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§10.3 二项式定理
考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示展开式的第 k ＋ 1 项
k＋1
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两
项 与 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 2 n .
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(4)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．( × )
教材改编题1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )
A．C B．－C
C．C D．－C
答案 D
解析 T＝Cx5(－1)5，
6
所以第6项的系数是－C.
2．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 ABC
解析 ∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9.
3．在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
答案 1
解析 令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
答案 C
解析 (1－2)8展开式的通项公式为
T ＝C(－2)k＝ .
k＋1
要求x项的系数，只需＝1，解得k＝2，
所以x项系数为(－2)2C＝4×＝112.
(2)(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______．
答案 4
解析 n的通项公式为
T ＝Cxn－kk＝Cxn－4k，
k＋1
因为3≤n≤6，令n－4k＝0，
解得n＝4，k＝1，
所以n的展开式中的常数项为4.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题例2 (1)(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为( )
A．6 B．10 C．13 D．15
答案 C
解析 由于6的展开式的通项为
T ＝ ，
k＋1
令6－＝3，求得k＝2；
令6－＝6，求得k＝0，
故(x3－2)6的展开式中x6的系数为C－2C＝15－2＝13.
(2)(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
解析 因为(1－2x)4
＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，
(1－2x)4的展开式的通项公式为T ＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0,1,2,3,4，
k＋1
所以2×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
2×(－2)3C＝－64，
×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
×(－2)2C＝，
所以－64－＝－70，解得a＝4.
教师备选
1．(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 D
解析 (1－x)n的二项展开式中第k＋1项为
T ＝C(－1)kxk，
k＋1
又因为(1－x)n＝x(1－x)n－(1－x)n的展开式不含x5的项，
所以xC(－1)4x4－C(－1)6x6＝0，
Cx5－Cx5＝0，即C＝C，
所以n＝10.
2．(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．30
C．15 D．12答案 A
解析 由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，
由通项公式可得T ＝C(x2＋2x)5－kyk，
k＋1
∵要求x5y2的系数，
故k＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，
其对应x5的系数为C21＝6.
∴x5y2的系数为C×6＝60.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常
数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组
合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2021·北京)4的展开式中常数项为________．
答案 －4
解析 4的展开式的通项
T ＝C(x3)4－k·k＝(－1)kCx12－4k，令k＝3得常数项为T＝(－1)3C＝－4.
k＋1 4
(2)(2022·攀枝花模拟)(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－112 B．－48
C．48 D．112
答案 C
解析 由(1＋2x)5
＝(1＋2x)5－(1＋2x)5，
(1＋2x)5展开式的通项公式为
T ＝C(2x)k＝2kCxk，其中k＝0,1,2,3,4,5，
k＋1
(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为23C＝80，
(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为25C＝32，所以(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数为80
－32＝48.
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)(2022·十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则
( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
答案 ABD
解析 在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，
则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；
6展开式的通项为
T ＝C·(3x)6－k·k
k＋1
＝ ，
令6－k＝0，得k＝4，
因此展开式中的常数项为T＝C·(－1)4·32＝135.故D正确．
5
(2)已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax6，则a ＝______，a ＋a ＋a ＋
0 1 2 6 1 2 3 4
a＋a＝______.
5 6
答案 1 23
解析 根据题意，令x＝1，
则(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a＋a＋a＋…＋a＝26，令x＝0，a＝1＋1＝2，
0 1 2 6 0
由于(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a＋ax＋ax2＋…＋ax6，a 为展开式中x项的系数，
0 1 2 6 1
考虑一次项系数a＝－2＋CC×12＝1，
1
所以a＋a＋a＋a＋a＝26－1－2＝23.
