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专题 24.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】.............................................................................................1
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】.............................................................................................6
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】....................................................................................................11
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】...........................................................................................15
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】...................................................................................................18
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】...................................................................................................23
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】...........................................................................................27
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】...............................................................................................32
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】...................................................................38
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】...................................................................................................42
知识点：弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，
②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不
变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】
【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点
A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①PA+PB的值为定值；②∠APB的度数为定值；
③∠POB的度数始终等于∠OPA度数的2倍；④若P´B=2P´A，则PB=2PA．正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟记圆中有关观念时解本题的
关键．根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】解：①由题可得：当点P从点A运动到A´B的中点时，PA+PB的值在增大，当点P从A´B的中点
运动到点B时，PA+PB的值在减小，
故①错误；
②∵AB时直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APB的度数为定值，
∴②正确；
③∵OP=OA，
∴∠APO=∠PAO，
∵∠POB=∠PAO+∠APO=2∠OPA，
∴∠POB的度数始终等于∠OPA度数的2倍，
∴③正确；
④如图，取的中点C，连接PC，BC，PB，则PC=BC，
∵P´B=2P´A，
∴ ^AP=^PC=^BC，
∴PA=PC=BC，
∵PC+BC>PB，
∴PB<2PA，∴④错误；
∴正确的结论个数是2个，
故选：C
【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；
②面积相等的两个圆是等圆；
③所对的弦长相等的两条弧是等弧；
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；
⑤等弧所对的圆心角相等；
⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判
断③④⑤；根据垂径定理的推论判断⑥．
【详解】解：半圆是弧，故①正确；
面积相等的两个圆半径相等，因此是等圆，故②正确；
在同圆或等圆中，所对的弦长相等的两条劣弧是等弧，两条优弧是等弧，故③错误；
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，故④错误；
等弧所对的圆心角相等，故⑤正确；
平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故⑥错误；
综上可知，正确的有①②⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论等，解题的关键是熟记相
关概念或性质．
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在⊙O中，A´B=2C´D，那么（ ）
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．无法比较
【答案】B【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取D´E=C´D，再根据“根
据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取D´E=C´D，
∵A´B=2C´D，
∴A´B=C´E，
∴AB=CE，
根据三角形的三边关系知，CD+DE=2CD>CE=AB，
∴AB<2CD，
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）OR平分锐角∠MON，以O为圆心以任意长为半径画P´Q，分
