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§10.3 二项式定理
考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示展开式的第 k ＋ 1 项
k＋1
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两
项 与 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(3)通项公式T ＝Can－kbk中的a和b不能互换．( √ )
k＋1
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( × )
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案 A
解析 因为展开式的通项为T ＝ ，令－10＋k＝
k＋1
2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
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2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．31 B．32 C．15 D．16
答案 A
解析 逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，
即3n＝35，所以n＝5，
所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
答案 20
解析 因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则T ＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，
k＋1
即k＝3时为常数项，T＝C＝20.
4
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是( )
A．－45 B．－10 C．45 D．65
答案 C
解析 由二项式定理得T ＝C10－k(－x2)k＝ ，令－5＝0得k＝2，所以常数项
k＋1
为(－1)2C＝45.
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
答案 ±1
解析 5的展开式的通项为T ＝Cx5－k·k＝(－a)kC .由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，
k＋1
得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
答案 D
解析 在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝
6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( )
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
答案 D
解析 6的展开式的通项为T ＝C·x6－k·k＝C·2k·x6－2k，
k＋1
2xT ＝C·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，
k＋1
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aT ＝aC·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，
k＋1
则aC·22＝60a＝－120，解得a＝－2，
∵7－2k≠0，在－2T 中，令6－2k＝0，解得k＝3，
k＋1
∴展开式中的常数项为－2C·23＝－320.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常
数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合
思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展开式的通项为T ＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T ＝Cx2y6；令k
k＋1 6＋1
＝5，得T ＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
5＋1
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
答案 16 5
解析 由题意得，(＋x)9的通项公式为T ＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常
k＋1
数项为T ＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T ，T ，T ，T ，T ，共
1 2 4 6 8 10
5个．
题型二 二项式系数与项的系数问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为－135
D．常数项为135
答案 D
解析 令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，
则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；
6的展开式的通项为T ＝C·(3x)6－k·k＝C·(－1)k36－k· ，令6－k＝0，得k＝4，因此展开
k＋1
式中的常数项为T＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确．
5
(2)若(1＋x)10＝a＋ax＋ax2＋…＋a x10，则a＋a＋a＝________；a＋2a＋3a＋…＋10a
0 1 2 10 2 6 8 1 2 3 10
＝________.
答案 300 5 120
解析 ①由已知得(1＋x)10展开式的通项为T ＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二
k＋1
项式系数．
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故a＋a＋a＝C＋C＋C＝300.
2 6 8
②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a＋2ax＋3ax2＋…＋10a x9.
1 2 3 10
令x＝1，得a＋2a＋3a＋…＋10a ＝10×29＝5 120.
1 2 3 10
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是( )
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
答案 ACD
解析 6展开式的通项为T ＝C·6－k·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.
k＋1
对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，
∴T＝x－6，T＝4Cx－2＝60x－2，T＝(－2)4Cx2＝240x2，T＝(－2)6x6＝64x6，
1 3 5 7
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．
思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展
0 1 2 n
开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n
的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2 (1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
答案 ABC
解析 6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确；
在6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确；
展开式的通项为T ＝C(x2)6－k·k＝(－3)kCx12－3k(0≤k≤6，k∈N)，
k＋1
令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1 215，故C正确；
由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，
第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1 215，
第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确．
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(2)设10＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x10，则(a ＋a ＋a ＋…＋a )2 －(a ＋a ＋a ＋…＋a)2的值为
0 1 2 10 0 2 4 10 1 3 5 9
________．
答案 1
解析 令x＝1有a＋a＋…＋a ＝(＋1)10，令x＝－1有a－a＋a－…＋a ＝(－1)10，
0 1 10 0 1 2 10
故(a ＋a ＋a ＋…＋a )2 －(a ＋a ＋a ＋…＋a)2＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )·(a －a ＋a －…＋
0 2 4 10 1 3 5 9 0 1 2 10 0 1 2
a )＝(＋1)10(－1)10＝1.
10
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 B
解析 因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C52－C＋a，
因为512 023＋a能被13整除，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋
0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(
)
A．－3 B．2 C．10 D．11
答案 C
解析 11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝
(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
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C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案 B
解析 0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
1.5的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
答案 C
解析 由题意可得T ＝C·(x2)5－k·k＝(－1)kC·2k·x10－3k，
k＋1
令10－3k＝4，则k＝2，
所以所求系数为(－1)2C·22＝40.
2．(多选)若6的展开式中的常数项为，则实数a的值可能为( )
A．2 B. C．－2 D．－
答案 AC
解析 6的展开式的通项为T ＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k，
k＋1
令12－3k＝0，得k＝4.
故C·4＝，即4＝，
解得a＝±2.