2 3 4 5 6
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
答案 4 240x－8y2
解析 因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因
为6的展开式的通项为
T ＝C·y6－kk＝C·(－2)kx－2ky6－k，
k＋1
所以展开式中系数最大的项为奇数项．
展开式中第 1,3,5,7 项的系数分别为 C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即
1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
教师备选
1．(多选)已知(1－2x)2 022＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 022，下列命题中正确的是( )
0 1 2 2 022
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D.＋＋＋…＋＝－1
答案 ACD
解析 选项A，由二项式知，C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 022＝22 022，A正确；
当x＝1时，有a＋a＋a＋…＋a ＝1，
0 1 2 2 022
当x＝－1时，有a－a＋a－a＋…－a ＋a ＝32 022，
0 1 2 3 2 021 2 022
选项B，由上可得
a＋a＋a＋…＋a ＝，
1 3 5 2 021
B错误；
选项C，由上可得
a＋a＋a＋…＋a ＝，
0 2 4 2 022
C正确；
选项D，令x＝可得
a＋＋＋＋…＋＝0，
0
又a＝1，
0
所以＋＋＋…＋＝－1，D正确．
2．(多选)已知(x－3)8＝a＋a(x－2)＋a(x－2)2＋…＋a(x－2)8，则下列结论正确的有( )
0 1 2 8
A．a＝1
0
B．a＝－28
6
C.＋＋…＋＝－
D．a＋a＋a＋a＋a＝128
0 2 4 6 8
答案 ACD
解析 对于A，取x＝2，得a＝1，A正确；
0
对于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展开式中第7项为C(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，
即a＝28，B不正确；
6
对于C，取x＝，得
a＋＋＋…＋＝8＝，
0
则＋＋…＋＝－a＝－，
0
C正确；
对于D，取x＝3，得
a＋a＋a＋a＋…＋a＋a＝0，
0 1 2 3 7 8
取x＝1，得
a－a＋a－a＋…－a＋a＝(－2)8＝256，
0 1 2 3 7 8
两式相加得2(a＋a＋a＋a＋a)＝256，
0 2 4 6 8
即a＋a＋a＋a＋a＝128，D正确．
0 2 4 6 8
思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展
0 1 2 n
开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n
的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2 (1)已知(2x－1)5＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a ，则|a|＋|a|＋…＋|a|等于(
5 4 3 2 1 0 0 1 5
)
A．1 B．243
C．121 D．122
答案 B
解析 令x＝1，
得a＋a＋a＋a＋a＋a＝1，①
5 4 3 2 1 0
令x＝－1，
得－a＋a－a＋a－a＋a＝－243，②
5 4 3 2 1 0
①＋②，得2(a＋a＋a)＝－242，
4 2 0
即a＋a＋a＝－121.
4 2 0
①－②，得2(a＋a＋a)＝244，
5 3 1
即a＋a＋a＝122.
5 3 1
所以|a|＋|a|＋…＋|a|＝122＋121＝243.
0 1 5
(2)(多选)(2022·济南模拟)在6的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
答案 BC
解析 展开式的通项为T ＝C·6－k·(－x)k＝26－k(－1)k·Cx2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常
k＋1
数项为23(－1)3C＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；
第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得6＝1，所有项的系数和为1，D错误．
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 B
解析 因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，
＝C522 021－C522 020＋C522 019－…＋C52－C＋a，
因为512 021＋a能被13整除，结合选项，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34
答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋
0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
教师备选
已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，
系数最大的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
答案 B
解析 S＝n＋C＋C＋C＋…＋C
＝n＋(1＋1)27－C
＝(9－1)9＋n－1
＝9(98－C97＋…＋C)＋n－2，
∵n≥3，
∴S能被9整除的正数 n的最小值是n－2＝9，
∴n＝11.
∴11的展开式中的通项公式为
T ＝Cx11－kk
k＋1
＝(－1)kCx11－2k，
只考虑k为偶数的情况，
由T＝Cx3，T＝Cx－1，T＝Cx－5，
5 7 9
可知系数最大的项为第7项．
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(
)
A．－3 B．2
C．10 D．11
答案 C
解析 11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝
(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案 B
解析 (0.99)6＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
1．(2022·济南模拟)6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．4 B．6
C．10 D．15
答案 B
解析 6的展开式通项为
T ＝C·x6－k·k＝C·x6－2k，
k＋1
令6－2k＝4，解得k＝1，
因此，展开式中含x4项的系数为C＝6.