别交OM，OR，ON于A，B，C三点，以C为圆心，以BC长为半径画弧与P´Q相交于异于B点的点D，连
接AD，BC．下列结论错误的是（ ）
A．A´B=B´C B．若OA=AD，则∠BOC=20°
C．BC∥AD D．AD=3BC
【答案】D
【分析】先根据题意画好图形，如图，连接OD，CD，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关
系，判断A；证明△AOD为等边三角形，可判断B；连接BD，证明∠ABD=∠DBC，可判断C；连接
AB，可得AD<3BC，可判断D ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OD，CD，∵OR平分锐角∠MON，
∴∠MOR=∠NOR，
∴A´B=B´C，故A不符合题意；
∵由作图可得BC=CD，
∴C´D=B´C，
∴∠MOR=∠NOR=∠COD，
∵OA=AD，OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOC=20°，故B不符合题意；
连接BD，
∵A´B=B´C，C´D=B´C，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BC∥AD，故C不符合题意；
连接AB，
∵A´B=B´C，C´D=B´C，
∴AB=BC=CD，
∴AD<3BC，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最
短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】
【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、
∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（ ）
A．6 B．8 C．3 D．4
【答案】C
【分析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O到弦AB的距离，根据垂径定理求出DH＝HC＝3，DF＝EF，根据三角形的中位线求出DE＝
2OH，根据勾股定理求出OH长，再根据勾股定理求出OF长即可．
【详解】解：延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段
OG的长是点O到弦AB的距离，
∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，
∴∠DOE＝∠AOB，
∴DE＝AB，OF＝OG，
∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，
1
∴DH＝HC＝ DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，
2
由勾股定理得：OH＝❑√OD2−DH2＝❑√52−32＝4，
∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，
∴DE＝2OH＝8，
∵OF⊥DE，OF过O，
1
∴DF＝EF＝ DE＝4，
2
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝❑√OD2−DF2＝❑√52−42＝3，
∴OG＝OF＝3，
即点O到AB的距离是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，互补的定义，三角形的中位线，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关
系，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°,C是A´B的中点，
作CD⊥OB，与⊙O交于D，则图中与BD相等的线段有 条．【答案】3
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接OD，OC，根据圆心角、弧
的关系求出∠AOC=∠BOC=60°，根据圆周角定理求出∠CDB=30°，根据直角三角形的性质求出
∠OBD=60°，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵∠AOB=120°，C是A´B的中点，
1
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=60°，
2
1
∴∠CDB= ∠BOC=30°，
2
∵CD⊥OB，
∴∠CDB+∠OBD=90°，
∴∠OBD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，OB=BD，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA=AC，
∴OA=OC=OB=BD，∴图中与BD相等的线段有3条，
故答案为：3．
【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=4❑√2，D是弧AC
的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
连接OD交AC于F，由垂径定理得OD⊥AC，AF=CF，可证OD∥BC，接着证明
1 3
△BCE≌△DFE得到BC=DF，计算得OF= OD，然后设BC=x，则OD= x，AB=3x，最后利用
3 2
勾股定理AB2=AC2+BC2计算得到BC的长．
【详解】
解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF=CF，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
∵∠BEC=∠≝¿，
∴△BCE≌△DFE(ASA)，∴BC=DF，
1
∵OF= BC，
2
1
∴OF= DF，
2
1
∴OF= DO，
3
3
设BC=x，则OD= x，
2
∴AB=2OD=3x，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴(3x) 2=(4❑√2) 2+x2，
解得x=2，
即BC=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理．
【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，AB是⊙O直径，AC是弦，点E在弦AC上．D是A´C
的中点，AD=a，DE=b，若四边形BCDE为平行四边形，则⊙O的半径是（ ）5 3 b
A． b B． b C．❑√a2−b2 D．a+
3 2 2
【答案】B
【分析】等弧对等弦，得到AD=CD，得到三角形ADC为等腰三角形，圆周角定理得到∠ACB=90°，
平行四边形的性质，得到∠DEC=90°，三线合一得到E点为AC的中点，连接OE，中位线定理，得到
1 1
OE= BC= b，垂径定理得到OE⊥AC，进而得到O,D,E三点共线，即可得出⊙O的半径．
2 2
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵D是A´C的中点，
∴A´D=C´D，
∴AD=CD，
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴BC=DE=b，DE∥BC，
∴∠DEC=∠BCE=90°，
∴DE⊥AC，
