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§10.2 排列与组合
考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能
利用排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
组合 m(m≤n)个元素 作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号 A 表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号 C 表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝(n，m∈N*，且m≤n)．
公式 (2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
(1)0！＝1；A＝ n ！ .
性质
(2)C＝C；C＝ C ＋ C .
常用结论
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．( √ )
(3)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．( × )
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( × )
教材改编题
1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则
《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有( )
A．120种 B．240种
C．200种 D．180种
答案 B
解析 《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A＝240(种)．
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有( )
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
答案 B
解析 不同排法种数为AA＝72(种)．
3．若C＝C＋C(n∈N*)，则n＝ .
答案 5
解析 由C＝C＋C，
所以C＝C，
又因为C＝C，
所以n－2＝3，即n＝5.
题型一 排列问题
例1 (1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
A．AA B．AA C．A＋A D．A答案 BD
解析 17名同学中选7名全部排序站在前排有A种方法，剩下10名同学全排在后排有A种
方法，根据乘法原理，共有AA种方法．将前后排视为一排，共有A种方法．
(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a(i＝1,2,3,4,5,6)，若a≠1，
i 1
a≠3，a≠5，且an时，C＝0
C．当m为正奇数时，C＝－1
D．当n为正整数时，C＝(－1)mC
答案 BCD
解析 选项A，由题意，C＝＝210，
故A不正确．
选项B，由C＝，
当m，n为正整数且m>n时，则n－m≤－1，
所以n－m＋1≤0，
所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，一定有某个数为0，
所以C＝＝0，
故B正确．
选项C，当m为正奇数时，
C＝
＝＝－1，
故C正确．
选项D，当n为正整数时，
C＝＝(－1)m.
C＝
＝.
所以C＝(－1)mC，故选项D正确．
16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅
放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，
直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序．
答案 60
解析 将6只灯笼全排，即A，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次
取灯的顺序确定，取谜题的方法有＝60(种)．
