文档内容
§10.4 随机事件与概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与
概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝
1 2 n
{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A ⊆ B
相等关系 B⊇A且A⊇B A ＝ B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A ∩ B ＝ ∅ ， A ∪ B ＝ Ω
3.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会
n
逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
常用结论
1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事
件互斥是对立的必要不充分条件．3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验
中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)必然事件一定发生．( √ )
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
答案 D
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则
掷一次硬币正面朝上的概率为________．
答案 0.5
解析 掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验的样
本空间中有________个样本点．
答案 4
解析 这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，共4个样本点.
题型一 随机事件与样本空间
例1 (1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大
于5”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
答案 A
解析 从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为
1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，
观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 ( )A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，
红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，
黑，黑)}．共8个．
教师备选
一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的 2个白球，3个黑球，4个红球，从中分
两次依次取两个球．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，
白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．
(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，
白)，(红，白)．
思维升华 确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规
律去写，要做到既不重复也不遗漏．
跟踪训练1 (1)下列说法错误的是( )
A．任一事件的概率总在[0,1]内 B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 D
解析 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是
客观存在的，是一个确定值．
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则
事件A包含的样本点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．
题型二 事件的关系与运算
例2 (1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件 A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中
靶”，则下列结论正确的是( )
A．A⊆B
B．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”
D．A与B互为对立事件
答案 BC
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事
件，所以AD选项错误，B选项正确．A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确．
(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一
个，则( )
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
答案 BD
解析 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或
者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是
对立事件，C错误；
事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分
得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确．
教师备选
1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
C＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
i
D＝“点数不大于2”，D＝“点数不小于2”，D＝“点数大于5”；
1 2 3
E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C 与C 对立 B．D 与D 互斥
1 2 1 2
C．D⊆F D．E⊇(D∩D)
3 1 2
答案 C
解析 对于A，C ＝“点数为1”，C ＝“点数为2”，C 与C 互斥但不对立，故选项A不
1 2 1 2
正确；
对于B，D ＝“点数不大于2”，D ＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D 与D 同时
1 2 1 2
发生，所以D 与D 不互斥，故选项B不正确；
1 2
对于C，D ＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D 发生F一定发生，
3 3
所以D⊆F，故选项C正确；
3
对于D，D∩D 表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D∩D 发
1 2 1 2生，事件E不发生，所以E⊇(D∩D)不正确，故选项D不正确．
1 2
2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；
C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 ABD
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，
或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件
D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.
思维升华 事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出
现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用 Venn
图分析事件．
跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，
现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是( )
A．至少有1个红球与至少有1个黑球
B．至少有1个红球与都是黑球
C．至少有1个红球与至多有1个黑球
D．恰有1个红球与恰有2个红球
答案 D
解析 对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所
以A不符合题意；
对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中 1个发生．所以为互斥事件，
且为对立事件，所以B不符合题意；
对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不
符合题意；
对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有
3个红球．
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A＝“向上的点数为 i”，其中 i＝
i
1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是( )
A. ⊆B B．A＋B＝Ω
1 2C．A 与B互斥 D．A 与对立
3 4
答案 C
解析 对于A，＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，
1
∴B⊆，故A错误；
1
对于B，A＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；
2
对于C，A 与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
3
对于D，A＝{4}，＝{1,3,5}，A 与是互斥但不对立事件，故D错误．
4 4
题型三 频率与概率
例3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气
温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六
月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为
450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，
最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
教师备选
某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的
保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求
P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2
的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大
于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋
1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
思维升华 (1)概率与频率的关系
(2)随机事件概率的求法
跟踪训练3 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河
上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，
Y 增 加 5. 已 知 近 20 年 X 的 值 为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,
160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，
求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有
3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)
＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
课时精练
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 C
解析 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．
2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有
3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为( )
A．99.61% B．99.49% C．99.36% D．99.23%
答案 A
解析 中国体育代表团成员的疫苗接种率约为≈0.996 1＝99.61%.
3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本
点个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，
(2,4)，(3,5)，共4个样本点．
4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，
则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
5．(多选)依次抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(
)
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是1点，第二枚是3点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
答案 ABD
解析 X＝4表示两次抛掷所得总数之和为4，则随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二
枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”．
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名
著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F
＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上
的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
答案 BCD
解析 对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件
E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，B正确；
对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，样本空
间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．
则该试验的样本空间Ω＝________.
答案 {0,2,4,6,8}
解析 最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩
余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.
8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售
情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为
0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这
300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
答案 60
解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，
∴第1,2,4组的频率分别为
＝0.15，＝0.175，＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，
∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，
∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．
9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、
2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，
事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA
＝A.
10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法
从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A ，A ，A ，A ，A ，A.现从这6名运动员中
1 2 3 4 5 6
随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有样本点；
②设A为事件“编号为A 和A 的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表
5 6
示．解 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，
则应从甲协会抽取27×＝3(人)，
从乙协会抽取9×＝1(人)，
从丙协会抽取18×＝2(人)．
故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有样本点为(A ，A)，(A ，A)，(A ，
1 2 1 3 1
A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，
4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5
(A，A)，(A，A)，(A，A)，(A，A)，共15种．
3 6 4 5 4 6 5 6
②事件A可用集合表示为{(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，
1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6
(A，A)，(A，A)，(A，A)}．
4 5 4 6 5 6
11．(多选)2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病
毒灭活疫苗(Vero细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．
世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有
发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；
另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫
苗的效力＝×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是( )
A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低
C．若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则效力为80%
D．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10 000个人注射该疫苗后，一定
有1 000个人发病
答案 BC
解析 由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不
会感染新冠肺炎，故选项A错误；
疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大
降低，故选项B正确；
若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝
×100%＝80%，故选项C正确；
若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在
10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病，故选项D错误．
12．(多选)一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5
件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；
事件D：“至多有一件次品”．
则以下结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．D∪B是必然事件 C．A∪B＝B D．A∪D＝C
答案 AB
解析 A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A正确，C不正确；D∪B表示
的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的
事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．
13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝
{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不
正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
答案 D
解析 对于选项A，事件A包含于事件D，
故A正确．
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．
故B∩D＝∅，故B正确．
对于选项C，由题意知正确．
对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，
所以A∪C≠B∪D，故D不正确．
14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽
车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等
车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则
他乘坐上等车的概率为________．
答案
解析 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；
⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概
率为＝.
15．(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色
等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，
地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜
后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到
如下数据：
后半夜天气情况 下雨 未下雨 合计“日落云里走”的情况
出现 25 5 30
未出现 25 45 70
合计 50 50 100
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
并计算得到χ2≈19.05，则小波对该地区天气的判断正确的是( )
A．后半夜下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是
否下雨”有关
D．若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨
答案 AC
解析 对于A，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为＝，故A判断正确；
对于B，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为＝，故B判断错误；
对于C，由χ2≈19.05>6.635＝x ，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下
0.01
雨”有关，故C判断正确；易知D判断错误．
16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克
牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙抽到牌的所有样本点；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公
平？为什么？
解 (1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有样本点
为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，
(4′，4)，共12个．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概
率是.
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因为<，所以此游戏不公平．