∵AD=CD，
∴AE=CE，
则：E点为AC的中点，
1 1
连接OE，则：OE⊥AC，OE= BC= b，
2 2
∵DE⊥AC，
∴O,D,E三点共线，
3 3
∴OD=OE+DE= b；即⊙O的半径是 b．
2 2
故选B．【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，垂径
定理．解题的关键是证明点E为AC的中点．
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】
【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，
AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB−∠BCD等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直径，则∠ADB=∠ADE=90°可得∠AEB+∠EAD=90°，已知C是弧AB的
中点，则∠EAD+∠BAD=45°，根据圆周角定理可知∠BCD=∠BAD，故∠EAD+∠BCD=45°，
根据∠AEB+∠EAD−(∠EAD+∠BCD)=90°−45°=45° 即可解答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠AEB+∠EAD=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠EAD+∠BAD=45°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠EAD+∠BCD=45°，
∴∠AEB+∠EAD−(∠EAD+∠BCD)=90°−45°=45°，
∴∠AEB−∠BCD=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关
键．在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相
等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=132°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是( )
A．66° B．35.5° C．33° D．24°
【答案】C
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相
等，圆周角定理是解题的关键．
1 1
如图，连接OB，则A´B=B´C，∠AOB= ∠AOC，由圆周角定理可得∠D= ∠AOB，计算求解即
2 2
可．
【详解】解：如图，连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴A´B=B´C，
1
∴∠AOB=∠BOC= ∠AOC=66°，
2
∵A´B=A´B，
1
∴∠D= ∠AOB=33°，
2
故选：C．
【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以⊙O的半径为半径，自⊙O上的A点起，在圆上依次画弧
截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为O ，连接FA，FO ，则∠AFO = ．
1 1 1【答案】75°/75度
【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，
再根据正方形的性质求得∠OFE=45°，计算角的差即可解答；
1
【详解】解：如图，连接OA，OF，OE，
∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°，
由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°，
∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°，
∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°，
∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°，
∵O 是正方形的中心，∴∠OFE=45°，
1 1
∴∠AFO =∠AFE-∠OFE=75°，
1 1
故答案为：75°；
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌
握相关性质是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在△ABC中，∠B=70°，⊙O截三边所得的弦长
DE=FG=HI，则∠AOC= 度．【答案】125
【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于DE=FG=HI=，利用弦、圆
心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平
分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵DE=FG=HI
∴OM=OK=OP，
∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，
1 1 1 1
∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°−∠B）=90°− ∠B=90°− ×70°=55°，
2 2 2 2
∴∠AOC=180°−（∠OAC+∠OCA）
=180°−55°
=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两
边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】
【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，则弧AE的度数为 ．
【答案】80°/80度
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，
连接EO，根据平行线的性质求出∠A=∠AOC，根据圆周角定理求出∠EOB，再求出ED´B的度数，即
可求出本题答案．
【详解】解：连接EO，
∵∠AOC=50°，AE∥CD，
∴∠A=∠AOC=50°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠E=50°
∴∠EOB=2∠A=100°，
∴ED´B的度数是100°，
∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴AE´B的度数是180°，
∴A´E的度数是180°−100°=80°，
故答案为：80°．
【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径， BC=CD=DE，∠BOC=42°
，那么弧AE度数等于 ．【答案】54°/54度
【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．
【详解】∵BC=CD=DE
∴B´C=C´D=D´E，
∴∠BOE=3∠BOC=126°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=54°，