2．(2022·武汉部分重点中学联考)在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式
常数项是( )
A. B．－
C．－28 D．28
答案 B
解析 展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，
展开式的通项为
T ＝C12－k·k
k＋1
＝ ，
若为常数项，则12－k＝0，所以k＝9 ，得常数项为
T ＝C(－1)912－9＝－＝－.
10
3．(2022·邯郸模拟)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为( )
A．－9 B．9
C．－21 D．21
答案 A
解析 展开式中x3项的系数为C－C＝－9.
4．(2022·芜湖质检)已知(x－m)(x＋2)5＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax6，其中m为常数，若a ＝
0 1 2 6 4
30，则a 等于( )
0
A．－32 B．32
C．64 D．－64
答案 A
解析 由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因
式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a，
4
所以a＝C×22－m×C×2＝30，
4
解得m＝1，再令x＝0，得a＝－25＝－32.
0
5．(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为( )
A．－ B．－1 C．1 D.
答案 D
解析 化简得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，
∵(x＋y)4的展开式的通项公式
T ＝Cx4－kyk，
k＋1
当k＝2时，ax·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为Ca＝6a，
当k＝1时，－y·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－C＝－4，
综上，(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为6a－4＝－2，∴a＝.
6．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 38，则C＋C＋C
＋…＋C的值为( )
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
答案 B
解析 设(2x－1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
0 1 2 n
则A＝a＋a＋a＋…，
1 3 5
B＝a＋a＋a＋a＋….
0 2 4 6
由已知得，B－A＝38，
令x＝－1，得a－a＋a－a＋…＋a(－1)n＝(－3)n，
0 1 2 3 n
即(a＋a＋a＋a＋…)－(a＋a＋a＋a＋…)＝(－3)n，
0 2 4 6 1 3 5 7
即B－A＝(－3)n，
∴(－3)n＝38＝(－3)8，
∴n＝8，
由二项式系数性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
7．(多选)(2022·邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为 64，下列说法正确的是(
)
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
答案 ABD
解析 由n的二项式系数之和为2n＝64，
得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；
令x＝1，6＝26＝64，
则6的各项系数之和为64，B正确；
6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
6的展开式中的第5项为C(5x)24＝15×25×81为常数项，D正确．
8．(多选)(2022·烟台模拟)已知(2－x)6＝a＋ax＋ax2＋…＋ax6，则下列选项正确的是( )
0 1 2 6
A．a＝－360
3
B．(a＋a＋a＋a)2－(a＋a＋a)2＝1
0 2 4 6 1 3 5
C．a＋a＋…＋a＝(2－)6
1 2 6
D．展开式中系数最大的为a
2
答案 BD
解析 (2－x)6的展开式通项为
T ＝C·26－k·(－x)k＝C·(－)k·26－k·xk，
k＋1
对于A，令k＝3，
则a＝C×23×(－)3＝－480，
3
A错误；
对于B，令x＝1，
则a＋a＋…＋a＝(2－)6；
0 1 6
令x＝－1，
则a－a＋a－…＋a＝(2＋)6，
0 1 2 6∴(a＋a＋a＋a)2－(a＋a＋a)2
0 2 4 6 1 3 5
＝(a＋a＋a＋…＋a)(a－a＋a－…＋a)
0 1 2 6 0 1 2 6
＝[(2－)×(2＋)]6＝1，B正确；
对于C，令x＝0，得a＝26，
0
∴a＋a＋…＋a＝(2－)6－26，C错误；
1 2 6
对于D，
∵a，a，a，a 为正数，a，a，a 为负数，
0 2 4 6 1 3 5
又a＝26＝64，a＝C×24×3＝720，
0 2
a＝C×22×32＝540，
4
a＝33＝27，
6
∴展开式中系数最大的为a，D正确．
2
9．(2021·天津)在6的展开式中，x6的系数是________．
答案 160
解析 6的展开式的通项为
T ＝C(2x3)6－k·k＝26－kC·x18－4k，
k＋1
令18－4k＝6，解得k＝3，
所以x6的系数是23C＝160.
