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第17章 勾股定理压轴题综合测试卷
【人教版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∠BPC=∠APC=135°，则CP=（ ）
A．3 B．❑√10 C．2❑√3 D．4
2．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼
成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
3．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为
AB边上的中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），过点A作AF⊥CE交CE于点F，过点
B作BG⊥CE交CE的延长线于点G．若已知DF的长，则可求出（ ）A．FG的长 B．AF的长 C．CE的长 D．BG的长
4．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于
2
点D，点E在边AB上，AE=BE=BD，DE= ，则AD的长度为（ ）
3
4 3
A．❑√2 B． C． D．❑√3
3 2
5．（3分）（24-25八年级·四川眉山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果
D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
24 27
A． B．5 C． D．6
5 5
6．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有150°的全等
三角形纸片（如图①∠ACB=150°）拼成一个正三角形DEF（如图②），即
△ABC≌△DEG≌△EFM≌△FDN．连接GM，MN，NG，若MN长是2，△≝¿的面积是7❑√3，则
△ABC的面积是（ ）3 4 5
A．❑√3 B． ❑√3 C． ❑√3 D． ❑√3
4 5 6
7．（3分）（2024·天津和平·三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且
1
BD= CD．点E，F分别在边AB, AC上，且∠EDF=90°, M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．
2
若DF//AB，则CM的长为( )
2 3 5
A． ❑√3 B． ❑√3 C． ❑√3 D．❑√3
3 4 6
8．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）把一副三角板如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，
∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D CE （如
1 1
图②），此时AB与CD 交于点O，则线段AD 的长度为（ ）
1 1
A．4 B．❑√5 C．2❑√2 D．❑√13
❑√3
9．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图所示，已知直线y=− x+1与x、y轴交于B、C两
3
点，A(0,0)，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△A A B ，第2个△B A B ，第3个△B A B ，…则第2024个等边三角形的边长等于
1 1 1 2 2 2 3 3
（ ）
3 ❑√3 3 ❑√3
A． B． C． D．
22024 22024 22025 22025
10．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD．
若BD=4❑√7，CD=2❑√3，AD=10，则三角形ABC的面积为（ ）
A．10❑√3 B．13❑√3 C．12❑√3 D．9+6❑√3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AC=2,AB=❑√7,∠ACB=60°，点D
为△ABC外一点，且满足CD∥AB,AC=AD，则BD的长为 ．
12．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期末）如图，直线AB:y=x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点
A的坐标为(−4,0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB:OC=4:3．点P是y轴上的一点，连接CP
，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，此时点P的坐标为 ．13．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC
（不含A，C两点）上，连BD，以DB为直角边向右侧作邻腰直角△BDE，∠BDE＝90°，连接CE．若
AD=2， CE=❑√5，则线段BE的长为 ．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三
角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边OA、OC分别在坐标轴
上，点B的坐标是(3,3)．在正方形ABCO的边上找一点P，使得△POC是OC边上的“完美三角形”，点
P的坐标为 ．
15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交边BC于点D，若
BD=6，CD=3，∠ADC=45°，则线段AC的长为 ．
16．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45∘，且BC+AG=10❑√2．
（1）则AB的长是 ；
（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180∘，则AF= ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，点P从点A出发，
沿折线A−C−B−A的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒(t>0)．
【问题探究】
（1）当AB=5时
①判断△ABC的形状，并说出理由．
②点P在AC边上运动，当BP=4时，求t的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点P运动到∠CAB的角平分线上时，t的值为_____．
②如图，当点P运动到AB边上时，过点P作PD⊥CP，交边AC于点D，且△BCP是以CP为腰的等腰三
角形，那么PD的长等于_____．
【引发思考】
（3）如图3，以AB为边，在△ABC下方作等腰△ABE，∠AEB=120°，CE的最大值为_____．
18．（6分）（24-25八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，
AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
19．（8分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，
千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，∠DAB=∠B=90°，已知AB=AD=a，
AE=BC=b，DE=AC=c，AC⊥DE，试证明a2+b2=c2．
【知识运用】
（2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=23千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为 千
米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求AP的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81
20．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造
一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”．1 1
(1)如图1，已知线段AB=12，小明在线段AB上取点M和N，使得AM= AB，MN= AB，再将线段
4 3
AM，MN，BN围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形；
(2)如图2，点P为线段AB上一点，请在线段BP上作点Q，使AP，PQ，QB(PQ<QB)恰好能构成一个直
角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
1 1
(3)已知正方形A、正方形B的边长分别为有理数m、有理数n，且满足 <m+n<1，(1−m)(1−n)= ，若
2 2
正方形C的面积等于正方形A和正方形B的面积之和，求证：正方形C的边长也是有理数．
21．（10分）（24-25八年级·贵州六盘水·期末）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CED
中，∠ACD=∠B=∠E=90°，AC=CD，B，C，E三点在一条直线上，AB=3，DE=4，则AC的长
度为________；
（2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC⊥CD，且AC=CD，求点D
到BC的距离；
（3）【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，AC=2❑√10，
AD=6❑√2，求△BCD的周长．
22．（10分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，
B(4,0)，∠OAB=90°，OA=AB．
(1)求点A的坐标；(2)如图2，点C(b, 0)是x轴正半轴上的点，点D(0, a)是y轴正半轴上的点，若a+b=4，求证：
AD⊥AC；
(3)在（2）条件下，如图3，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，并延长AE交OC于G，求点G的坐标．
（用含b的式子表示）
23．（12分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．
【问题初探】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB，点D与直角顶点B重合，射线DP交边AC于点E，
点F在射线DQ上，且满足∠PDQ=90°,DE=DF，连接AF．判断线段AF与CE的关系为______．
【问题深探】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB，点D为斜边AC中点，射线DP交边BC于点E，射
线DQ交边AB于点F，且满足∠PDQ=90°
问题①：线段DE与DF满足什么数量关系？请说明理由；
问题②：请直接写出线段AF，CE，ED之间的数量关系____________．
【问题拓展】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，AO=OB=6，点D为斜边AB中点，x轴
上有一点E(2,0)，动直线l绕着点D旋转，与x轴相交于点P，且满足∠DEA−∠PDA=45°，直线l的表
达式为____________（直接写出表达式即可）．
24．（12分）（24-25八年级·广东深圳·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一
动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以
AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请
你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．