∴弧AE度数等于54°．
故答案为：54°．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以点B为
圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
【答案】30°
【分析】连接BE，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角计算出∠ABC=∠C=70°，再利用
BE=BC得到∠BEC=∠C=70°，然后根据三角形外角性质计算出∠ABE=30°，从而得到弧DE的度
数．
【详解】解：连接BE，如图，∵AB=AC，∠A=40°，
1 1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−40°)=70°，
2 2
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C=70°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠ABE=70°−40°=30°，
∴弧DE的度数为30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系：圆心角的度数等于
它所弧的度数，掌握以上知识是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，∠ACB=40°．弧AB的度数
为 ．
【答案】80°
【分析】在⊙O中，∠ACB和∠AOB对着同一条弧，根据圆周角定理，可得出∠AOB的度数，再根据弧
与圆心角的关系即可得到答案．
【详解】解：在⊙O中，∠ACB和∠AOB对着同一条弧AB，
又∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，
所以A´B的度数为80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系知识点，找出同弧所对的圆周角及圆心角是解题的关
键．
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】
【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，
AB=BC=CD=2，E是A ¿ D的中点，则△ADE的面积是 ．
【答案】4
【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三
角形，就可求得△ADE的面积．
【详解】解：连接EO，BO，CO
∵AB=BC=CD=2，
∴∠AOB=180÷3=60°，
∴△AOB是等边三角形，
那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．
∵E是A´D的中点，
∴AE=DE，
∴EO⊥AD，
∵EO=2，
1
∴△ADE的面积= ×4×2=4．
2故答案为4
【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等．
【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，圆的半径为2，且
CB=CD=2，AB=AD，则该S =（ ）
四边形ABCD
A．4❑√3 B．2❑√3 C．3❑√3 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、 弧、 弦之间的关系，勾股定理．连接AC, 求出AD´C=AB´C
，求出AC是圆的直径，根据勾股定理求出AD、AB，根据S =S +S 计算是解题的关
四边形ABCD △ADC △ABC
键．
【详解】解：连接AC,
∵CB=CD,AD=AB，
∴ D´C=B´C，A´D=A´B，
∴ AD´C=AB´C，
即AC是圆的直径，
∴∠D=∠B=90°，
∵圆的半径为2，∵AC=4，
∵CB=CD=2，
由勾股定理得：
AD=AB=❑√42−22=2❑√3，
1 1 1 1
∴S =S +S = ×AD×CD+ ×AB×BC= ×2❑√3×2+ ×2❑√3×2=4❑√3，
四边形ABCD △ADC △ABC 2 2 2 2
故选:A．
【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC
于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．3❑√2 D．2❑√5
【答案】A
【分析】连接OE，OD，DE，可得△OAD，△OBE，△ODE都是等边三角形，从而得弓形BE的面积=
弓形DE的面积，进而得阴影部分的面积=△CDE的面积，进而即可求解．
【详解】连接OE，OD，DE，
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OB=OD=OE，∴△OAD，△OBE，△ODE，△CDE都是等边三角形，
∴BE=DE，
∴弓形BE的面积=弓形DE的面积，
∴阴影部分的面积=△CDE的面积，
∵CE=BC−BE=AC−AD=CD=4−2=2，
∴△CDE是等边三角形，边长为2，
∴过点C作CM⊥DE于点M，则DM=1，CM= ❑√3 DM= ❑√3，
1
∴△CDE的面积= DE×CM= ❑√3，
2
∴阴影部分的面积= ❑√3．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于
△CDE的面积是解题的关键．
【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，将B´C绕着点B逆时针
旋转一定的角度得到B´D，B´D交AB于E点，若点D在⊙O上，连接CD交AB于点F．
(1)直接判断AB与CD的位置关系；
(2)求证：AF=EF；
(3)若AE=6，EB=10，求阴影部分的面积．
【答案】(1)AB⊥CD
(2)见解析
(3)3❑√39
【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出B´D所在的圆与⊙O是等圆，再
根据圆的相关性质推理即可．
（1）根据弧相等所对的弦也相等得出BC=BD，进而得出点B是BD´C中点，得出AB⊥CD；
（2）根据圆周角相等，得出A´D=E´D，AD=ED，再根据垂直可证；（3）由（2）可证弓形AD和弓形ED的面积相等，阴影部分的面积就是三角形ADE的面积，利用AE=6
，EB=10求解即可．
【详解】（1）解：AB⊥CD
将B´C绕着点B逆时针旋转一定的角度得到B´D，B´D交AB于E点，所以B´D所在的圆与⊙O是等圆，连接
BC、BD
∴BC=BD，
⌢
∴点B是
DBC
中点，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD；
（2）证明：连接AD、ED，
∵∠DBA=∠DBE，B´D所在的圆与⊙O是等圆，
∴A´D=E´D，
∴AD=ED，
∵AB⊥CD，
∴AF=EF；
（3）解：由（2）得，AD=ED，B´D所在的圆与⊙O是等圆，
所以弓形AD和弓形ED的面积相等，阴影部分的面积就是三角形ADE的面积，
连接OD，
∵AE=6，EB=10，∴AB=16，OD=OA=8，AF=EF=3，
∴OF=OA−AF=5，
∴DF=❑√OD2−OF2=❑√39，
1
所以三角形ADE的面积= DF×AE=3❑√39，
2
阴影面积为：3❑√39
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】