3．在6(x＋3)的展开式中，常数项为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 原式＝x6＋36，①
而6的通项公式为T ＝kCx6－2k.当6－2k＝－1时，k＝∉Z，故①式中的前一项不会出现常数
k＋1
项；当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项即为所求，
此时原式常数项为3×3×C＝－.
4．在24的展开式中，x的指数是整数的项数是( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 因为24的展开式的通项公式为T ＝C()24－kk＝ ，所以当k＝0,6,12,18,24时，
k＋1
x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系
数为( )
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
答案 C
解析 根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式
系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
且T＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.
5
6．设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
答案 A
解析 ∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n，
∴a＝4n－1，当n＝2 023时，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3，
而(15＋1)1 011－1＝C151 011＋C151 010＋…＋C15，故此时a除以15所得余数为3.
7．(多选)在二项式6的展开式中，正确的说法是( )
A．常数项是第3项
B．各项的系数和是
C．第4项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
答案 BCD
解析 二项式6的展开式通项为T ＝C·()6－k·k＝ .
k＋1
对于A选项，令＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；
对于B选项，各项的系数和是6＝，B正确；
对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．
8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则( )
0 1 2 2 023
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a＋a＋a＋…＋a ＝
1 3 5 2 023
D.＋＋＋…＋＝－1
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答案 AD
解析 易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
由二项式通项，知T ＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以第1 350项的系数为(－2)1 349C<0，所以第
k＋1
1 350项不是系数最大项，故B错误；
当x＝1时，有a＋a＋a＋…＋a ＝－1，①
0 1 2 2 023
当x＝－1时，有a－a＋a－a＋…＋a －a ＝32 023，②
0 1 2 3 2 022 2 023
①－②，可得a＋a＋a＋…＋a ＝－，故C错误；
1 3 5 2 023
当x＝0时，a＝1，当x＝时，a＋＋＋＋…＋＝0，
0 0
所以＋＋＋…＋＝－a＝－1，故D正确．
0
9．若x5＝a ＋a(x－2)＋a(x－2)2＋…＋a(x－2)5，则a ＝________，a ＋a ＋…＋a ＝
0 1 2 5 1 1 2 5
________.
答案 80 211
解析 因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a＝C·24＝80.
1
令x＝3，得a＋a＋a＋…＋a＝35＝243；
0 1 2 5
令x＝2，得a＝25＝32，
0
故a＋a＋…＋a＝243－32＝211.
1 2 5
10．(1＋2x)n的展开式中第 6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为
________；系数最大的项为________________．
答案 1 120x4 1 792x5和1 792x6
解析 T＝C(2x)5，T＝C(2x)6，
6 7
依题意有C·25＝C·26，得n＝8.
∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T＝C·(2x)4＝1 120x4，
5
设第k＋1项系数最大，则有
解得5≤k≤6.又k∈N，
∴k＝5或k＝6，
∴系数最大的项为T＝1 792x5，T＝1 792x6.
6 7
11．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( )
A．120 B．－120 C．60 D．30
答案 A
解析 由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k，
令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，
(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，
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令m＝2，可得第3项为Cxy2，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.
12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4，则 a ＝
0 1 2 3 4 1
________，2a＋3a＋4a＝________.
2 3 4
答案 －4 31
解析 因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，
所以a＝－4，
1
对所给等式，两边对x求导，
可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a＋2ax＋3ax2＋4ax3，
1 2 3 4
令x＝1，得27＝a＋2a＋3a＋4a，
1 2 3 4
所以2a＋3a＋4a＝31.
2 3 4
13．若(2x＋1)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn的展开式中的各项系数和为243，则a ＋2a ＋…＋
0 1 2 n 1 2
na 等于( )
n
A．405 B．810 C．243 D．64
答案 B
解析 (2x＋1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，
0 1 2 n
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a＋2ax＋…＋naxn－1.
1 2 n
令x＝1，则2n×3n－1＝a＋2a＋…＋na.
1 2 n
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.
所以a＋2a＋…＋na＝2×5×34＝810.
1 2 n
14．已知S 是数列{a}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b＋bx＋bx2＋…＋b x2 023，数列{a}的
n n 0 1 2 2 023 n
首项a＝＋＋…＋，a ＝S·S ，则S 等于( )
1 n＋1 n n＋1 2 023
A．－ B.
C．2 023 D．－2 023
答案 A
解析 令x＝，得
2 023＝b＋＋＋…＋＝0.
0
令x＝0，得b＝1，
0
所以a＝＋＋…＋＝－1.
1
由a ＝S·S ＝S －S，
n＋1 n n＋1 n＋1 n
得＝－＝1，
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所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，
公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以S＝－，所以S ＝－.
n 2 023
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