10．(2022·济宁模拟)已知n的展开式中各项的二项式系数的和为 128，则这个展开式中x3项
的系数是________．
答案 84
解析 依题意，2n＝128，解得n＝7，
7的展开式的通项为
T ＝Cx7－k·k
k＋1
＝(－2)kCx7－2k(k∈N，k≤7)，
由7－2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C＝4×＝84.
11．(2022·温州模拟)若n的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答)．
答案 240
解析 因为n的展开式中共有7项，
所以n＋1＝7，可得n＝6，
所以6展开式的通项为
T ＝ ＝
k＋1
令6－k＝0，可得k＝4，
所以常数项为C24＝15×16＝240.12．(2021·浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋ax3＋ax2＋ax＋a ，则a ＝________，a
1 2 3 4 1 2
＋a＋a＝________.
3 4
答案 5 10
解析 (x－1)3展开式的通项T ＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项T ＝Cx4－k，则a ＝C
r＋1 k＋1 1
＋C＝1＋4＝5；a ＝C(－1)1＋C＝3；a ＝C(－1)2＋C＝7；a ＝C(－1)3＋C＝0.所以a ＋a ＋
2 3 4 2 3
a＝3＋7＋0＝10.
4
13．已知n为正整数，若1.1510∈[n，n＋1)，则n的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为1.155＝5
＝C·0＋C·1＋C·2＋C·3＋C·4＋C·5
＝1＋＋＋＋3
＝2＋＋×3，
而2<2＋＋×3<2＋＋
<2＋＋＝2＋<2.1，
所以2<1.155<2.1，
因此4<1.1510<4.41，
又n为正整数，1.1510∈[n，n＋1)，所以n＝4.
14．(2022·浙江 Z20 名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4，则 a ＝
0 1 2 3 4 1
________，2a＋3a＋4a＝________.
2 3 4
答案 －4 31
解析 因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，
所以a＝－4，
1
对所给等式，两边对x求导，可得
(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a＋2ax＋3ax2＋4ax3，
1 2 3 4
令x＝1，得27＝a＋2a＋3a＋4a，
1 2 3 4
所以2a＋3a＋4a＝31.
2 3 4
15．已知S 是数列{a}的前n项和，若(1－2x)2 022＝b＋bx＋bx2＋…＋b x2 022，数列{a}的
n n 0 1 2 2 022 n
首项a＝＋＋…＋，a ＝S·S ，则S 等于( )
1 n＋1 n n＋1 2 022
A．－ B.
C．2 022 D．－2 022答案 A
解析 令x＝，得
2 022＝b＋＋＋…＋＝0.
0
又因为b＝1，
0
所以a＝＋＋…＋＝－1.
1
由a ＝SS ＝S －S，
n＋1 n n＋1 n＋1 n
得＝－＝1，
所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以S＝－，
n
所以S ＝－.
2 022
16．(多选)(2022·南京模拟)已知n∈N*，n≥2，p，q>0，p＋q＝1，设f(k)＝Cpkq2n－k，其中
k∈N，k≤2n，则( )
A.(k)＝1 B.f(k)＝2npq
C．若np＝4，则f(k)≤f(8) D.(2k)<<(2k－1)
答案 AC
解析 (k)＝pkq2n－k＝(q＋p)2n＝1，
A正确；
kC＝
＝2n×
＝2nC，
所以f(k)＝Cpkq2n－k
＝nCpkq2n－k
＝2npqpk－1q2n－1－k
＝2nppkq2n－1－k
＝2np(q＋p)2n－1
＝2np≠2npq(除非p＝0)，B错；
设f(m)是f(k)中最大项，
即
注意到＝
＝，
＝，
又np＝4，不等式组可解为8－q≤m≤8＋p，
所以m＝8，所以f(k)≤f(8)，C正确；
例如n＝2时，p＝，q＝，
(2k)＝4＋622＋4＝，
(2k－1)＝，D错误．