【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，A,B是半径为3的⊙O上的两点．若
∠AOB=120°,C是A´B的中点，则四边形AOBC的周长为 ．
【答案】12
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB=120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四
边形AOBC的周长．
【详解】解：连接OC，
∵C是A´B的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=CA=CB=3，
∴四边形AOBC的周长等于为12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角
相等是解本题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若
BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【答案】8πcm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得 AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为
DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算． △
【详解】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，
∴A´D=C´D=B´C，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．故答案为：8πcm．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角
形为等边三角形”证得 AOD是等边三角形．
【变式6-2】（2024·陕西△西安·模拟预测）如图⊙O的弦AC=BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若
AD=3❑√6，则⊙O的周长为（ ）
A．6❑√3π B．4❑√6π C．3❑√3π D．4π
【答案】A
【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出∠ABD=∠BAC=45°，得到∠AOD=90°，
再根据勾股定理求出半径，即可得到答案．
【详解】解：连接AB、OA、OD，如图，
∵AC=BD，
∴^AC=^BD，
∴^AD=^BC，
∴∠ABD=∠BAC，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴∠AOD=90°，
在直角△AOD中，设OA=OD=R，
∵AD=3❑√6，
∵OA2+OD2=AD2，∴R2+R2=(3❑√6) 2 ，
∴R=3❑√3，
∴圆的周长为：2×3❑√3π=6❑√3π；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握
所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点P ~P 是⊙O的八等分点．若△P P P ，四边形
1 8 1 3 7
P P P P 的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
3 4 6 7
A．ab D．a，b大小无法比较
【答案】A
【分析】连接P P ,P P ，依题意得P P =P P =P P =P P ，P P =P P ，△P P P 的周长为
1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 6 7 4 6 1 7 1 3 7
a=P P +P P +P P ，四边形P P P P 的周长为b=P P +P P +P P +P P ，故
1 3 1 7 3 7 3 4 6 7 3 4 4 6 6 7 3 7
b−a=P P +P P −P P ，根据△P P P 的三边关系即可得解．
1 2 2 3 1 3 1 2 3
【详解】连接P P ,P P ，
1 2 2 3
∵点P ~P 是⊙O的八等分点，即P´P =P´P =P´P =P´P =P´P =P´P =P´P =P´P
1 8 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1∴P P =P P =P P =P P ，P´P =P´P +P´P =P´P +P´P =P´P
1 2 2 3 3 4 6 7 4 6 4 5 5 6 7 8 8 1 1 7
∴P P =P P
4 6 1 7
又∵△P P P 的周长为a=P P +P P +P P ，
1 3 7 1 3 1 7 3 7
四边形P P P P 的周长为b=P P +P P +P P +P P ，
3 4 6 7 3 4 4 6 6 7 3 7
∴b−a=(P P +P P +P P +P P )−(P P +P P +P P )
3 4 4 6 6 7 3 7 1 3 1 7 3 7
=(P P +P P +P P +P P )−(P P +P P +P P )
1 2 1 7 2 3 3 7 1 3 1 7 3 7
=P P +P P −P P
1 2 2 3 1 3
在△P P P 中有P P +P P >P P
1 2 3 1 2 2 3 1 3
∴b−a=P P +P P −P P >0
1 2 2 3 1 3
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的
关键．
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】
⏜ ⏜
【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将⊙O上的
BC
沿弦BC翻折交半径OA于点D， 再将
BD
DE
沿 BD翻折交BC于点E， 连接DE. 若AD=2OD， 则 的值 ．
AB
❑√6 1
【答案】 / ❑√6
6 6
【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股
定理．连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，设OD=a，则AD=2a，OC=OA=a+2a=3a，
AB=2OA=6a，先利用折叠的性质和圆周角定理得到A´C=C´D=D´E ，再利用弧、弦、圆心角的关系得
到AC=CD=DE，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．
【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图所示，设OD=a，则AD=2a，OC=OA=a+2a=3a，
∴AB=2OA=6a，
∵⊙O上的B´C沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将B´D沿 BD翻折交BC于点E，
∴A´C,C´D,D´E为等圆中的弧，
∵它们所对的圆周角为∠ABC，
∴A´C=C´D=D´E，
∴AC=CD=DE，
1
∴AF=DF= AD=a，
2
∴OF=OD+DF=2a，
