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专题 24.3 弧、弦、圆心角【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】..................................................................................................................1
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】.....................................................................................................2
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】.................................................................................................4
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】.....................................................................................................5
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】.....................................................................................................6
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】.............................................................................................7
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】.................................................................................................8
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】.................................................................................................9
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】.......................................................................10
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】....................................................................................................11
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，A´B=C´D，则在①AB=CD；②AC=BD；
③∠AOC=∠BOD；④A´C=B´D中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是C´B中点，
则下列结论正确的是（ ）
A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
1
C．BC=2AC D．∠BAC+ ∠AOC=180°
2
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）A．30° B．35° C．40° D．55°
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，
∠AOB=70°，那么∠COD= ．
【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同
1
扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE= ∠AOC，则∠DOE等于（ ）
3
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧
D´F的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37° B．74° C．53° D．63°【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交
AB于点G，点C是B´E的中点，点B是C´D的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后
A´B的中点，则OC长为（ ）
A．2 B．√3 C．1 D．√2
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点(ACb D．a，b大小无法比较
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且
∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么
AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任
务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
x >x d(x )>d(x ) d(x )>d(x ) x >x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．当 时， D．当 时，
x +x =1 d(x )=d(x ) x =2x d(x )=2d(x )
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BA´C的中点，
DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB•AC．
【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．
求证：CE=BE．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使B´A=A´C，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接
BE．
(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，
AB∥OC．
(1)求证：点C平分B´D．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在
AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写
出必要的文字说明．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，A´B＝2A´C，AD⊥OC于点D，比较大小AB
2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，^AC
恰好经过点O，则^BC与^AC的关系是（ ）
1 1
A．^BC= ^AC B．^BC= ^AC C．^BC=^AC D．不能确定
2 3
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且^AC=3^BC，则弦AC与
弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BC B．AC=√3BC C．AC＝（√2+1）BC D．√3AC＝BC
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N
是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则
PM+PN的最小值为（ ）
A．10 B．5√3 C．5√2 D．5
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在
半圆上，OC⊥AB,B´D=2C´D，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的
一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小
值是 cm．
【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧
BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
