜想1
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图的平行四边形，然后写出已知和求证的
条件，想一想怎么去证明？
证一证：
已知：
求证：
归纳总结：
第 1 页平行四边形的判定定理：
几何语言描述：
例1 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
练一练
1. 如图，在△ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ABD、
等边△ACE、等边△BCF. 试说明四边形 DAEF 是平行四边形.
探究点2: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
已知：四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠D = ∠B.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
归纳总结：
平行四边形的判定定理：
几何语言描述：
典例精析
例3 如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，并且AE＝CF.
第 2 页求证：四边形BFDE是平行四边形.
变式题：如图，AC 是平行四边形 ABCD 的一条对角线，BM⊥AC 于 M，DN⊥AC
于 N，四边形 BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
D C
M
N
A B
当堂反馈
1.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相平分
B.两组对边分别相等
C.对角线互相垂直
D.一组对边平行，一组对角相等
2.在四边形ABCD中，AD∥BC.要判定四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(
)
A.∠A＋∠C＝180°
B.∠B＋∠A＝180°
C.∠A＝∠D
D.∠B＝∠D
3.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠D＝120°，则∠C的度数为( )
A.60° B.70°
C.80° D.90°
4.如图，在四边形ABCD中，如果AC＝10cm，BD＝8cm，那么当AO＝ cm，
BO＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形，理由是 .
5.[教材变式]如图，在四边形 ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∠1＝∠2.求证：四边形
ABCD是平行四边形.
第 3 页书写通关
证明：∵∠1＝∠2，
∴ ∥ .
∵∠BAD＝∠BCD，
∠BAD＝ ＋ ，
∠BCD＝ ＋ ，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴ ∥ .
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：
四边形ABCD是平行四边形.
参考答案
【合作探究】
探究点1: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
第 4 页证一证：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS）.
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.
∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AC = CA，AB = CD，
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴ BC = DA.
又∵ AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
练一练1.
解：∵ △ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴ ∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴ ∠DBF＝∠ABC.
又∵ BD＝BA，BF＝BC，
∴ △ABC≌△DBF(SAS).
∴ AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴ AB＝EF＝AD，
∴ 四边形 DAEF 是平行四边形.
探究点2: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
例3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
又BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形.
变式题：解：四边形 BMDN 是平行四边形．
理由如下：连接 BD 交 AC 于 O．
∵ BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，
∴ ∠AND = ∠CMB = 90°．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD，AO = CO，AD = BC，AD∥BC，
∴∠DAN =∠BCM. ∴△ADN≌△CBM. ∴ AN = CM.
∴ OA－AN = OC－CM，即 ON = OM.
∴ 四边形 BMDN 是平行四边形．
当堂反馈
1. C 2.D 3. A
4. 5 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5. AB CD . ∠1 ∠DAC ，∠2 ∠ACB ， AD BC .
6.证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
第 5 页∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB＝OD.
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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