在Rt△OCF中，CF=❑√OC2−OF2=❑√(3a) 2−(2a) 2=❑√5a，
在Rt△CDF中，CD=❑√CF2+DF2=❑√(❑√5a) 2+a2=❑√6a，
∴DE=❑√6a，
DE ❑√6a ❑√6
∴ = = ．
AB 6a 6
❑√6
故答案为： ．
6
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，点P在劣弧AC
PH
上，且∠APB=120°，CH⊥BP于H，当AP=CH，则 = ．
HB❑√3
【答案】
❑√3+1
【分析】在PB上截取MB=AP，连接CM，CB，CP，CA，BA，可以证明
△APC≌△BMC（SAS），得到CP=CM，由∠ACB=∠APB=120°，得到∠CAB=∠CBA=30°
，由圆周角定理得到∠CPM=∠CAB=30°，因此MH=PH=❑√3CH=❑√3AP，得到
BH=MH+MB=（❑√3+1）AP，即可求解．
【详解】在PB上截取MB=AP，连接CM，CB，CP，CA，BA，
∵C是A´B的中点，
∴AC=BC，
∵∠PAC=∠MBC，
∴△APC≌△BMC（SAS），
∴CP=CM，
∴∠CPM=∠CMP，
∵CH⊥PM，
∴PH=MH，
∵∠ACB=∠APB=120°，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴∠CMP=∠CPM=∠CAB=30°，
CH ❑√3
∵ = ，AP=CH，
MH 3
∴PH=MH=❑√3CH=❑√3AP，MB=AP，
∴BH=MH+MB=（❑√3+1）AP，
PH ❑√3AP ❑√3
∴ = = ，
BH (❑√3+1)AP ❑√3+1
❑√3
故答案为： ．
❑√3+1
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，A、C、D、B依次为一直线上4个点，CD=2，
△PCD为等腰直角三角形，且∠CPD=90°，⊙O过点A、B、P，且弧AB的度数=90°，则AC⋅BD的
值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线
是解题关键；连接OA,OB,OP，延长PC,PD交AO,BO分别为F,E，得到△AOB是等腰直角三角形，
则四边形PFOE是矩形，△AFC,△DEB是等腰直角三角形，设AF=CF=x,DE=EB= y，则
PF=OE=❑√2+x，进而表示出OF,PF,OP，根据勾股定理建立关系式，整理得出xy=1，即可求解．
【详解】如图所示，连接OA,OB,OP，延长PC,PD交AO,BO分别为F,E，
∵CD=2，△PCD为等腰直角三角形
∴PC=PD=❑√2，
∵弧AB的度数=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
则四边形PFOE是矩形，△AFC,△DEB是等腰直角三角形，
设AF=CF=x,DE=EB= y，则PF=OE=❑√2+x，PE=OF=PD+DE=❑√2+ y
∴AO=BO=OP=❑√2+x+ y，
在Rt△PFO中，PF2+OF2=PO2∴(❑√2+x) 2+(❑√2+ y) 2=(❑√2+x+ y) 2
即x2+ y2+2❑√2x+2❑√2y+4=2xy+x2+ y2+2❑√2x+2❑√2y+2
整理得，xy=1
∵AC=❑√2AF=❑√2x,DB=❑√2DE=❑√2y
∴AC⋅BD =2
故答案为：2．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与
A、C重合），连接DO并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若
C
△CDG的周长记为C ，△ABC的周长记为C ，则 1 的值为 ．
1 2 C
2
1
【答案】
3
【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H
，连接AH，由折叠性质可知：AD=FD，则∠CAF=∠HFA，从而有A´C=H´F，通过弧度和差可得
C´H=B´F，所以∠HFC=∠BCF，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，
解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】如图，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD=FD，
∴∠CAF=∠HFA，
∵∠CAH=∠HFC，
∴∠CAH+∠CAF=∠HFC+∠HFA，即∠HAF=∠CFA，
∴A´C=H´F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，
∴A´C=B´C，
∴B´C=H´F，AC=FH，
∴C´H=B´F，
∴∠HFC=∠BCF，
∴CG=GF，
设AC=a，
∴△CDG的周长C =CD+DG+CG=CD+DG+GF=CD+AD=AC=a，
1
△ABC的周长C =AC+BC+AB=3a，
2
C a 1
∴ 1= = ，
C 3a 3
2
1
故答案为： ．
3
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】
【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA、PB，若PA=PB，
则PO平分∠APB，为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA、PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则
PO平分∠APB吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）PO平分∠APB，理由见解析；（3）PO平分∠APB，理由见解析．【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条
的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
（1）如图①，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到P´A=P´B，所以A´Q=B´Q，则根
据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图②，根据垂径定理得到AM=CM，
BN=DN，由于AC=BD，则AM=BN，根据勾股定理得OM=❑√OA2−AM2，ON=❑√OB2−BN2，
所以OM=ON，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到PO平分∠APB；
（3）与（2）的解题方法一样可得到PO平分∠APB．
【详解】解：（1）平分，
如图，作直径PQ，
∵PA=PB
，
∴ P´A=P´B，
∴ A´Q=B´Q，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
则AM=CM，BN=DN，
∵AC=BD，
∴AM=BN，
而OM=❑√OA2−AM2，ON=❑√OB2−BN2，
∴OM=ON，∴PO平分∠APB；
（3）PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
则AM=CM，BN=DN，同理（2）可得OM=ON，
∴PO平分∠APB．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，
AB=CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出 A ⌢ B+A ⌢ D=C ⌢ D+A ⌢ D ，进而可得AC=BD；
（2）因为AB=CD，所以A´B=C´D，即∠ACB=∠DBC．结合OB=OC，得出E、O都在BC的垂直平
分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵AB=CD，
∴A´B=C´D⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴ AB+AD=CD+AD ，
即B´D=A´C．
∴AC=BD．
（2）证明：连接OB、OC、BC．
∵AB=CD，
∴A´B=C´D
∴∠ACB=∠DBC．
∴EB=EC
∵OB=OC
∴E、O都在BC的垂直平分线上．
∴EO⊥BC．
【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DE平分∠BDC
．
(1)求证：BD=CD；
(2)过点A向圆外作∠DAF=∠ACB，且AF=CD，求证：四边形ABDF为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【分析】本题考查的是圆的相关性质--圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定，
（1）先证明B´E=C´E及EB´D=EC´D，证出B´D=C´D即可证出结论；
（2）先证明AF∥BD，再证明AF=BD即可证出结论．
【详解】（1）证明：∵DE为⊙O直径，
∴EB´D=EC´D，
∵直径DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴B´E=C´E，
∴EB´D−B´E=EC´D−C´E，
∴B´D=C´D，
∴BD=CD；
（2）证明：∵∠DAF=∠ACB，∠ACB=∠ADB
∴∠ADB=∠DAF
∴AF∥BD
∵AF=CD,BD=CD
∴AF=BD
∴四边形ABDF为平行四边形．
【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以AB为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧AB的中点，过点
C作CD∥AB且CD=OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与圆O交于点G，连接BD．
(1)求证：BD⊥AB；
(2)连接BE，OF，求证：BE⊥OF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形OBDC为平行四边形，根据C为半圆的中点可得∠COB=90°，根据矩形的判定可得平行四边形OBDC为矩形，即可证明；
（2）连接BE，OF，交于H，结合（1）易知四边形OBDC为正方形，可证△FOC≌△FDC，得
∠COF=∠CDF，再证OC垂直平分AB，进而证明∠EBO=∠CDF=∠COF，再根据角度之间的互余
关系可得∠OHB=90°，即可则证明BE⊥OF．
【详解】（1）证明：∵CD∥AB，CD=OB，
∴四边形OBDC为平行四边形，
∵C为半圆的中点，
∴CO⊥AB，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBDC为矩形．
∴∠OBD=90°，
∴BD⊥AB．
（2）证明：连接BE，OF，交于H，
由（1）可知平行四边形OBDC为矩形，
∵OC=OB，
∴四边形OBDC为正方形，则CD=CO，∠OCB=∠DCB=45°，
∵CF=CF，
∴△FOC≌△FDC，
∴∠COF=∠CDF，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDA，
∵OA=OB，CO⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA，
∴∠EBO=∠CDF=∠COF，∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EBO+∠BOF=90°，
∴∠OHB=90°，
∴BE⊥OF．
【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的
性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】
【例9】（2024•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，^AC恰好
经过点O，则^BC与^AC的关系是（ ）
1 1
A．^BC= ^AC B．^BC= ^AC C．^BC=^AC D．不能确定
2 3
1
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD= OE，根据圆周角定
2
1
理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD= BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，
2
于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，^AC恰好经过点O，
1
∴OD= OE，
2
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
1
∴OD= BC，
2∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
1
∴
^BC= ^AC，
2
故选：A．
【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点P引两条弦AB与CD，则∠APC与A´C、B´D度
数间的关系是 ．
1
【答案】∠APC= （A´C的度数+ B´D的度数）
2
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的转化，圆周角的度数等于它所对的弧的度数．连BC，根据三
1 1
角形外角性质得到∠APC=∠B+∠C，而∠B= A´C的度数，∠C= B´D的度数，由此得到∠APC与
2 2
A´C、B´D度数间的关系．
【详解】解：如图，连BC，
∴∠APC=∠B+∠C，
1 1
又∵∠B= A´C的度数，∠C= B´D的度数，
2 2
1
∴∠APC= （A´C的度数+ B´D的度数）．
2
【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.
若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（ ）A．A´BA´D，故A项不正确；
B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得 A´B>A´D，故B
项不正确；
C、弦AB＜AE＋BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF＋BE＋FC＞EF＋BE＝AE＋BE＞弦
AB，所以^BC>^AB，故C项正确；
D、由图可看出其不相等，故D项错误．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中大弦对大弧求解,熟练掌握关系是解题
的关键.
【变式9-3】（2024·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D
在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．A´D=A´E B．A´D=A´F
C．A´F=D´G D．A´F=D´H
【答案】C
【分析】连接AF,DG，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接AF,DG，过点O作NM⊥AD，交AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD ，∠B=∠C，∴ AM=MD，
∴四边形AMNB,MNCD是矩形，
∴NB=AM=MD=NC，
∴FN=GN，
∴FB=GC，
∴Rt△ABF≌Rt△CDG，
∴ AF=DG，
A. ∵AD>AE，∴ A´D>A´E，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵AD=ABD´H，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】
【例10】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆
上，OC⊥AB,B´D=2C´D，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【答案】4❑√3
【分析】依题意，作点D关于OC的对称点为D ，连接BD ，BD 长即为BP+DP最小值；过点D 作
1 1 1 1
D Q⊥AB，构造Rt ΔQD B和Rt ΔQOD 进行对应线段求解；
1 1 1
【详解】作点D关于OC的对称点为D ，连接BD ，OD ；过点D 作D Q⊥AB；
1 1 1 1 1由题知，OC⊥AB，B´D=2C´D，∴B´C=3C´D，可得C´D对应的圆心角∠COD=30°；
又点D关于OC的对称点为D ，
1
∴∠COD =30°，∠AOD =60°，∴BD 长为BP+DP的最小值
1 1 1
在Rt ΔQOD 中，OD =4，∴OQ=2，D Q=2❑√3；
1 1 1
在Rt ΔQD B中，BQ=OQ+OB=6，D Q=2❑√3，∴BD =❑√62+(2❑√3) 2=4❑√3；
1 1 1
故填：4❑√3；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直
角三角形构造进行计算.
【变式10-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的⊙O
和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道A´B和C´D，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆
心O转动，且所成的夹角∠EOF=∠FOG=∠GOE=120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内
外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃
OF，OG隔离．则通道A´B所对圆心角的度数的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】由题意得可得∠AOB与∠COD的最大值的和为120°，结合A´B和C´D关于圆心O中心对称即可
求解．
【详解】解：∵∠EOF=∠FOG=∠GOE=120°∴∠AOC与∠BOD的最小值为120°
∴∠AOB与∠COD的最大值的和为120°
∵A´B和C´D关于圆心O中心对称
∴A´B=C´D
1
∴∠AOB=∠COD，最大值为 ×120°=60°
2
故选：B
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出∠AOB与∠COD的最大值的和为120°是解题关键．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为A´B的三等分点（更
靠近A点），点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B．❑√7 C．2❑√3 D．❑√3+1
【答案】D
【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由
直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.
【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，
∵C为A´B的三等分点，
∴A´C的度数为60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形，
∵Q为OA的中点，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
1 1
∴OQ= OC= ×2=1 ,
2 2
由勾股定理可得，CQ=❑√3 ,
∵D为AP的中点,
∴OD⊥AP，∵Q为OA的中点，
1 1
∴DQ= OA= ×2=1 ,
2 2
∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为❑√3+1 .
故选D
【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用
圆的综合性质是解答此题的关键.
【变式10-3】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，
∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=2，则△PMN周长的最小值为
．
【答案】6
【分析】作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接M N′交AB于P，此时PM+PN的值最小，
最小值为M N′的长，连接OM，ON′，AN′，求出∠MON′=2∠MAN′=60°，证明△MON′是正三角
1
形，可得M N′=OM=ON′= AB=4，然后可得答案．
2
【详解】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接M N′交AB于P，此时PM+PN
的值最小，最小值为M N′的长，连接OM，ON′，AN′，∵N是弧MB的中点，
∴M´N=B´N=B ´ N′，
∵∠BAM=20°，
∴∠BAN′=10°，
∴∠MAN′=20°+10°=30°，
∴∠MON′=2∠MAN′=60°，
∵OM=ON，
∴△MON′是正三角形，
1
∴M N′=OM=ON′= AB=4，
2
又∵MN=2，
∴△PMN周长的最小值为2+4=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，利用轴对称求最短路径，等边三角形的判定和
性质，作出辅助线，确定出取最小值时点P的位置是解题的关键．
